Bài tập về góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và cách giải - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

a) Khái niệm

- Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm của hai dây cung của đường tròn và giao điểm đó nằm bên trong đường tròn.

Xét hình vẽ ta thấy:

I là giao điểm của AB và CD, I nằm trong đường tròn (O)

Khi đó các góc $\widehat{AIC};\widehat{CIB};\widehat{BID};\widehat{DIA}$ là cá góc có đỉnh nằm trong đường tròn.

b) Định lý

- Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Xét hình vẽ ta thấy:

$\widehat{AID}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

$\widehat{AID}$= (sđ $\stackrel{⏜}{BnC}$ + sđ $\stackrel{⏜}{AmD}$):2

2. Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

a) Khái niệm

- Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm của hai dây cung (hoặc tiếp tuyến) và giao điểm này nằm bên ngoài đường tròn.

Ba trường hợp góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn

Hình 1: Đỉnh là giao điểm của hai dây cung của đường tròn.

Hình 2: Đỉnh là giao điểm của một dây cung và một tiếp tuyến của đường tròn.

Hình 3: Đỉnh là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn.

b) Định lí:

- Số đo góc ở đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Xét hình 2: Góc $\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

$\widehat{BID}$ = (sđ $\stackrel{⏜}{BD}$- sđ$\stackrel{⏜}{AC}$):2

Xét hình 3: $\widehat{BIC}$  là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn

$\widehat{BIC}$= (sđ $\stackrel{⏜}{BC}$- sđ$\stackrel{⏜}{AC}$):2

Xét hình 4: Góc $\widehat{AIC}$ là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn

$\widehat{AIC}$= (sđ$\stackrel{⏜}{AmC}$- sđ $\stackrel{⏜}{AnC}$):2

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải:

- Sử dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, các hệ quả về góc nội tiếp, góc tạo bởi ta tiếp tuyến và dây cung để chứng minh hai góc bằng nhau.

- Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Py – ta – go để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ 1: Từ điểm M nằm ngoài đường thẳng (O) vẽ tiếp tuyến MC với C là tiếp điểm và cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B) và A; B; C thuộc (O). Gọi D là điểm chính giữa cung AB không chứa C, CD cắt AB tại I. Chứng minh:

a) $\widehat{MCD}=\widehat{BID}$

b) $MI=MC$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{MCD}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{CD}$

$\Rightarrow \widehat{MCD}=\frac{1}{2}$ sđ $\stackrel{⏜}{CD}$  (định lí)    (1)

$\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung $\stackrel{⏜}{CA}$ và $\stackrel{⏜}{BD}$

$\Rightarrow \widehat{BID}=\frac{1}{2}$ (sđ $\stackrel{⏜}{CA}$ + sđ $\stackrel{⏜}{BD}$) (định lí)  (2)

Ta có:

$\stackrel{⏜}{CD}=\stackrel{⏜}{CA}+\stackrel{⏜}{AD}$

Mà $\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{BD}$ (do D là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$)

Do đó $\stackrel{⏜}{CD}=\stackrel{⏜}{CA}+\stackrel{⏜}{BD}$ (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow \widehat{MCD}=\widehat{BID}$ (điều phải chứng minh)

b) Ta có:

$\widehat{CIM}$ và $\widehat{BID}$ là hai góc đối đỉnh

$\Rightarrow \widehat{CIM}=\widehat{BID}$(tính chất)

Mà $\widehat{MCD}=\widehat{BID}$(chứng minh ở câu a)

Do đó $\widehat{CIM}=\widehat{MCD}$

Xét tam giác CMI có

$\widehat{CIM}=\widehat{MCI}$

$\Rightarrow \Delta CMI$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết)

=> MI = MC (tính chất).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các tia AI; BI; CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F. Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh:

a) DI = BD.

b) AM = AN.

Lời giải:

a) Vì I là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là phân giác $\widehat{A}$.

Mà AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D nên D là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{BC}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{BD}$ = sđ $\stackrel{⏜}{CD}$ (1).

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI là đường phân giác $\widehat{B}$.

Mà BI cắt đường tròn ngọa tiếp tam giác ABC tại E nên E là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AC}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{AE}$= sđ $\stackrel{⏜}{EC}$(2).

Ta có:

$\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\Rightarrow \widehat{BID}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BD}$)  (3)

$\widehat{IBD}$ là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chắn cung $\stackrel{⏜}{DE}$.

$\Rightarrow \widehat{BID}=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{DE}$

Mà $\stackrel{⏜}{DE}=\stackrel{⏜}{EC}+\stackrel{⏜}{CD}$ nên $\widehat{IBD}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{EC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{CD}$) (4)

Từ (1) (2) (3) (4) $\Rightarrow \widehat{BID}=\widehat{IBD}$

Xét tam giác IDB có:

$\widehat{BID}=\widehat{IBD}$

$\Rightarrow \Delta IDB$ cân tại D

$\Rightarrow DI=DB$ (tính chất)

b) Vì I là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên CI là phân giác $\widehat{C}$.

Mà CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F nên F là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{BF}$ = sđ $\stackrel{⏜}{A\text{}F}$ (5).

Ta có:

$\widehat{AN\text{}F}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

$\Rightarrow \widehat{AN\text{}F}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{A\text{}F}$+ sđ $\stackrel{⏜}{EC}$)  (6)

$\widehat{AME}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

$\Rightarrow \widehat{AME}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{AE}$ + sđ $\stackrel{⏜}{FB}$) (7)

Từ (1); (5); (6); (7) $\Rightarrow \widehat{AN\text{}F}=\widehat{AME}$

Xét tam giác AMN có:

$\widehat{AN\text{}M}=\widehat{AMN}$

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại A

$\Rightarrow AM=AN$(tính chất).

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuông góc

Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn hoặc nằm ngoài đường tròn để có được các góc bằng nhau, cạnh bằng nhau. Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tia phân giác của các góc A và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E. Chứng minh:

a) Tam giác BDI là tam giác cân;

b) DE là đường trung trực của IC.

Lời giải:

a) ) Vì  AI là phân giác $\widehat{A}$ của tam giác ABC và AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D nên D là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{BC}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{BD}$ = sđ $\stackrel{⏜}{CD}$ $=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{BC}$ (1).

Vì  BI là phân giác $\widehat{B}$ của tam giác ABC và BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại E nên E là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AC}$.

=>sđ $\stackrel{⏜}{AE}$ = sđ $\stackrel{⏜}{CE}$ $=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AC}$ (2).

Ta có:

$\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\Rightarrow \widehat{BID}=\frac{1}{2}$ (sđ $\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BD}$)  (3)

$\widehat{IBD}$ là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chắn cung $\stackrel{⏜}{DE}$.

$\Rightarrow \widehat{IBD}=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{DE}$

Mà $\stackrel{⏜}{DE}=\stackrel{⏜}{EC}+\stackrel{⏜}{CD}$ nên $\widehat{IBD}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{EC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{CD}$) (4)

Từ (1) (2) (3) (4) $\Rightarrow \widehat{BID}=\widehat{IBD}$

Xét tam giác IDB có:

$\widehat{BID}=\widehat{IBD}$

$\Rightarrow \Delta IDB$ cân tại D

b) Gọi giao điểm của DE và IC là K, CI cắt đường tròn tại điểm thứ hai là H.

Vì  CI là phân giác $\widehat{C}$ của tam giác ABC và CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H nên H là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{AH}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BH}$= $\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ (5).

Ta có:

$\widehat{EKC}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn

$\Rightarrow \widehat{EKC}$= $\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{EC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{DH}$)

Mà $\stackrel{⏜}{DH}=\stackrel{⏜}{BD}+\stackrel{⏜}{BH}$

$\Rightarrow \widehat{EKC}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{EC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BD}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BH}$)

Theo (1); (2); (5) $\Rightarrow \widehat{EKC}=\frac{1}{4}$(sđ $\stackrel{⏜}{AC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{AB}$)

$\iff \widehat{EKC}=90°$

$\Rightarrow DE\perp IC$

Lại có: $\widehat{CED}$ là góc góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{CD}$

$\widehat{BED}$ là góc nội tiếp chắn chung $\stackrel{⏜}{BD}$

Mà $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{CD}$

Do đó: $\widehat{CED}=\widehat{BED}$

Xét tam giác CEK và tam giác IEK có:

$\widehat{CEK}=\widehat{IEK}$ (do $\widehat{CED}=\widehat{BED}$)

EK chung

$\widehat{EKC}=\widehat{EKI}=90°$

Do đó: $\Delta CEK=\Delta IEK$ (c – g – c)

$\Rightarrow IK=KC$(hai cạnh tương ứng)

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}IK=KC\\ DE\perp IC\end{array}\right.\Rightarrow$DE là đường trung trực của IC.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC phân giác AD. Vẽ đường tròn (O) đi qua A, D và tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh: EF // BC.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{BDE}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và $\widehat{BDE}$ chắn cung $\stackrel{⏜}{DE}$

Lại có: $\widehat{EAD}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{DE}$

$\Rightarrow \widehat{BDE}=\widehat{EAD}$ (hệ quả)

Xét tam giác BED và tam giác BDA có:

$\widehat{BDE}=\widehat{EAD}$ (chứng minh trên)

$\widehat{B}$ chung

Do đó: $\Delta BED\backsim \Delta BDA$(g – g)

$\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{DEA}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BED}+\widehat{DEA}=180°$

Do đó $\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{DEA}=90°$

Lại có:

Xét tam giác BED vuông tại E ta có:

$\widehat{EBD}+\widehat{EDB}=90°$

$\Rightarrow \widehat{EBD}=90°-\widehat{EDB}$ (1)

Lại có: $\widehat{DEF}+\widehat{FEA}=90°$

$\Rightarrow \widehat{FEA}=90°-\widehat{DE\text{}F}$ (2)

Lại có AD là tia phân giác $\widehat{A}$$\Rightarrow \stackrel{⏜}{ED}=\stackrel{⏜}{FD}$

Mà $\widehat{EDB}$ là góc tạo vởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{ED}$

Và $\widehat{DE\text{}F}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{FD}$

Do đó $\widehat{DE\text{}F}=\widehat{EDB}$ (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow \widehat{EBD}=\widehat{FEA}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // BC

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn và cát tuyến PBC với P, B, C thuộc (O).

a) Biết PC = 25cm, PB = 49 cm. Đường kính của đường tròn (O) là 50cm. Tính PO.

b) Đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt PB ở I và cắt (O) tại D. Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB.

Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ cát tuyến PAB và tiếp tuyến PT với A, B, T thuộc (O). Đường phân giác của góc $\widehat{ATB}$ cắt AB tại D. Chứng minh PT = PD.

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt (O) tại D và E. Dây DE cắt cạnh AB và AC tại M và N. Chứng minh:

a) Các tam giác AMN, EAI và DAI là những tam giác cân.

b) Tứ giác AMIN là hình thoi.

Bài 4: Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD (A nằm giữa P và B và C nằm giữa P và D), các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q.

a) Cho biết $\widehat{P}=60°$ và $\widehat{AQC}=80°$. Tính $\widehat{BCD}$.

b) Chứng minh PC.PD = PA.PB

Bài 5: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt BC và BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD tại E. Chứng minh:

a) Tam giác BMN cân.

b) $F{D}^2=FE.FB$.

Bài 6: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho AE = $\sqrt{2}R$. Vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyến của đường tròn F cắt CD tại M, vẽ dây AF cắt CD tại N. Chứng minh:

a) Tia CF là tia phân giác của góc $\widehat{BCD}$;

b) MF // AC;

c) MN; OD; OM có độ dài là ba cạnh của tam giác vuông.

Bài 7: Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O). Điểm D di chuyển trên cung MP. Gọi E là giao điểm của MP và ND, Gọi F là giao điểm của MG và NP. Chứng minh: $\widehat{MFN}=\widehat{MND}$.

Bài 8: Tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O), các điểm I, K, H là điểm chính giữa các cung MN, NP, PM. Gọi J là giao điểm của IK và MN, G là giao điểm của HK và MP. Chứng minh JG song song với NP.

Bài 9: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB với A, B, C thuộc (O). Phân giác góc $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D, cắt (O) tại N. Chứng minh:

a) MA = MD;

b) Cho cát tuyến MBC quay quanh M và luôn cắt đường tròn. Chứng minh MB.MC không đổi;

c) $N{B}^2=NA.ND$.

Bài 10: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB; BC; AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC.

Chứng minh:

a) Tam giác BNI cân;

b) AE.BN = EB.AN;

c) EI // BC;

d) $\frac{AN}{BN}=\frac{AB}{BD}$.