Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

Cho đường thẳng $\Delta$  và đường tròn (O; R). Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng $\Delta$ .

+ Nếu OH > R thì $\Delta$  không cắt (O) (không có điểm chung).

+ Nếu OH = R thì $\Delta$ và (O) tiếp xúc nhau hay đường tròn (O) và đường thẳng ∆ có một điểm chung là H.

Khi đó $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (O), H là tiếp điểm.

+ Nếu OH < R thì $\Delta$ và (O) cắt nhau hay đường thẳng ∆ và đường tròn (O) có hai điểm chung là A và B.

Khi đó $\Delta$ là cát tuyến của đường tròn.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 3). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 2) với hai trục Ox; Oy.

Lời giải:

Vẽ AB $\perp$ Oy tại B  $\Rightarrow$AB = 1

Vẽ AC$\perp$Ox tại C $\Rightarrow$AC = 3

Vì AB < R (1 < 2) nên đường tròn (A; 2) cắt trục Oy tại hai điểm F và G như hình vẽ hay (A; 1) cắt Oy.

Vì AC > R (3 > 2) nên đường tròn (A; 2) không cắt trục Ox hay (A) và Ox không giao nhau.

Ví dụ 2: Điền vào chỗ chấm

a) Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi số giao điểm của đường thẳng và đường tròn là…

b) Đường thẳng không cắt đường tròn khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng…

c) Đường tròn (O; 3cm), khoảng cách từ tâm O đến tiếp tuyến của đường tròn là…

d) Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính của đường tròn thì đường thẳng và đường tròn ở vị trí…

Lời giải:

a) Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi số giao điểm của đường thẳng và đường tròn là một.

b) Đường thẳng không cắt đường tròn khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng lớn hơn bán kính của đường tròn.

c) Đường tròn (O; 3cm), khoảng cách từ tâm O đến tiếp tuyến của đường tròn là 3cm.

d) Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính của đường tròn thì đường thẳng và đường tròn ở vị trí cắt nhau.

Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên tia đối tia AB lấy điểm C. Từ C kẻ tiếp tuyến CD với (O), D là tiếp điểm. Kẻ DH $\perp$ AB tại H.

Chứng minh: CH.CO = CA.CB.

Lời giải:

Vì CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) với D là tiếp điểm nên OD $\perp$  CD tại D. Do đó tam giác COD là tam giác vuông tại D.

Lại có DH $\perp$  AB tại H nên DH $\perp$  CO tại H

Xét tam giác CDO vuông tại D, đường cao DH ta có:

$C{D}^2=CH.CO$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).   (1)

Xét tam giác BOD có:

OB = OD = R

Do đó tam giác BOD cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OBD}=\widehat{ODB}$(tính chất tam giác cân).  (2)

Vì ABD có ba đỉnh cùng nằm trên một đường tròn (O) và AB là đường kính nên tam giác ABD vuông tại D.

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADO}+\widehat{ODB}$

$\iff 90°=\widehat{ADO}+\widehat{ODB}$

$\Rightarrow \widehat{ODB}=90°-\widehat{ADO}$  (3)

Ta lại có:

$\widehat{CDO}=\widehat{CDA}+\widehat{ADO}$

$\iff 90°=\widehat{CDA}+\widehat{ADO}$

$\Rightarrow \widehat{CDA}=90°-\widehat{ADO}$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{CDA}=\widehat{ODB}$ (5)

Từ (2) và (5) $\Rightarrow \widehat{CDA}=\widehat{OBD}$

Xét tam giác CDA và tam giác CBD có:

$\widehat{C}$ chung

$\widehat{CDA}=\widehat{OBD}$ (chứng minh trên)

Do đó: $\Delta CDA~\Delta CBD$ (g – g)   (sai kí hiệu đồng dạng)

$\Rightarrow \frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CB}$(hai cặp cạnh tương ứng)

$\Rightarrow CA.CB=C{D}^2$ (6)

Từ (1) và (6)$\Rightarrow CA.CB=C{D}^2=CH.CO$ hay CA.CB = CH.CO.