Các bài toán về Tỉ số lượng giác của góc nhọn và cách giải - Toán lớp 9

A. Lí thuyết

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:

Cách nhớ gợi ý: Sin đi học (đối / huyền) , Cos không hư (kề / huyền), Tan đoàn kết (đối / kề) , Cot kết đoàn (kề / đối).

Các tính chất:

(1) Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Tức là: Cho hai góc $\alpha ,\beta$, biết: $\alpha +\beta ={90}^o$

Khi đó, ta có:

$\sin \alpha =\cos \beta ;$ $\sin \beta =\cos \alpha$

$\tan \alpha =\cot \beta ;$ $\tan \beta =\cot \alpha$

(2) Nếu hai góc nhọn $\alpha , \beta$, có $\sin \alpha =\sin \beta$ hoặc $\cos \alpha =\cos \beta$ thì $\alpha =\beta$. 

(3) Nếu là một góc nhọn bất kì thì

*Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

B. Các dạng bài

Dạng 1: Tính toán các tỉ số lượng giác, độ dài các cạnh trong tam giác

Phương pháp giải:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Có AC = 10cm, $\cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}$. Tính $\sin \widehat{BAC}$ và độ dài AB, BC.

Giải:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính $\sin \widehat{ABC}$, $\cos \widehat{ABC}$, $\tan \widehat{ABC}$, $\cot \widehat{ABC}$.

Giải:

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác, các góc

Phương pháp giải :

Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại, áp dụng tính chất nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia và so sánh dựa trên các tính chất:

Nếu hai góc nhọn $\alpha , \beta$, có $\sin \alpha =\sin \beta$ hoặc $\cos \alpha =\cos \beta$ thì $\alpha =\beta$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hai góc nhọn $\alpha , \beta$. Biết $\sin \alpha =0,7$ và $\cos \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$. So sánh $\alpha$ và $\beta$.

Giải :

+) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

+) Có $\cos \alpha \approx 0,714$ < $\cos \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$$\approx 0,866$$\Rightarrow \alpha >\beta$

Bài 2: Cho là hai góc nhọn. Biết $\sin \alpha =\cos \beta$ = 0,5. So sánh .

Giải:

+) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

Dạng 3: Rút gọn, tính toán các biểu thức lượng giác

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Rút gọn và tính toán biểu thức:

$A=\sin {15}^o-\sin {60}^o+$$\cos {30}^o-\cos {75}^o+5$

Giải:

Bài 2: Rút gọn và tính toán biểu thức: $A={\sin }^2{82}^o+$$\cot {24}^o.\cot {66}^o+{\cos }^2{82}^o$

Giải:

Dạng 4: Chứng minh biểu thức, đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

Đối với bài chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của góc thì cần phải biến đổi sao cho không còn tồn tại các góc trong biểu thức.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hai góc nhọn $\alpha , \beta$. Chứng minh rằng: ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\beta$$={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\beta$

Giải:

Bài 2: Cho hai góc nhọn $\alpha , \beta$. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của $\alpha , \beta : B={\cos }^2\alpha .{\cos }^2\beta +$${\cos }^2\alpha .{\sin }^2\beta +{\sin }^2\alpha$

Giải:

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=6cm, BC=10cm. Tính $\sin \widehat{ABC}$, $\sin \widehat{ACB}$, $\cos \widehat{ABC}$, $\cos \widehat{ACB}$.

Đáp án: $\sin \widehat{ABC}=\frac{4}{5};$ $\sin \widehat{ACB}=\frac{3}{5};$ $\cos \widehat{ABC}=\frac{3}{5};$ $\cos \widehat{ACB}=\frac{4}{5}$

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB=3cm, AC=4cm. Tính $\tan \widehat{ABC}$, $\tan \widehat{ACB}$, $\cot \widehat{ABC}$, $\cot \widehat{ACB}$.

Đáp án: $\tan \widehat{ABC}=\frac{4}{3};\tan \widehat{ACB}=\frac{3}{4};$ $\cot \widehat{ABC}=\frac{3}{4};\cot \widehat{ACB}=\frac{4}{3}$

Bài 3: Cho tam giác ABC. Có đường cao AH ứng với cạnh BC. AH=5cm, AB=7cm. Tính $\sin \widehat{ABH}, \cos \widehat{ABH}$

Đáp án: $\sin \widehat{ABH}=\frac{5}{7};\cos \widehat{ABH}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$

Bài 4: So sánh các tỉ số lượng giác của hai góc $67°$ và $54°$ (không dùng máy tính)

Đáp án: $\sin {67}^o>\sin {54}^o;$ $\cos {67}^o<\cos {54}^o;$ $\tan {67}^o>\tan {54}^o;$ $\cot {67}^o<\cot {54}^o$

Bài 5: Cho hai góc nhọn $\alpha , \beta$. Biết $\cot \alpha <\cot \beta$. So sánh số đo $\alpha$ và $\beta$

Đáp án: $\alpha >\beta$

Bài 6: Cho hai góc nhọn $\alpha , \beta$. Nhận định nào sau đây là đúng ?

Đáp án: A

Bài 7: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

Đáp án: A = 1

Bài 8: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

Đáp án: B = 11

Bài 9: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

Đáp án: C = 20

Bài 10: Cho hai góc nhọn . Chứng minh đẳng thức:

${\sin }^4\alpha +{\cos }^2\alpha .{\sin }^2\alpha$$+{\sin }^2\alpha =2{\sin }^2\alpha$

Đáp án: $VT=$${\sin }^2\alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+{\sin }^2\alpha$$=2{\sin }^2\alpha =VP$

Bài 11: Cho hai góc nhọn .Chứng minh đẳng thức:

Bài 12: Cho hai góc nhọn $\alpha , \beta$. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị $\alpha , \beta$