Các dạng bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải bài tập - Toán lớp 9

A. Lí thuyết

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1. Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

+ Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.

+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài để đưa ra kết luận.

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Toán công việc

Phương pháp giải:

- Năng suất được tính bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành.

- Đối với bài toán công việc làm chung, làm riêng: Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị. Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành sớm hơn 4 ngày so với giảm năng suất 20 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến theo kế hoạch.

Lời giải:

Gọi năng suất dự kiến tổ sản xuất làm trong một ngày là x (sản phẩm/ngày, x > 0)

Số sản phẩm tổ sản xuất làm mỗi ngày khi tăng năng suất thêm 10 sản phẩm một ngày là: x + 10 (sản phẩm/ ngày)

Số ngày tổ sản xuất phải làm sau khi tăng năng suất là $\frac{720}{x+10}$ (sản phẩm)

Số sản phẩm tổ sản xuất làm mỗi ngày khi giảm năng suất đi 20 sản phẩm một ngày là: x – 20 (sản phẩm)

Số ngày tổ sản xuất phải làm sau khi giảm năng suất là $\frac{720}{x-20}$(sản phẩm)

Vì nếu tăng năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành sớm hơn 4 ngày so với giảm năng suất 20 sản phẩm mỗi ngày nên ta có phương trình:

$\frac{720}{x-20}-\frac{720}{x+10}=4$

$\iff \frac{720(x+10)}{(x+10)(x-20)}-\frac{720(x-20)}{(x+10)(x-20)}=\frac{4(x+10)(x-20)}{(x+10)(x-20}$

$\Rightarrow 720(x+10)-720(x-20)=4(x+10)(x-20)$

$\Rightarrow 720x+7200-720x+14400=4(x^2-20x+10x-200)$

$\Rightarrow 720x+7200-720x+14400=4x^2-80x+40x-800$

$\Rightarrow 4x^2-40x-22400=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta \text{'}={(-20)}^2-4.(-22400)=90000$ > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-20)+\sqrt{90000}}{4}=80$ (thỏa mãn điiều kiện)

$x_2=\frac{-(-20)-\sqrt{90000}}{4}=-70$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy năng suất dự kiến theo kế hoạch là 80 sản phẩm /ngày

Ví dụ 2:  Hai người cùng làm một cộng việc trong 7 giờ 12 phút thì xong, nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu thì xong công việc ?

Lời giải:

Đổi 7 giờ 12 phút = $\frac{36}{5}$ giờ

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ, x > $\frac{36}{5}$

Do hai người cùng làm một cộng việc trong 7 giờ 12 phút thì xong nên trong một giờ, hai người làm được lượng công việc là: $\frac{1}{\frac{36}{5}}=\frac{5}{36}$. Do đó, trong 1 giờ người thứ hai làm được lượng công việc là $\frac{5}{36}-\frac{1}{x}$ (giờ)

Vì người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ được 50% công việc nên ta có phương trình:

$\frac{4}{x}+3\left(\frac{5}{36}-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \frac{4}{x}+\frac{5}{12}-\frac{3}{x}=\frac{1}{2}$

$\iff \frac{4.12}{12x}+\frac{5x}{12x}-\frac{3.12}{12x}=\frac{6x}{12x}$

$\Rightarrow 48+5x-36=6x$

$\Rightarrow x=12$(thỏa mãn điều kiện)

Trong 1 giờ người thứ hai làm được lượng công việc là: $\frac{5}{36}-\frac{1}{12}=\frac{1}{18}$. Vậy Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là 18 giờ

Vậy người thứ nhất làm một mình thì 12 giờ xong công việc, người thứ hai làm một mình là 18 giờ.

Dạng 2: Toán chuyển động

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: Quãng đường = Vận tốc . Thời gian

+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe điđược là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.

+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B (chiều từ A đến B), xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B

Lời giải:

Đổi 30 phút = 0,5 giờ

Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x > 0). Thời gian xe đi từ A đến B là $\frac{24}{x}$ (giờ)

Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc x + 4 (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là

$\frac{24}{x+4}$ (giờ)

Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:

$\frac{24}{x}-\frac{24}{x+4}=\mathrm{0,5}$

$\iff \frac{24(x+4)}{x(x+4)}-\frac{24x}{x(x+4)}=\frac{\mathrm{0,5}x(x+4)}{x(x+4)}$

$\Rightarrow 24x+96-24x=\mathrm{0,5}{x}^2+2x$

$\Rightarrow \mathrm{0,5}{x}^2+2x-96=0$

$\Rightarrow x^2+4x-192=0$ (1)

Giải phương trình (1) ta có:

$\Delta =4^2-\mathrm{4.1.}(-192)=784$ > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-4+\sqrt{784}}{2}=12$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-4-\sqrt{784}}{2}=-16$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h

Ví dụ 2: Cho hai địa điểm A và B cách nhau 100km. Xe thứ nhất đi từ A tới B, xe thứ hai khởi hành sau xe thứ nhất 1 giờ và cũng đi theo hướng từ A tới B. Hai xe gặp nhau tại B. Tính vận tốc của mỗi xe, biết xe đi từ B có vận tốc nhanh hơn xe đi từ A là 5km/h.

Lời giải:

Gọi vận tốc xe đi từ A là x (x > 0, km/h)

Do xe đi từ B có vận tốc nhanh hơn xe đi từ A là 5km/h nên vận tốc xe đi từ B là

x + 5 (km/h)

Thời gian xe thứ nhất đi từ A tới B là: $\frac{100}{x}$ (h)

Thời gian xe thứ hai đi từ A tới B là: $\frac{100}{x+5}$ (h)

Do xe thứ hai khởi hành sau xe thứ nhất 1 giờ và cũng đi theo hướng từ A tới B. Hai xe gặp nhau tại B. Nên thời gian xe thứ nhất đi từ A tới B bằng tổng thời gian xe thứ hai đi từ A tới B và thời gian 1 giờ khởi hành sau. Ta có phương trình:

$\frac{100}{x+5}+1=\frac{100}{x}$

$\iff \frac{100}{x+5}+1=\frac{100}{x}$

$\iff \frac{100x}{x(x+5)}+\frac{x(x+5)}{x(x+5)}=\frac{100(x+5)}{x(x+5)}$

$\Rightarrow 100x+x^2+5x=100x+500$

$\Rightarrow x^2+5x-500=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta =5^2-\mathrm{4.1.}(-500)=2025$ > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+\sqrt{2025}}{2.1}=20$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

$x_2=\frac{-5-\sqrt{2025}}{2.1}=-25$ (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 20 km/h và vận tốc của xe thứ hai là 20 + 5 = 25 km/h

Dạng 3: Toán về quan hệ giữa các số

Phương pháp giải:

Biểu diễn số có hai chữ số: $\overline{ab}=10a+b$ với $0<a\le 9$, $0\le b\le 9$ và a, b là các số tự nhiên.

Tương tự với việc biểu diễn số có nhiều chữ số.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục của số tự nhiên có hai chữ số là x (0 < x ≤ 5, $x\in \mathbb{N}$)

Do đó, chữ số hàng đơn vị là 5 – x

Vì tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13 nên ta có phương trình

$x^2+{(5-x)}^2=13$

$\iff x^2+25-10x+x^2=13$

$\iff 2x^2-10x+12=0$ (1)

Giải phương trình (1) có:

$\Delta \text{'}={(-5)}^2-2.12=25-24=1$ > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2}=3$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2}=2$(thỏa mãn điều kiện)

Với x = 2 thì chữ số hàng chục bằng 2 và chữ số hàng đơn vị bằng 3. Do đó số phải tìm là 23

Với x = 3 thì chữ số hàng chục bằng 3 và chữ số hàng đơn vị bằng 2. Do đó số phải tìm là 32

Vậy có 2 số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 23 và 32

Ví dụ 2: Tìm hai số chẵn nguyên dương liên tiếp biết tổng bình phương của hai số là 244.

Lời giải:

Gọi số thứ nhất là x ($x\in \mathbb{N},$ x chia hết cho 2)

Do hai số là hai số chẵn nguyên dương liên tiếp nên ta có số thứ hai là x + 2

Theo đề bài, tổng bình phương của hai số là 244 nên có phương trình:

$x^2+{(x+2)}^2=244$

$\iff x^2+x^2+4x+4=244$

$\iff 2x^2+4x+4-244=0$

$\iff 2x^2+4x-240=0$

$\iff x^2+2x-120=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta =2^2-\mathrm{4.1.}(-120)=4+480=484$ > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-2+\sqrt{484}}{2.1}=\frac{-2+22}{2}=\frac{20}{2}=10$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-2-\sqrt{484}}{2.1}=\frac{-2-22}{2}=\frac{-24}{2}=-12$(không thỏa mãn điều kiện)

Vậy hai số chẵn cần tìm là 10 và 10 + 2 = 12.

Dạng 4: Toán về hình học

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức hình học như diện tích hình chữ nhật, diện tích hình thoi, diện tích tam giác vuông, diện tích hình vuông…. Để lập phương trình giải bài toán.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4 m và diện tích bằng 320 mét vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Lời giải:

Gọi chiều dài của mảnh đất là x (m) ( x > 4).

Chiều rộng của mảnh đất là x – 4 (m)

Theo đề bài, diện tích mảnh đất hình chữ nhật bằng 320 mét vuông nên ta có phương trình:

x(x – 4) = 320

$\iff x^2-4x-320=0$ (1)

Giải phương trình (1) ta có:

$\Delta \text{'}={(-2)}^2-1.(-320)=324$ > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-2)+\sqrt{324}}{1}=20$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-(-2)-\sqrt{324}}{1}=-16$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy chiều dài của mảnh đất là 20 m và chiều rộng của mảnh đất là 16 m.

Ví dụ 2: Một thửa ruộng tam giác có diện tích 180$m^2$. Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên 4m và chiều cao tương ứng giảm đi 1m thì diện tích không đổi

Lời giải:

Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là x (m), (x > 0)

Từ công thức tính diện tích tam giác ta có chiều cao của thửa ruộng là $\frac{360}{x}$ (m)

Cạnh đáy tăng lên 4m thì có chiều cao giảm đi 1m nên độ dài chiều cao mới là: $\frac{360}{x}-1$ (m)

Vì sau khi cạnh đáy tăng lên 4m và chiều cao tương ứng giảm đi 1m thì diện tích không đổi nên ta có phương trình

$\frac{1}{2}(x+4)\left(\frac{360}{x}-1\right)=180$

$\iff (x+4)\left(\frac{360}{x}-1\right)=360$

$\iff (x+4)\left(\frac{360}{x}-\frac{x}{x}\right)=360$

$\iff (x+4)\frac{\left(360-x\right)}{x}=360$

$\Rightarrow (x+4)\left(360-x\right)=360x$

$\Rightarrow 360x-x^2+1440-4x=360x$

$\Rightarrow -x^2+356x+1440-360x=0$

$\Rightarrow -x^2-4x+1440=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta \text{'}={(-2)}^2-(-1).1440=1444$ > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-2)+\sqrt{1444}}{-1}=-40$ (không thỏa mãn điều kiện xác định)

$x_2=\frac{-(-2)-\sqrt{1444}}{-1}=36$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là 36m

Dạng 5: Toán thực tế

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

+ Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.

+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài để đưa ra kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe cũng lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dư định ban đầu. Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu ? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau.

Lời giải:

Gọi x (xe) là số xe tải dự định điều đến để chở hàng. ($x\in \mathbb{N}$, x > 2)

Theo dự định mỗi xe chở: $\frac{90}{x}$ (tấn). Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe phải chở $\frac{90}{x-2}$ (tấn)

Vì thực tế mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn nên ta có pt:

$\frac{90}{x-2}-\frac{90}{x}=\mathrm{0,5}$ 

$\iff \frac{90x}{x(x-2)}-\frac{90(x-2)}{x(x-2)}=\frac{\mathrm{0,5}x(x-2)}{\mathrm{0,5}x(x-2)}$

$\Rightarrow 90x-90(x-2)=\mathrm{0,5}x(x-2)$

$\iff 90x-90x+180=\mathrm{0,5}{x}^2-x$

$\iff \mathrm{0,5}{x}^2-x-180=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.0,5.}(-180)=361$ > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{361}}{\mathrm{2.0,5}}=20$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{361}}{\mathrm{2.0,5}}=-18$( không thỏa mãn điều kiện)

Vậy số xe tải dự định điều đến để chở hàng là 20 chiếc.

Ví dụ 2: Hai bác nông dân đem tổng cộng 100 quả trứng ra chợ bán, số trứng của hai người không bằng nhau. Một người nói với người kia: Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng. Người kia nói nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được $\frac{20}{3}$ đồng thôi. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng ? Biết số tiền thu về của hai người bằng nhau.

Lời giải:

Gọi số trứng của người thứ nhất là x quả (0 < x < 100, x là số tự nhiên)

Số trứng của người thứ hai là 100 – x (quả)

Do nếu số trứng của người thứ nhất bằng số trứng của người thứ hai thì bác ấy bán được 15 đồng nên giá mỗi quả trứng của người thứ nhất là $\frac{15}{100-x}$ (đồng)

Do nếu số trứng của người thứ hai bằng số trứng của người thứ nhất thì bác ấy chỉ bán được $\frac{20}{3}$ đồng thôi nên giá mỗi quả trứng của người thứ hai là $\frac{20}{3x}$ (đồng)

Số tiền thu được của người thứ nhất là: $x.\frac{15}{100-x}$ (đồng)

Số tiền thu được của người thứ hai là: $(100-x).\frac{20}{3x}$ (đồng)

Do số tiền thu được của hai người bằng nhau nên ta có phương tình

$x.\frac{15}{100-x}=(100-x).\frac{20}{3x}$

$\iff \frac{15x}{100-x}=\frac{20(100-x)}{3x}$

$\iff \frac{15x.3x}{(100-x).3x}=\frac{20{(100-x)}^2}{(100-x).3x}$

$\Rightarrow 45x^2=20(10000-200x+x^2)$

$\iff 45x^2=200000-4000x+20x^2$

$\iff 45x^2-20x^2+4000x-200000=0$

$\iff 25x^2+4000x-200000=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta \text{'}={2000}^2-25.(-200000)=9000000$ > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-2000+\sqrt{9000000}}{25}=40$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-2000-\sqrt{9000000}}{25}=-200$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy số trứng của người thứ nhất là 40 quả, số trứng của người thứ hai là 100 – 40 = 60 (quả)

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Một tổ sản xuất phải làm được 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Tính xem, theo quy định, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm.

Bài 2: Hai người cùng làm chung một công việc trong $\frac{12}{5}$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc ?

Bài 3: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nừa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường.

Bài 4: Một tam giác vuông có chu vi là 30cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13

Bài 6: Tìm số học sinh của hai lớp 8A và 8B, biết rằng nếu chuyển 3 học sinh từ lớp 8A sang lớp 8B thì số học sinh hai lớp bằng nhau, nếu chuyển 5 học sinh từ lớp 8B sang lớp 8A thì số học sinh 8B bằng $\frac{11}{19}$ số học sinh lớp 8A.

Bài 7: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái. Do đó, cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngoái, mỗi đơn vị đã thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ?

Bài 8: Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng đi Hà Nội. Sau đó 10 phút, một máy bay phản lực từ Hà Nội bay tới Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn máy bay cánh quạt là 300km/h. Máy bay phản lực đến Đà Nẵng trước khi máy bay cánh quạt đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy bay.