Hàm số bậc nhất và cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất - Toán lớp 9

I. Lí thuyết

1. Đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b với $a\ne 0$có đồ thị là một đường thẳng.

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;

- Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với y = ax nếu b = 0.

Kí hiệu là d: y = ax + b.

2. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Xét đường thẳng d: y = ax + b với $a\ne 0$

Bước 1: Xét hệ số b

- Nếu b = 0 ta có d: y = ax đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a)

- Nếu $b\ne 0$ thì d đi qua hai điểm A(0; b) và $B\left(\frac{-b}{a};0\right)$

Bước 2:

- Nếu b = 0, ta vẽ đường thẳng d đi qua hai điểm O(0; 0) và A(1; a). Đường thẳng d là đồ thị hàm số.

- Nếu  b ≠ 0, ta vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0; b) và $B\left(\frac{-b}{a};0\right)$. Đường thẳng d là đồ thị hàm số.

3. Chú ý

- Trục tung là đường thẳng x = 0

- Trục hoành là đường thẳng y = 0.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Phương pháp giải: Xét đường thẳng d: y = ax + b với $a\ne 0$

- Nếu b = 0 ta có d: y = ax đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a)

- Nếu $b\ne 0$ thì d đi qua hai điểm A(0; b) và $B\left(\frac{-b}{a};0\right)$.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x

b) y = x - 1

c) y = 2x – 3.

Lời giải:

a) Xét đường thẳng d: y = 2x có b = 0

Vậy d đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a)

Với a = 2 nên d đi qua A(1; 2)

Ta có đồ thị như hình vẽ

b) Xét đường thẳng d: y = x – 1 có b = -1 $\ne 0$

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = 1 $\Rightarrow$A(1; 0)

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = -1 $\Rightarrow$B(0; -1)

Vậy đường thẳng d đi qua hai điểm A và B có đồ thị như hình vẽ

c) Xét đường thẳng d: y = 2x – 3 có b = -3 $\ne 0$

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = -3 $\Rightarrow$A(0; -3)

Cho y = 0$\Rightarrow x=\frac{3}{2}$$\Rightarrow B\left(\frac{3}{2};0\right)$

Vậy đường thẳng d đi qua 2 đểm A và B nên ta có đồ thị

Dạng 2: Xác định điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Cho hàm số y = ax + b và M(m, n) với a$\ne$ 0

Cách 1: Ta biểu diễn điểm M và đồ thị hàm số d: y = ax +b trên cùng một hệ trục tọa độ

Nếu điểm M thuộc đồ thị hàm số thì điểm đó nằm trên đường thẳng d

Nếu điểm M không thuộc đồ thị hàm số thì điểm M không nằm trên đường thẳng d.

Cách 2: Ta thay tọa độ điểm M vào hàm số

Nếu am + b = n thì M thuộc đồ thị hàm số

Nếu am + b $\ne$n thì M không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ 1: Xét các điểm M(2; 1); N(3; -4); P(3; 2) có thuộc đồ thị hàm số y = 2x  - 10 hay không?

Lời giải:

- Xét điểm M(2; 1)

Thay x = 2 vào hàm số ta có:

y = 2.2 – 10 = 4 – 10 = -6 $\ne$1 nên điểm M không thuộc đồ thị hàm số.

- Xét điểm N(3; -4)

Thay x = 3 vào hàm số ta có:

y = 2.3 – 10 = 6 – 10 = -4 nên điểm N thuộc đồ thị hàm số.

 - Xét điểm P(3; 2)

Thay x = 3 vào hàm số ta có:

y = 2.3 – 10 = -4 $\ne$2 nên điểm P không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = -2x + 4 và điểm A(3; -2); B(3; 2); C(1; 2).  Bằng phương pháp vẽ đồ thị hãy xác định các điểm A; B; C có thuộc đồ thị hàm số đã cho không?

Lời giải:

Xét d: y = -2x + 4

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 4 $\Rightarrow$M(0; 4)

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = 2 $\Rightarrow$N(2; 0)

Vậy d: y = -2x + 4 đi qua hai điểm M,N.

Ta vẽ d và các điểm A, B, C trên cùng một hệ trục tọa độ:

Từ hình vẽ trên ta thấy A và C thuộc đồ thị hàm số

Điểm B không thuộc đồ thị hàm số.

Dạng 3: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Phương pháp giải: Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với a, a’$\ne$ 0

Để tìm tọa độ giao điểm d và d’ ta làm như sau:

Cách 1: Phương pháp đại số:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’

ax + b = a’x + b’

Bước 2: Từ phương trình hoành độ giao điểm ta tìm được x, thay x vào d hoặc d’ để tìm y

Bước 3: Kết luận giao điểm

Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ

Bước 1: Vẽ d và d’ trên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 2 Từ hình vẽ xác định tọa độ giao điểm

Bước 3: Kết luận giao điểm

Ví dụ 1: Bằng phương pháp đại số hãy xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau d: y = 3x + 1 và d’: y = 2x – 3.

Lời giải:

Gọi A là tọa độ giao điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’

3x +1 = 2x – 3

$\iff$3x – 2x = -1 – 3

$\iff$x = -4

$\Rightarrow$y = 3.(-4) + 1 = -12 + 1 = -11

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là A(-4; -11).

Ví dụ 2: Bằng phương pháp tọa độ hãy xác định giao điểm của d: y = x +1 và

d’: y = -2x + 3.

Lời giải:

- Xét đường thẳng d: y = x + 1

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 1 $\Rightarrow$A(0; 1)

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = -1 $\Rightarrow$B(-1; 0)

Vậy d là đường thẳng đi qua A(0; 1) và B(-1; 0).

- Xét đường thẳng d’: y = -2x + 3

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 3 $\Rightarrow$A’(0; 3)

Cho y = 0 $\Rightarrow$$x=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow B\text{'}\left(\frac{3}{2};0\right)$

Vậy d’ đi qua hai điểm A’(0; 3) và $B\text{'}\left(\frac{3}{2};0\right)$.

Vẽ d và d’ trên cùng một hệ trục tọa độ

Từ đồ thị ta thấy tọa độ giao điểm d và d’ là điểm $M\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)$.

Dạng 4: Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

- Ba đường thẳng phân biệt cùng đi qua một điểm thì ta nói ba đường thẳng đó đồng quy.

Phương pháp giải: Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm hai trong ba đường đã cho

Bước 2: Kiểm tra xem giao điểm vừa tìm được có thuộc đường thứ ba hay không. Nếu thuộc đường thứ ba thì ba đường thẳng đồng quy, nếu không thuộc đường thứ ba thì ba đường thẳng đó không đồng quy.

Ví dụ 1: Cho ba đường thẳng $d_1$: y = 4x – 3; $d_2$: y = 3x – 1; $d_3$: y = x + 3. Hỏi $d_1; d_2; d_3$ có đồng quy hay không?

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$và $d_2$ta có:

4x – 3 = 3x – 1

$\iff 4x-3x=3-1$

$\iff x=2$

$\Rightarrow$y = 2.4 – 3 = 5

Tọa độ giao điểm $d_1; d_2$ là A(2; 5)

Thay x = 2 vào $d_3$ ta được:

y = 2 + 3 = 5

$\Rightarrow$A(2; 5) $\in d_3$

Vậy ba đường thẳng $d_1; d_2; d_3$ đồng quy.

Ví dụ 2: Cho ba đường thẳng $d_1$: y = 2x – 4; $d_2$: y = mx + 2; $d_3$: y = x + 1

Tìm m để $d_1; d_2; d_3$ đồng quy.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$và $d_3$là:

2x – 4 = x + 1

$\iff 2x-x=4+1$

$\iff x=5$

$\Rightarrow$y = 5 + 1 = 6

Tọa độ giao điểm $d_1$và $d_3$ là A(5; 6)

Để $d_1; d_2; d_3$ đồng quy thì A phải thuộc $d_2$

Thay x = 5; y = 6 vào $d_2$ta được:

6 = 5m +2

$\iff 5m=6-2$

$\iff 5m=4$

$\iff m=\frac{4}{5}$

Vậy $\iff m=\frac{4}{5}$thì $d_1; d_2; d_3$ đồng quy.

Dạng 5: Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng cho trước

Phương pháp giải: Để tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d không đi qua O ta có các bước sau:

Bước 1: Tìm A và B là giao điểm của d với Ox và Oy

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d. Khi đó OH chính là khoảng cách của O đến d

Với tam giác OAB vuông tại O có OH là đường cao ta có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{A{O}^2}+\frac{1}{B{O}^2}$.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = x – 1. Tính khoảng cách từ O đến d

Lời giải:

Cho x = 0$\Rightarrow$y = -1 $\Rightarrow$A(0; -1) thuộc Oy

Cho y = 0$\Rightarrow$x = 1 $\Rightarrow$B(1; 0) thuộc Ox

Gọi H là hình chiếu của O lên d:

Ta có hình vẽ:

Từ hình vẽ ta có:

|OA| = |-1| = 1

|OB| = |1| = 1

Tam giác OAB vuông tại O có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{A{O}^2}+\frac{1}{B{O}^2}$

$\iff \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}$

$\iff \frac{1}{O{H}^2}=2$

$\iff O{H}^2=\frac{1}{2}$

$\iff OH=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là $\frac{\sqrt{2}}{2}$(đơn vị độ dài).

Ví dụ 2:  Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d: y = 2x – 3

Lời giải:

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = -3$\Rightarrow$A(0; - 3) thuộc Oy

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = $\frac{3}{2}$$\Rightarrow B\left(\frac{3}{2};0\right)$ thuộc Ox

|OA| = |-3| = 3

|OB| = $\left|\frac{3}{2}\right|$=$\frac{3}{2}$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d

Tam giác OAB vuông tại O ta có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{A{O}^2}+\frac{1}{B{O}^2}$

$\iff \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}$

$\iff \frac{1}{O{H}^2}=\frac{5}{9}$

$\Rightarrow O{H}^2=\frac{9}{5}$

$\iff OH=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Vậy khoảng cách từ O đến d là $\frac{3\sqrt{5}}{5}$(đơn vị độ dài)

Dạng 6: Tìm điểm cố định của đường thẳng không phụ thuộc vào tham số

Phương pháp giải: Cho đường thẳng d: y = ax + b (a $\ne$ 0) phụ thuộc vào tham số m với m là tham số trong các hệ số a, b.

1. Điểm $I\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là điểm cố định của d nếu với mọi m, I luôn thuộc d

2. Các bước tìm điểm cố định

Bước 1: Gọi $I\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cố định d luôn đi qua. Khi đó $y_0$ = a$x_0$+ b với mọi m

Bước 2: Biến đổi $y_0$ = a$x_0$+ b về dạng $A\left(x_0;y_0\right)m+B\left(x_0;y_0\right)=0$ hoặc $A\left(x_0;y_0\right)m^2+B\left(x_0;y_0\right)m+C\left(x_0;y_0\right)=0$ với mọi m

$\iff \left\{\begin{array}{l}A\left(x_0;y_0\right)=0\\ B\left(x_0;y_0\right)=0\end{array}\right.$ hoặc $\iff \left\{\begin{array}{l}A\left(x_0;y_0\right)=0\\ B\left(x_0;y_0\right)=0\\ C\left(x_0;y_0\right)=0\end{array}\right.$

Bước 3: Giải $x_0,y_0$

Bước 4: Kết luận điểm I vừa tìm được.

Ví dụ : Tìm điểm cố định mà đường thẳng d: y = (1-2m)x + m - $\frac{7}{2}$

Lời giải:

Điều kiện: $1-2m\ne 0\Rightarrow m\ne \frac{1}{2}$

Gọi $I\left(x_0;y_0\right)$là điểm cố định d luôn đi qua

$\Rightarrow \left(1-2m\right)x_0+m-\frac{7}{2}=y_0$

$\iff m\left(1-2x_0\right)+\left(x_0-\frac{7}{2}-y_0\right)=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1-2x_0=0\\ x_0-\frac{7}{2}-y_0=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x_0=1\\ x_0-\frac{7}{2}-y_0=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}-\frac{7}{2}-y_0=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{1}{2}\\ y_0=-3\end{array}\right.$

Vậy $I\left(\frac{1}{2};-3\right)$là điểm cố định mà d luôn đi qua.

Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức đã học về hàm số, đồ thị àm số kết hợp với vẽ đồ thị hàm số để sử dụng các tính chất hình học như tam giác vuông, tam giác cân, định lý Py – ta – go, hệ thức lượng trong tam giác vuông…

Ví dụ 1: Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m + 1 cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho OA = OB.

Lời giải:

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = m + 1 $\Rightarrow$B(0; m +1 ) thuộc Oy

Cho y = 0$\Rightarrow$x = $\frac{-m-1}{2}$$\Rightarrow A\left(\frac{-m-1}{2};0\right)$ thuộc Ox

OB = |m +1 |

OA = $\left|\frac{-m-1}{2}\right|$

Ta có:

OA = OB

$\Rightarrow \left|\frac{-m-1}{2}\right|=\left|m+1\right|$

TH1: $\frac{-m-1}{2}=m+1$

$\iff -m-1=2m+2$

$\iff 3m=-3$

$\iff m=-1$

TH2: $\frac{-m-1}{2}=-m-1$

$\iff -m-1=-2m-2$

$\iff m=-1$

Vậy m = -1 thì OA = OB.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y = mx + 1 (m$\ne$0). Biết d cắt hai trục Ox và Oy tại hai điểm A và B. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 1.

Lời giải:

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 1$\Rightarrow$B(0; 1) thuộc Oy

Cho y = 0 $\Rightarrow$x =$\frac{-1}{m}$$\Rightarrow A\left(\frac{-1}{m};0\right)$thuộc Ox (với điều kiện m0 đề bài)

OB = |1| = 1

OA = $\left|\frac{-1}{m}\right|$

Vì tam giác OAB vuông tại O

$\Rightarrow S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB$

$\iff S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}.\left|\frac{-1}{m}\right|.1=1$

$\iff \left|\frac{-1}{m}\right|=2$

TH1: $\frac{-1}{m}=2$

$\iff m=\frac{-1}{2}$

TH2: $\frac{-1}{m}=-2$

$\iff m=\frac{1}{2}$

Vậy $m=\frac{-1}{2}$ hoặc $m=\frac{1}{2}$thì diện tích tam giác OAB bằng 1.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường thẳng d: y = 3x + 2

a) Vẽ d trên hệ trục tọa độ

b) Các điểm A(1; 5); B(2; -4); C(2; 8) điểm nào thuộc đồ thị hàm số d.

Bài 2: Cho hai đường thẳng d: 2x + 3y +1 = 0 và d’: y = 3x – 2.

Không vẽ đồ thị hàm số, hãy tìm giao điểm có d và d’.

Bài 3: Các đường thẳng sau đây có đồng quy không? Vì sao?

a) $d_1$: y = 3x + 1; $d_2$: y = -x; $d_3$: y = x + $\frac{1}{2}$

b) $d_1$: x + y – 1 = 0; $d_2$: y = 3x +5; $d_3$: y = $x-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}=0$.

Bài 4: Cho ba đường thẳng $d_1$: y = 3mx + 1; $d_2$: y = 2x – 3; $d_3$: x + 2y = 4. Tìm m để $d_1; d_2; d_3$ đồng quy.

Bài 5: Cho đường thẳng d: y = (2m +1)x + 3m – 2. Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định, tìm điểm cố định đó.

Bài 6: Cho đường thẳng d: y = 2x + 5. Tính khoảng cách từ O đến d.

Bài 7: Cho đường thẳng d: y = 3x + m – 1. Tìm m để khoảng cách từ O đến d bằng 2.

Bài 8: Cho đường thẳng d: y = 3x – 1. Biết d cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B. Tính diện tích tam giác OAB.

Bài 9: Cho đường thẳng d: y = (2m-1) x + 4. Tìm m để tam giác OAB là tam giác cân.

Bài 10: Cho hai đường thẳng d: y = 2x - 1 và d’: y = 4x – 3. Bằng phương pháp đồ thị hãy xác định giao điểm của d và d’.

Bài 11: Cho đường thẳng d: y = 2x + 3m + 1. Biết d cắt hai trục Ox; Oy tại hai điểm A; B. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 4.

Bài 12: Cho đường thẳng d: y = -4x + 3

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tính khoảng cách từ O đến d

c) Tính diện tích tam giác OAB với A, B là giao điểm của d với Ox, Oy.