Công thức về hệ số góc của đường thẳng hay, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng d có phương trình: y = ax + b $\left(a\ne 0\right)$

Khi đó a là hệ số góc của d.

2. Các công thức

Với $\alpha$ là góc tạo bởi trục Ox và d. Ta có:

- Nếu $\alpha <90°$ thì $a>0$ và $a=\tan \alpha$

- Nếu $\alpha >90°$ thì $a<0$ và $a=-\tan \left(180°-\alpha \right)$

- Khi $a>0$ thì là $\alpha$ góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $90°$ .

- Khi a < 0 thì là $\alpha$ góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $180°$ .

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau d: y = ax + b trong các trường hợp sau

a) d song song với đường thẳng : y = 2x + 1.

b) d vuông góc với đường thẳng : y = -3x +6.

c) d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(2; 4).

Lời giải:

a) Vì d // $d_1$ nên $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}=2\\ b\ne 1\end{array}\right.$

Vì a = 2 nên hệ số góc của đường thẳng d là 2.

b) Vì d$\perp d_2$ nên a.a’ = -1

$\iff a.(-3)=-1$

$\iff a=\frac{1}{3}$

Vì $a=\frac{1}{3}$ nên hệ số góc của đường thẳng d là $\frac{1}{3}$ .

c) Vì d đi qua A(1; 3) ta thay x = 1; y = 3 vào d ta được:

3 = a.1 + b

$\Rightarrow a+b=3$ (1)

Vì d đi qua B(2; 4) ta thay x = 2; y = 4 vào d ta được:

4 = 2.a + b

$\Rightarrow 2a+b=4$ (2)

Từ (1) ta có: b = 3 – a thay vào (2) ta được:

$\iff$2a + (3 – a) = 4

$\iff$2a + 3 – a = 4

$\iff$a = 4 – 3

$\iff$a = 1 $\Rightarrow$ b = 2

Vì a = 1 nên hệ số góc của đường thẳng d là 1.

Ví dụ 2: Tìm góc tạo bởi đường thẳng d: y  = -x + 5 với trục Ox.

Lời giải:

Cho x = 0 $\Rightarrow$ y = 5 $\Rightarrow$ A(0; 5)

Cho y = 0 $\Rightarrow$ x = 5 $\Rightarrow$ B(5; 0)

Đồ thị hàm số y = -x + 5 có dạng như hình vẽ cắt hai trục Ox; Oy tại hai điểm B và A.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox

Gọi $\beta$ là góc kề bù với góc $\alpha$

Xét tam giác AOB vuông tại O ta có:

$\tan \beta =\frac{OA}{OB}=\frac{5}{5}=1$

$\Rightarrow \beta =45°$

Mà $\alpha$ ; $\beta$là hai góc kề bù

$\Rightarrow \alpha +\beta =180°$

$\iff \alpha =180°-\beta$

$\iff \alpha =180°-45°$

$\Rightarrow \alpha =135°$

Vậy góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox là góc $135°$ .