Các dạng bài tập Hàm số y = a.x^2 và cách giải bài tập - Toán lớp 9

A. Lý thuyết

- Giá trị hàm số tại một điểm: Một điểm M$\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = a$x^2$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_0=a{x_0}^2$. Khi đó, $y_0$ là giá trị hàm số tại điểm $x_0$.

- Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

+) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Tính giá trị hàm số tại một điểm cho trước

Phương pháp giải:

Một điểm M$\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = a$x^2$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_0=a{x_0}^2$. Khi đó, $y_0$ là giá trị hàm số tại điểm $x_0$.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 3$x^2$. Tính giá trị của hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3.

Lời giải:

Gọi điểm có hoành độ bằng 3 là: A(3; y) thuộc đồ thị hàm số.

Ta có: y = 3.$3^2$ = 3.9 = 27

Vậy giá trị của hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là y = 27

Ví dụ 2: Cho hàm số y = -9$x^2$. Tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu thì giá trị của hàm số là y = -9.

Lời giải:

Gọi x là hoành độ của điểm mà tại đó giá trị của hàm số là y = -9.

Ta có: $-9=-9x^2\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Vậy tại x = 1 hoặc x = -1 thì giá trị của hàm số là y = -9.

Dạng 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải:

So sánh hệ số a với số 0, ta có:

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 4$x^2$

Lời giải:

Ta có hệ số a = 4 > 0

Vậy hàm số nghịch biến x < 0 và đồng biến khi x > 0

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số  y = -5$x^2$

Lời giải:

Ta có hệ số a = -5 < 0

Vậy hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tham số m

Phương pháp giải:

Sử dụng các kiến thức về hàm số y = a$x^2$ (a ≠ 0)  để biện luận tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Một điểm M$\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = a$x^2$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_0=a{x_0}^2$. Khi đó,$y_0$ là giá trị hàm số tại điểm $x_0$.

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Đồ thị của hàm số y = (m + 1)$x^2$ (m là tham số và m khác 0) đi qua điểm E(5; 50). Hãy tính giá trị của hàm số tại x = 7.

Lời giải:

Đồ thị của hàm số y = (m + 1)$x^2$ (m là tham số và m khác 0) đi qua điểm E(5; 50)

Nên ta có giá trị của hàm số tại x = 5 là y = 50

$\Rightarrow 50=(m+1){.5}^2\iff 50=\left(m+1\right)25$

$\iff m+1=\frac{50}{25}\iff m+1=2\iff m=1$ (thỏa mãn điều kiện)

Giá trị của hàm số y = 2$x^2$ tại x = 7 là: y = 2.$7^2$ = 2.49 = 98

Vậy giá trị của hàm số tại x = 7 là y = 98

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = (2m – 3)$x^2$ hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 .

Lời giải:

Hàm số y = (2m – 3)$x^2$ hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 khi và chỉ khi hệ số a = 2m – 3 < 0

$\iff$ 2m < 3

$\iff m<\frac{3}{2}$

Vậy khi $m<\frac{3}{2}$ thì hàm số y = (2m – 3)$x^2$ hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 .

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị hàm số y = -7$x^2$ tại x = 7.

Bài 2: Tìm giá trị hàm số y = 8$x^2$ tại x = 0.

Bài 3: Tìm điểm A(x; 8) thuộc đồ thị hàm số y = 2$x^2$. Biết điểm A có hoành độ dương.

Bài 4: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = -12$x^2$.

Bài 5: Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số y = 5$x^2$.

Bài 6: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 11$x^2$.

Bài 7: Tìm giá trị của tham số m, biết hàm số y = (m – 2)$x^2$ đi qua điểm B(3; 6).

Bài 8: Cho hàm số y = (2m – 4)$x^2$ đi qua điểm C(3; 9). Tính giá trị của hàm số tại x = 2.

Bài 9: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = (4m – 1)$x^2$ đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x > 0 .

Bài 10: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = |m – 3|$x^2$ nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x > 0 .