Các bài toán về hệ số góc của đường thẳng và cách giải - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

- Cho đường thẳng d có phương trình: y = ax + b$\left(a\ne 0\right)$

Khi đó a là hệ số góc của d.

Với $\alpha$ là góc tạo bởi trục Ox và d. Ta có:

- Nếu $\alpha <90°$thì $a>0$ và $a=\tan \alpha$

- Nếu $\alpha >90°$thì $a<0$và $a=-\tan \left(180°-\alpha \right)$

- Khi $a>0$ thì $\alpha$ là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $90°$

- Khi a < 0 thì $\alpha$ là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $180°$.

II. Một số dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng

+ Hai đường thẳng song song

d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$

+ Hai đường thẳng vuông góc

$a.a\text{'}=-1$ thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = 2x – 3. Xác định hệ số góc của d.

Lời giải:

Ta có: a = 2 nên hệ số góc của d bằng 2

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y = ax + b. Xác định hệ số góc của d biết

a) d song song với đường thẳng $d_1$: y = 4x – 1

b) d vuông góc với đường thẳng $d_2$: y = -3x + 1

Lời giải:

a) Vì d // $d_1$$\Rightarrow$a = 4

$\Rightarrow$hệ số góc của d là 4

b) Vì d$\perp d_2$ nên a.( -3) = -1

$\iff$a = (-1) : (-3)

$\iff a=\frac{1}{3}$

Vậy hệ số góc của d là $\frac{1}{3}$.

Ví dụ 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng d: y = (m – 5)x – m  biết d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Lời giải:

Vì d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên thay x = 0 và y = 3 vào d ta có:

3 = (m – 5).0 – m

$\iff$m = -3

Với m = -3

$\Rightarrow$a = (-3 – 5) = -8

Vậy hệ số góc của đường thẳng d là -8.

Dạng 2: Xác định góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox

Phương pháp giải: Để xác định góc giữa đường thẳng d và tia Ox ta làm như sau:

Cách 1: Vẽ d trên hệ trục tọa độ rồi sử dụng tỉ số lượng giác của tam giác vuông một cách hợp lí

Cách 2: Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia Ox và d. Ta có:

- Nếu $\alpha <90°$thì $a>0$ và $a=\tan \alpha$

- Nếu $\alpha >90°$ thì $a<0$ và $a=-\tan \left(180°-\alpha \right)$

Ví dụ 1: Tìm góc tạo bởi đường thẳng d: y  = -x + 5 với trục Ox.

Lời giải:

Cách 1: Vẽ d lên hệ trục tọa độ

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 5$\Rightarrow$A(0; 5)

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = 5$\Rightarrow$B(5; 0)

Vậy d cắt hai trục Oy; Ox tại hai điểm A và B

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi d và tia Ox,

Gọi $\beta$ là góc kề bù với góc $\alpha$

Ta có: Tam giác AOB vuông tại O

$\tan \beta =\frac{OA}{OB}=\frac{5}{5}=1$

$\Rightarrow \beta =45°$

Mà $\alpha ,\beta$ là hai góc kề bù

$\Rightarrow \alpha +\beta =180°$

$\iff \alpha =180°-45°$= $135°$

Vậy góc giữa d và Ox là $135°$

Cách 2: vì a = -1 < 0 $\Rightarrow$$\alpha >90°$ và $a=-\tan (180°-\alpha )=-1$

$\Rightarrow \tan (180°-\alpha )=\tan 45°$

$\iff 180°-\alpha =45°$

$\iff \alpha =180°-45°$

$\iff \alpha =135°$

Vậy d tạo với Ox một góc bằng $135°$.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d: y = x + 1 và đường thẳng d’: y = $\sqrt{3}x-3$

a) Vẽ d và d’ trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Gọi C là giao điểm của d và d’. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d’ với trục hoành. Tính các góc của tam giác ABC.

Lời giải:

a)

- Xét d: y = x + 1

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = -1$\Rightarrow$A(-1; 0)

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 1$\Rightarrow$A’(0; 1)

$\Rightarrow$d cắt trục hoành và trục tung tại hai điểm A, A’

- Xét d’: y = $\sqrt{3}x-3$

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = $\sqrt{3}$$\Rightarrow$B($\sqrt{3}$; 0)

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = -3 $\Rightarrow$B’(0; -3)

$\Rightarrow$d’ cắt trục hoành và trục trung tại hai điểm B, B’

Có đồ thị như hình vẽ

b)

- Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi d và Ox

Xét đường thẳng d ta có

a = 1 > 0  $\Rightarrow \alpha <90°$( với $\alpha$  là góc tạo bởi d với Ox)

$\Rightarrow \tan \alpha =a=1$

$\iff \alpha =45°$ $\Rightarrow \widehat{CAB}=45°$ 

- Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi d’ và Ox

Xét đường thẳng d’ ta có:

a’ = $\sqrt{3}$ > 0 $\Rightarrow \beta <90°$(với $\beta$ là góc hợp bởi d’ với Ox)

$\Rightarrow \tan \beta =a\text{'}=\sqrt{3}$

$\iff \beta =60°$

Mà $\widehat{ABC}$ kề bù với $\beta$ nên ta có $\widehat{ABC}$= $180°-60°$= $120°$

$\widehat{ABC}=120°$

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180°$

$\iff 45°+120°+\widehat{BCA}=180°$

$\iff \widehat{BCA}=180°-45°-120°$

$\iff \widehat{BC}A=15°$.

Dạng 3: Xác định đường thẳng khi biết hệ số góc

Phương pháp giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là d: y = ax + b. Ta xác định a, b dựa vào kiến thức góc và hệ số góc.

Gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + b (a$\ne$0)

Khi đó hệ số góc của đường thẳng là a

b được xác định sử dụng điều kiện còn lại của đề bài két hợp với a đã tìm được.

Ví dụ 1: Xác định đường thẳng d biết d đi qua A(1; 2) và có hệ số góc là 2.

Lời giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d: y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d có hệ số góc là 2 $\Rightarrow$a = 2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2 và a = 2 vào d ta được

2 = 2.1 + b

$\iff 2=2+b$

$\iff b=0$.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(5; 4) và tạo với trục Ox một góc bằng $45°$.

Lời giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d: y = ax + b (a ≠ 0)

Vì $45°<90°$nên a =  $\tan 45°$ = 1

Vì d đi qua B(5; 4) nên ta thay x = 5; y = 4; a = 1 vào d ta được:

4 = 1.5 + b

$\iff 4=5+b$

$\iff b=-1$

Vậy đường thẳng cần tìm là d: y = x – 1.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường thẳng d: y = ax + 3. Tìm hệ số góc của d biết

a) d song song với đường thẳng y = 2x - 1

b) d vuông góc với đường thẳng y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$x – 1.

Bài 2: Cho đường thẳng d: y = ax + $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tìm hệ số góc của d biết

a) d đi qua $A\left(\frac{-\sqrt{2}}{2};1\right)$

b) d song song với đường thẳng y = 3x – 1.

Bài 3: Xác định đường thẳng d biết:

a) d đi qua $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2};2\right)$ và có hệ số góc là -2.

b) Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua B(-2; 3).

Bài 4: Tìm góc tạo bởi trục Ox với đường thẳng d biết

a) d: y = $\frac{1}{\sqrt{3}}$x – 2

b)  d đi qua 2 điểm A(0;1) và $B\left(\sqrt{3};0\right)$.

Bài 5: Xác định đường thẳng d biết d đi qua A(2;-3) và tạo với Ox một góc $135°$.

Bài 6: Cho hai đường thẳng d: y = 2x + 4 và d’: y = $\frac{-1}{2}$x – 1.

a) Vẽ hai đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Gọi giao điểm của d và d’ với trục tung là B và C. Chứng minh tam giác ABC vuông với A là giao điểm của d và d’

c) Tính các góc tam giác ABC.

Bài 7: Tìm hệ số góc của đường thẳng $△$biết

a) $△$ đi qua $A\left(\sqrt{2};1\right)$ và $B\left(0;1+3\sqrt{2}\right)$

b) $△$ đi qua $C\left(\frac{1}{2};\frac{-1}{4}\right)$ và giao điểm của hai đường thẳng y = 2x – 1 và y = 3x + 2.

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua $A\left(\frac{1}{3};\frac{-1}{2}\right)$ và có hệ số góc là tung độ của giao điểm hai đường thẳng y = 2x – 5 và y = -x – 1.

Bài 9: Cho đường thẳng d tạo với trục hoành một góc $150°$ và đi qua A(-3;-2).

Tìm tọa độ giao điểm của d với đường thẳng y = 2x + 3.

Bài 10: Cho đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$x + 4 và d’: y = -x + 4. Gọi A, B là giao điểm của d và d’ với trục Ox, C là giao điểm của d và d’.

a) Tìm tọa độ A, B, C.

b) Xác định góc giữa d và d’ tạo với Ox.

c) Tính các góc của tam giác ABC.

d) Tính chu vi tam giác ABC.

e) Tính diện tích tam giác ABC.