Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác chi tiết - Toán lớp 9

A. Lý thuyết

Ôn lại các công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn và công thức tính diện tích tam giác.

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:

Công thức tính diện tích tam giác (dùng cho tất cả tam giác):

Diện tích = $\frac{1}{2}$ (đường cao) x (cạnh đáy tương ứng)

Tức là: Cho tam giác ABC có đường cao AH ứng với cạnh BC.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$

* Ngoài công thức trên, ta còn có thể sử dụng tỉ số lượng giác để tính diện tích của tam giác, quan sát ở Bài 1 phần ví dụ mịnh họa dưới đây.

B. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}$

Giải:

+) Vẽ tam giác nhọn ABC như hình, có đường cao BH.

+) Xét tam giác ABH vuông tại H:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

Nhận xét: Như vậy ta có thêm một cách tính diện tích tam giác nữa.

Tổng quát như sau: Diện tích của một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

Bài 2: Cho tam giác ABC như hình vẽ. Có $\widehat{B}={30}^o$, AB = 5 cm, BC = 8 cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Giải:

Cách 1:

+) Kẻ đường cao AH ứng với cạnh BC. Xét tam giác AHB vuông tại H:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

Cách 2: Ta áp dụng cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khi đó diện tích tam giác ABC là

S_ABC = $\frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat{ABC}=$$\frac{1}{2}\mathrm{.5.8.}\sin 30°=10$ (cm²)

Bài 3: Cho tam giác ABC, góc A bằng $60°$, biết AB + AC = 8 cm. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

Giải:

+) Kẻ đường cao BK ứng với AC. Xét tam giác BKA vuông tại K .

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương AB và AC ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là $4\sqrt{3}c{m}^2$.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH ứng với cạnh BC như hình vẽ. Nhận định nào sau đây là sai ?

Đáp án: D.

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \widehat{C}$

Đáp án: $AH=AC.\sin \widehat{C}$$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$$=\frac{1}{2}AC.BC.\sin \widehat{C}$

Bài 3: Cho tam giác nhọn MNP có đường cao NK ứng với cạnh MP. Chứng minh rằng: $S_{MNP}=\frac{1}{2}.NP.MP.\cos \widehat{PNK}$

Đáp án: $NK=NP.\cos \widehat{PNK}$$\Rightarrow S_{MNP}=\frac{1}{2}.NK.MP$$=\frac{1}{2}.NP.MP.\cos \widehat{PNK}$

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC . Biết AB=12cm, AC=9cm, $\widehat{A}={60}^o$. Tính diện tích tam giác ABC.

Đáp án: $S_{ABC}=27\sqrt{3}\left(c{m}^2\right)$

Bài 5: Cho tam giác nhọn HKI. Biết $\widehat{H}={30}^o,\widehat{K}={70}^o$, IH=10cm, IK=7cm. Tính diện tích tam giác HKI.

Đáp án: $S_{HKI}\approx 34,47\left(c{m}^2\right)$

Bài 6: Cho tam giác ABC như hình vẽ. Biết AB=14cm, AC=6cm, $\widehat{BAC}={120}^o$. Tính diện tích tam giác ABC.

Đáp án: $S_{ABC}=21\sqrt{3}\left(c{m}^2\right)$

Bài 7: Cho hình thoi ABCD. Biết $\widehat{BAC}={30}^o$, AB=5cm, AC=7cm. Tính diện tích hình thoi ABCD.

Đáp án: $S_{ABCD}=17,5\left(c{m}^2\right)$

Bài 8: Cho tam giác ABC, góc A bằng $60°$, đường phân giác AD. Chứng minh rằng: $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{AD}$

Đáp án:

Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC. Có $\widehat{A}={45}^o$, AB+AC=18(cm). Tính diện tích lớn nhất của tam giác ABC.

Đáp án: $S_{ABC\max }=\frac{81\sqrt{2}}{4}\left(c{m}^2\right)$

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 5 cm, góc A bằng $30°$. Trên tia đối của các tia AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM + AN = 6 cm. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác BCMN.

Đáp án: $S_{BCNM\max }=16\left(c{m}^2\right)$