Hệ phương trình có chứa tham số và cách giải bài tập - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.\text{ (*)}$

- Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

- Từ hai phương trình của hệ phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số, ta thu được một phương trình mới gồm một ẩn. Khi đó số nghiệm của phương trình mới bằng số nghiệm hệ phương trình đã cho.

Chú ý: Với trường hợp $a\text{'};b\text{'};c\text{'}\ne 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}\ne \frac{c}{c\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}$.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải: Để giải và biện luận hệ phương trình (*) ta làm như sau:

Bước 1: Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình cơ bản đã học như thế, cộng đại số, ta thu được phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và biện luận hệ phương trình đã cho.

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình (*) bằng số nghiệm của phương trình mới.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với m là tham số

$\left\{\begin{array}{l}x+my=2m\\ mx+y=1-m\end{array}\right.$  (*)

a) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

b) Tìm m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$\left\{\begin{array}{l}x+my=2m\text{ (1)}\\ mx+y=1-m\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ (1) ta có: x = 2m – my thay vào (2) ta được:

$m\left(2m-my\right)+y=1-m$

$\iff 2m^2-m^{2}y+y-1+m=0$

$\iff \left(1-m^2\right)y+2m^2+m-1=0$(**)

Để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì phương trình (**) phải có nghiệm duy nhất.

(**) có nghiệm duy nhất  $\iff 1-m^2\ne 0$

$\iff (1-m)(1+m)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}1-m\ne 0\\ 1+m\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m\ne -1\end{array}\right.$

Khi đó: $\left(1-m^2\right)y=-2m^2-m+1$

$\iff y=\frac{-2m^2-m+1}{1-m^2}$

$\iff y=\frac{-2m^2-2m+m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}$

$\iff y=\frac{-2m\left(m+1\right)+\left(m+1\right)}{\left(1-m\right)\left(m+1\right)}$

$\iff y=\frac{\left(m+1\right)\left(1-2m\right)}{\left(1-m\right)\left(m+1\right)}=\frac{1-2m}{m+1}$

Vì  $x=2m-my$

$\Rightarrow x=2m-m\frac{1-2m}{m+1}$

$\iff x=\frac{2m\left(m+1\right)-m\left(1-2m\right)}{m+1}$

$\iff x=\frac{2m^2+2m-m+2m^2}{m+1}$

$\iff x=\frac{4m^2+m}{m+1}$

Hệ phương trình có nghiêm duy nhất khi và chỉ khi $m\ne \pm 1$ và nghiệm duy nhất đó là $\left(\frac{4m^2+m}{m+1};\frac{1-2m}{m+1}\right)$.

b) Để hệ (*) vô nghiệm thì phương trình (**) phải vô nghiệm.

(**) vô nghiệm $\iff \left\{\begin{array}{l}1-m^2=0\\ 2m^2+m-1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(1-m\right)\left(1+m\right)=0\\ 2m^2+2m-m-1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.\\ 2m(m+1)-(m+1)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.\\ (m+1)(2m-1)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m\ne \frac{1}{2}\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow m=1$

Vậy m = 1 thì hệ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình với m là tham số

$\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right.$(I)

 Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm.

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\text{ (1)}\\ 4x-my=m+6\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta có:

y = mx – 2m thay vào phương trình (2) ta có:

$4x-m(mx-2m)=m+6$

$\iff 4x-m^{2}x+2m^2=m+6$

$\iff (4-m^2)x+2m^2-m-6=0$ (II)

Để hệ phương trình (I) có nghiệm thì phương trình (II) phải có nghiệm.

Để phương trình (II) có nghiệm ta có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (II) có nghiệm duy nhất

$\Rightarrow 4-m^2\ne 0$

$\iff \left(2-m\right)\left(2+m\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2-m\ne 0\\ 2+m\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m\ne -2\end{array}\right.$

Trường hợp 2: Phương trình (II) có vô số nghiệm

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4-m^2=0\\ 2m^2-m-6=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}(2-m)(2+m)=0\\ 2m^2-4m+3m-6=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}\right.\\ 2m\left(m-2\right)+3\left(m-2\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}\right.\\ (m-2)(2m+3)=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=\frac{-3}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow m=2$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m\ne -2$thì hệ phương trình luôn có nghiệm.

Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có).

Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m.

Bước 4: Thay x; y vào điều kiện đề bài và giải điều kiện.

Bước 5: Kết luận.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}3x+my=4\\ x+y=1\end{array}\right.$  (với m là tham số)

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x < 0; y > 0.

Lời giải:

a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

 $\iff \frac{3}{1}\ne \frac{m}{1}$ $\iff m\ne 3$

Vậy $m\ne 3$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Với m = 3 thì hệ phương trình vô nghiệm nên hệ này có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất

Theo bài ra ta có:

$\left\{\begin{array}{l}3x+my=4\\ x+y=1\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}3x+m\left(1-x\right)=4\\ 1-x=y\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x+m-mx=4\\ 1-x=y\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\left(3-m\right)x=4-m\\ 1-x=y\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4-m}{3-m}\\ 1-x=y\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4-m}{3-m}\\ y=1-\frac{4-m}{3-m}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4-m}{3-m}\\ y=\frac{\left(3-m\right)-\left(4-m\right)}{3-m}\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4-m}{3-m}\\ y=\frac{-1}{3-m}\end{array}\right.$

Để y > 0 $\iff \frac{-1}{3-m}>0$

$\Rightarrow 3-m<0$

$\iff -m<-3$

$\iff m>3$

Để x < 0 $\iff \frac{4-m}{3-m}<0$

Trường hợp 1:

$\left\{\begin{array}{l}4-m>0\\ 3-m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<4\\ m>3\end{array}\right.\Rightarrow 3<m<4$

Trường hợp 2:

$\left\{\begin{array}{l}4-m<0\\ 3-m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>4\\ m<3\end{array}\right.$ (vô lí)

Kết hợp điều kiện x và y ta thấy để y > 0 và x < 0 thì 3 < m < 4.

Ví dụ 2: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x; y) và x; y nguyên.

$\left\{\begin{array}{l}mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.$ (m là tham số).

Lời giải:

+ Với m = 0 khi đó hệ trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}0x+2y=0+1\\ 2x+0y=2.0+1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2y=1\\ 2x=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$     (loại vì không phải nghiệm nguyên)

+ Với $m\ne 0$hệ phương trình có nghiệm duy nhẩt

$\iff \frac{m}{2}\ne \frac{2}{m}$

$\iff m^2\ne 4$

$\iff m\ne \pm 2$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}2y=m+1-mx\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ 2x+m\frac{m+1-mx}{2}=2m-1\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ 4x+m^2+m-m^{2}x=4m-2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ \left(4-m^2\right)x=-m^2-m+4m-2\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ x=\frac{-m^2+3m-2}{4-m^2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\left(2-m\right)\left(m-1\right)}{\left(2-m\right)\left(2+m\right)}\\ y=\frac{m+1-mx}{2}\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{m-1}{2+m}\\ y=\frac{m+1-m.\frac{m-1}{2+m}}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{m-1}{2+m}\\ y=\frac{\frac{\left(m+1\right)\left(2+m\right)-\left(m^2-m\right)}{2+m}}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{m-1}{2+m}\\ y=\frac{2m+2+m^2+m-m^2+m}{2(2+m)}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{m-1}{2+m}\\ y=\frac{4m+2}{2(2+m)}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{m-1}{2+m}\\ y=\frac{2m+1}{2+m}\end{array}\right.$

Để x nguyên thì $\frac{m-1}{2+m}\in \mathbb{Z}$

Ta có:

$\frac{m-1}{2+m}=\frac{m+2-3}{m+2}=\frac{m+2}{m+2}-\frac{3}{m+2}=1-\frac{3}{m+2}$

Để $\frac{m-1}{2+m}\in \mathbb{Z}$ thì $\frac{3}{m+2}$ $\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow 3⋮\left(m+2\right)$

Hay $\left(m+2\right)\in$Ư(3)

Ư(3) = $\left\{\pm 1;\pm 3\right\}$

Để y nguyên thì $\frac{2m+1}{2+m}\in \mathbb{Z}$

Ta có:

$\frac{2m+1}{2+m}=\frac{2m+4-3}{2+m}=\frac{2\left(m+2\right)}{m+2}-\frac{3}{m+2}$= 2 - $\frac{3}{m+2}$

Để $\frac{m-1}{2+m}\in \mathbb{Z}$ thì $\frac{3}{m+2}\in \mathbb{Z}$(tương tự câu a)

Vậy để hệ phương trình có nghiệm (x; y) nguyên thì $m\in \left\{-5;-3;-1;1\right\}$.

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các ẩn trong hệ phương trình không phụ thuộc vào tham số m

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế làm mất tham số m.

Bước 3: Kết luận

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}mx+y=-1\\ x+y=-m\end{array}\right.$ (m là tham số)

Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

Lời giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{m}{1}\ne \frac{1}{1}\Rightarrow m\ne 1$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}mx+y=-1\\ x+y=-m\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}mx+y=-1\text{ (1)}\\ m=-x-y\text{ (2)}\end{array}\right.$

Thay (2) vào (1) ta được:

 x(-x – y) + y = -1

$\iff -x^2-xy+y+1=0$ 

Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là $-x^2-xy+y+1=0$.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x+y=m+4\\ 2x+3y=4m\end{array}\right.$  (m là tham số)

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=m+4\text{ (1)}\\ 2x+3y=4m\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ (1) ta có: m = x + y – 4 thay vào (2) ta được:

2x + 3y = 4(x + y – 4)

$\iff$2x + 3y = 4x + 4y – 16

$\iff$4x +4y – 16 – 2x – 3y = 0

$\iff$2x + y - 16 = 0

Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m là 2x + y – 16 = 0.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+3y=6\\ x+2y=4\end{array}\right.$  (m là tham số). Tìm điều kiện của m để hệ phương trình vô số nghiệm.

Bài 2:  Cho hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}2mx-5y=-2\\ 5x-2my=3-2m\end{array}\right.$  (m là tham số)

a) Tìm m để hẹ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x; y nguyên.

Bài 3: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right.$  (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.

Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2mx+y=2\\ x+2my=4-4m\end{array}\right.$ (m là tham số)

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Tìm các giá trị nguyên của m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x nguyên; y nguyên.

Bài 5: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+y=3\\ 4x+my=6\end{array}\right.$ (m là tham số)

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhât (x; y) thỏa mãn x > 2; y > 0.

Bài 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2mx+y=5\\ mx+3y=1\end{array}\right.$  (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 2.

Bài 7: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-my=0\\ mx-y=m+1\end{array}\right.$ (với m là tham số)

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Bài 8: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+4y=m+3\\ x-y=m+1\end{array}\right.$  (với m là tham số)

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

Bài 9: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2mx+4y=3\\ x-2y=m+1\end{array}\right.$ (với m là tham số)

Tìm m để 2x – 3y = 0.

Bài 10: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2mx+y=2\\ 8x+my=m+2\end{array}\right.$  (với m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = -1.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -6).

c) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

e) Tìm m để 4x + 3y = 7

f) Tìm m để x – y > 0.