Các dạng bài tập Hệ thức Vi-ét và ứng dụng và cách giải bài tập - Toán lớp 9

A. Lí thuyết

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Ứng dụng của hệ thức Vi – ét:

+) Nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1$ = 1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$

+) Nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1$ = -1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$

+) Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Phương pháp giải:

- Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm: $\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình từ đề bài (dùng hằng đẳng thức, nhân đa thức với đa thức, công trừ phân thức,…) để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tính giá trị của biểu thức theo ($x_1+x_2$) và ($x_1.x_2$)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:  Cho phương trình $x^2+5x-6=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức ${x_1}^2+{x_2}^2$.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+5x-6=0$ có a = 1, b = 5, c = -6

Có a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-5}{1}=-5\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

${x_1}^2+{x_2}^2$

$={x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2-2x_1{x}_2$

$=\left({x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2\right)-2x_1{x}_2$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

$={\left(-5\right)}^2-2.(-6)$

= 37

Ví dụ 2: Cho phương trình $x^2+7x-4=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+7x-4=0$ có a = 1, b = 7, c = -4

Do a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-7}{1}=-7\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$

$=\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}$

$=\frac{x_2+x_1}{x_1{x}_2}$

$=\frac{-7}{-4}=\frac{7}{4}$

Dạng 2: Tìm tham số m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

- Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)  để tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

- Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm: $\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình từ đề bài để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tìm ra điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^2+5mx-4=0$. Tìm m để $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình và thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2+6x_1{x}_2=9$.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+5mx-4=0$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

$\Delta ={\left(5m\right)}^2-\mathrm{4.1.}(-4)=25m^2+16>0$

Mà $m^2\ge 0$ với mọi m nên $\Delta =25m^2+16>0$ với mọi m.

Do đó, phương trình (*) có nghiệm với mọi m. Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-5m}{1}=-5m\\ x_1.x_2=\frac{-4}{1}=-4\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

${x_1}^2+{x_2}^2+6x_1{x}_2=9$

$\iff {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2+4x_1{x}_2=9$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2+4x_1{x}_2=9$

$\iff {\left(-5m\right)}^2+4.(-4)=9$

$\iff 25m^2-16=9$

$\iff 25m^2=25$

$\iff m^2=1$

$\iff m=\pm 1$

Vậy m = 1 hoặc m = -1 thì phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2+6x_1{x}_2=9$.

Ví dụ 2: Cho phương trình $x^2-2(m-1)x-3-m=0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2\ge 10$

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-2(m-1)x-3-m=0$ (*)

Ta có:

$\Delta ={\left[-2(m-1)\right]}^2-\mathrm{4.1.}(-3-m)=4(m^2-2m+1)+12+4m$

$=4m^2-8m+4+12+4m=4m^2-4m+16$

$=4m^2-4m+1+15={(2m-1)}^2+15$

Ta có: ${(2m-1)}^2\ge 0$ với mọi m

$\Rightarrow \Delta ={(2m-1)}^2+15>0$ với mọi m

Do đó, phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-\left[-2(m-1)\right]}{1}=2m-2\\ x_1.x_2=\frac{-3-m}{1}=-3-m\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

${x_1}^2+{x_2}^2\ge 10$

$\iff {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2-2x_1{x}_2\ge 10$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\ge 10$

$\iff {\left(2m-2\right)}^2-2(-3-m)\ge 10$

$\iff 4m^2-8m+4+6+2m\ge 10$

$\iff 4m^2-6m\ge 0$

$\iff 2m(2m-3)\ge 0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ 2m-3\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ 2m-3\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\ge \frac{3}{2}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ m\le \frac{3}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge \frac{3}{2}\\ m\le 0\end{array}\right.$

Vậy khi $m\ge \frac{3}{2}$ hoặc $m\le 0$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2\ge 10$

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Phương pháp giải:

Để tìm hệ thức giữa các nghiệm $x_1,x_2$ của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số ta làm như sau:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $x_1,x_2$ là $\Delta \ge 0$

- Áp dụng hệ thức Vi-ét $\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Biến đổi biểu thức kết quả sao cho không còn chứa tham số.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m-3=0$ (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-2(m-1)x+m-3=0$ (*)

Ta có:

$\Delta \text{'}={\left[-(m-1)\right]}^2-1.(m-3)$

$=m^2-2m+1-m+3=m^2-3m+4$

$=m^2-2.\frac{3}{2}.m+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+4={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}$ 

Mà ${\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2$ $\ge$ 0 với mọi m nên $\Delta \text{'}={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}$ > 0 với mọi m

Do đó, phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-\left[-2(m-1)\right]}{1}=2m-2\\ x_1.x_2=\frac{m-3}{1}=m-3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-\left[-2(m-1)\right]}{1}=2m-2\\ 2x_1.x_2=\frac{m-3}{1}=2m-6\end{array}\right.$

Từ hệ trên, ta dễ thấy: $x_1+x_2$ - $2x_1.x_2$ = 2m – 2 – (2m - 6) = 4 không phụ thuộc vào m

Vậy biểu thức liên hệ cần tìm là $x_1+x_2$ - $2x_1.x_2$ = 4

Ví dụ 2: Cho phương trình $x^2+2(m+1)x+2m=0$ (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+2(m+1)x+2m=0$ ta có:

$\Delta \text{'}={(m+1)}^2-2m=m^2+2m+1-2m=m^2+1$

Mà $m^2\ge 0$ với mọi m nên $\Delta \text{'}=m^2+1$ > 0 với mọi m

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$ với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-2(m+1)}{1}=-2m-2\\ x_1.x_2=\frac{2m}{1}=2m\end{array}\right.$

Từ hệ trên, dễ thấy: $x_1+x_2$ + $x_1.x_2$ = - 2m - 2 + 2m = -2 không phụ thuộc vào m

Vậy biểu thức liên hệ cần tìm là:  $x_1+x_2$ + $x_1.x_2$ = -2

Dạng 4: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm

Phương pháp giải:

+) Nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1$ = 1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$

+) Nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1$ = -1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) $x^2+9x-10=0$

b) $x^2+8x+7=0$

Lời giải:

a) Xét phương trình $x^2+9x-10=0$ có: a = 1, b = 9, c =  -10

Ta có: a + b + c = 1 + 9 – 10  = 0

Do đó, phương trình $x^2+9x-10=0$ có một nghiệm là $x_1$ = 1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}=\frac{-10}{1}=-10$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; -10}

b) Xét phương trình $x^2+8x+7=0$ có: a = 1, b = 8, c = 7

Ta có: a – b + c = 1 – 8 + 7 = 0

Do đó, phương trình $x^2+8x+7=0$ có một nghiệm là $x_1$ = -1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{7}{1}=-7$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-1; -7}

Ví dụ 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình: $x^2-2(m+4)x+2m+7=0$.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-2(m+4)x+2m+7=0$ có:

a = 1, b = -2(m+4), c = 2m + 7

Ta có: a + b + c = 1 – 2(m + 4) + 2m + 7 = 1 – 2m – 8 + 2m + 7 = 0

Do đó, phương trình $x^2-2(m+4)x+2m+7=0$ có một nghiệm  $x_1$ = 1, nghiệm kia là $x_2=\frac{2m+7}{1}=2m+7$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2m + 7} với m là tham số

Dạng 5: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hai số có tổng bằng 6 và tích bằng 5. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Nếu hai số có tổng bằng 6 và tích bằng 5 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^2-6x+5=0$

Xét phương trình $x^2-6x+5=0$ có a = 1, b = -6, c = 5

Dễ thấy: a + b + c = 1 – 6 + 5 = 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm là $x_1=1$ và $x_2=\frac{5}{1}=5$

Vậy hai số cần tìm là 1 và 5

Ví dụ 2: Cho hai số có tổng bằng 17 và tích bằng 180. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Nếu hai số có tổng bằng 17 và tích bằng 180 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^2-17x+180=0$

Xét phương trình $x^2-6x+5=0$ có $\Delta ={(-17)}^2-\mathrm{4.1.180}=-431<0$

Do đó, phương trình vô nghiệm.

Vậy không có số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^2-2x+m-1=0$ (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2-3x_1{x}_2=2m^2+m-3$

Bài 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^2+4x+3m-2=0$ (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+2x_2=1$

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+3=0$ (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=10$

Bài 4: Cho phương trình $2x^2+(2m-1)x+m-1=0$ (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 5: Cho phương trình $x^2-2(2m+1)x+3-4m=0$ (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 6: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: $3x^2-12x+9=0$

Bài 7: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: $2021x^2-2022x+1=0$

Bài 8: Tìm hai số thực biết tổng của chúng là 14 và tích của chúng là 13.