Cung chứa góc, các bài toán về quỹ tích, dựng hình và cách giải - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Quỹ tích cung chứa góc

- Với đoạn thẳng AB và góc $\alpha \left(0°<\alpha <180°\right)$cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn $\widehat{AMB}=\alpha$ là hai cung chứa góc $\alpha$ dựng trên đoạn AB.

Chú ý:

- Hai cung chứa góc $\alpha$ nói trên ta gọi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích .

- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

2. Cách vẽ cung chứa góc $\mathit{\alpha }$

- Vẽ đường trung trung trực d của đoạn thẳng AB;

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc $\alpha$;

- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d;

- Vẽ cung $\stackrel{⏜}{AmB}$, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung $\stackrel{⏜}{AmB}$ được vẽ như trên là một cung chứa góc $\alpha$.

3. Cách giải một bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó ta là như sau:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần nghịch: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Quỹ tích là cung chứa góc $\mathit{\alpha }$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ cố định trong hình vẽ.

Bước 2: Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc $\alpha$không đổi.

Bước 3: Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm là cung chứa góc $\alpha$ dựng trên đoạn cố định.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, BC cố định, $\widehat{A}=50°$. Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D.

Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=180°-50°$

$\iff \widehat{B}+\widehat{C}=130°$

Lại có:

 D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC nên BD là phân giác $\widehat{B}$.

$\Rightarrow \widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{B}$

D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam gác ABC nên CD là phân giác $\widehat{C}$.

$\Rightarrow \widehat{DCB}=\frac{1}{2}\widehat{C}$

Do đó:

$\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=\frac{1}{2}\widehat{B}+\frac{1}{2}\widehat{C}$

$\iff \widehat{DBC}+\widehat{DCB}=\frac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

$\iff \widehat{DBC}+\widehat{DCB}=\frac{1}{2}.130°$

$\iff \widehat{DBC}+\widehat{DCB}=65°$

Xét tam giác BCD có:

$\widehat{BDC}+\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=180°$

$\iff \widehat{BDC}+65°=180°$

$\iff \widehat{BDC}=180°-65°$

$\iff \widehat{BDC}=115°$

Do BC cố định nên quỹ tích điểm D là hai cung chứa góc $115°$dựng trên đoạn BC.

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm di động trên đường tròn. Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BCD vuông cân tại C. Tìm quỹ tích điểm D.

Lời giải:

Phần thuận:

Ta có:

$\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{ACB}=90°$

Lại có:

$\widehat{DCB}$ (do tam giác BCD vuông cân tại C)

Do đó: $\widehat{ACB}+\widehat{DCB}=180°$

=> A, C, D thẳng hàng.

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{CDB}=45°$ (do tam giác BCD vuông cân)

Vì AB cố định nên D nằm trên cung chứa góc $45°$dựng trên đoạn AB.

Dựng đường thẳng vuông góc với AB tại A, đường thẳng này giao với cung chứa góc $45°$dựng trên đoạn AB là I.

Nếu $C\equiv A\Rightarrow D\equiv I$

Phần đảo:

Lấy điểm D’ bất kỳ trên cung chứa góc $45°$ dựng trên đoạn Ab (D’ thuộc cung IB). Nối AD’ cắt nửa đường tròn (O) tại C’. Ta đi chứng minh tam giác BCD’ vuông cân tại C’

Ta có:

$\widehat{A{C}^{\text{'}}B}=90°$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên $\widehat{B{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=90°$ (kề bù với góc $\widehat{A{C}^{\text{'}}B}$)

mà $\widehat{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}B}=45°$do đó tam giác BC’D’ vuông cân tại C’.

Vậy quỹ tích điểm D là cung BI của cung chứa góc $45°$dựng trên đoạn AB.

Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn và bài toán dựng hình

Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là AB và cùng nhìn đoạn cố định AB dưới một góc không đổi.

Ví dụ 1: Từ điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B là tiếp điểm và cát tuyến SCD với đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Vì SA là tiếp tuyến của đường tròn, A là tiếp điểm nên SA vuông góc với OA.

$\Rightarrow \widehat{SAO}=90°$

Vì SB là tiếp tuyến của đường tròn, B là tiếp điểm nên SB vuông góc với OB.

$\Rightarrow \widehat{SBO}=90°$

Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất)

$\Rightarrow \widehat{SOI}=90°$

Gọi trung điểm của SO là K.

Tam giác OAS vuông tại A với K là trung điểm của SO

$\Rightarrow OK=KS=AK=\frac{1}{2}SO$ (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (1)

Tam giác OBS vuông tại B với K là trung điểm của SO

$\Rightarrow OK=KS=BK=\frac{1}{2}SO$ (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (2)

Tam giác OIS vuông tại I có K là trung điểm của SO

$\Rightarrow OK=KS=IK=\frac{1}{2}SO$ (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow OK=KS=IK=AK=BK=\frac{1}{2}SO$

Hay 5 điểm A, B, S, I, O cách đều điểm K.

Vậy 5 điểm A, B, S, I, O cùng nằm trên một đường tròn (K) bán kính KS.

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên OA lấy điểm M sao cho OM = OB. Trên OB lấy N sao cho ON = OA. Chứng minh: 4 điểm D, M, N, C thuộc cùng một đường tròn.

Lời giải:

Xét tam giác OAB và tam giác OMN có:

$\widehat{AOB}$ chung

OA = ON

OB = OM

Do đó $\Delta AOB=\Delta NOM$ (c – g – c)

$\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{MNO}$ (hai góc tương ứng)    (1)

Mặt khác, do ABCD là hình thang nên AB // CD (giả thuyết)

$\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{DCO}$ (hai góc so le trong)    (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{MNO}=\widehat{DCO}$

Hai góc này cùng nhìn cạnh MD.

Do đó hai điểm N, C cùng nằm trên cung tròn dựng trên đoạn MD với góc $\widehat{DCO}$.

Ví dụ 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm, $\widehat{D}=70°$.

Lời giải:

Cách dựng hình:

- Dựng đoạn CD = 3cm.

- Dựng góc $\widehat{CDx}=70°$.

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng đường tròn tâm C bán kính 4cm cắt Dx tại A.

- Dựng dây Ay song song với CD.

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B.

- Nối B với C ta được hình thang ABCD cần dựng.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Bài 2: Dựng tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 4,5cm, AB = 2cm.

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Trên cung AM lấy điểm N. Trên tia đối của tia Am lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đố tia NB lấy điểm E sao cho NA = NE, trên tia đối của tia MB lấy điểm C sao cho MC = MA. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Bài 4: Dựng một cung chứa góc $55°$trên đoạn AB = 3cm

Bài 5: Cho I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC với $\widehat{A}=60°$. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài 6: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích điểm M khi E di động trên BC.

Bài 7: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA, OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ điểm I đến OA, OB, Tìm quỹ tích các điểm M.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BF. Từ điểm I nằm giữa B và F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt Ai tại D. Hai đường thẳng DN và BF cắt nhau tại E. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Năm điển A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra BE vuông góc với CE.

Bài 9: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh 4 điểm B, C, M, K thuộc cùng một đường tròn.

Bài 10: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

a) Chứng minh $\widehat{AIB}$ không đổi.

b) Tìm tập hợp tất cả các điểm I nói trên.