Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập - Toán lớp 9

Hamchoi.vn giới thiệu 50 bài tập Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập - Toán lớp 9 lớp 9 gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm. Bên cạnh có là 10 bài tập vận dụng để học sinh ôn luyện dạng Toán 9 này.

259 lượt xem


Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

Cho đường thẳng d: y = ax + b a0 và đường thẳng d’: y = a’x + b’a'0

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

 d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

a=a'bb'

Ví dụ: y = 3x + 1 và y = 3x – 2 là hai đường thẳng song song vì

a=a'=3bb'12

2. Hai đường thẳng trùng nhau

d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi

a=a'b=b'

3. Hai đường thẳng cắt nhau

d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi aa'

Trường hợp đặc biệt a.a'=1 thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng đến các điều kiện của vị trí tương đối hai đường thẳng

+ Hai đường thẳng song song

+ Hai đường thẳng cắt nhau

+ Hai đường thẳng vuông góc

+ Hai đường thẳng trùng nhau.

Ví dụ 1: Cho các đường thẳng d1: y = 3x – 1; d2: y = 5x + 6; d3: y = 3x + 2; d4: y = -13x  + 1.

Xét vị trí tương đối của d1với các đường thẳng d2; d3; d4.

Lời giải:

 + Xét vị trí tương đối của d1: y = 3x – 1 và d2: y = 5x + 6

Ta có: a=3a'=5aa'35

d1;d2 là hai đường thẳng cắt nhau

+ Xét vị trí tương đối của d1: y = 3x – 1 và d3: y = 3x +2

Ta có: a=3a'=3a=a'=3

Lại có b=1b'=2bb'12

d1;d3 là hai đường thẳng song song

+ Xét vị trí tương đối của d1: y = 3x – 1 và d4: y = -13x  + 1.

Ta có: a=3a'=13aa'313

Lại có a.a'=3.13=1

d1;d4là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng Δ: y = (2m – 2)x + 3

Tìm m để:

a) song song với d1: y = 2x – 1

b) vuông góc với d2: y = x – 1.

Lời giải:

a) // d12m2=231

 31 luôn đúng nên để // d1 thì 2m – 2 =2

2m = 4

 m = 4:2

m = 2

Vậy m = 2 thì // d1

b) d12m2.1=1

2m – 2 = -1

2m = -1 + 2

2m = 1

m = 12

Vậy m = 12thì vuông góc với d2.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước

Phương pháp giải: Vận dụng công thức về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc.

Cho đường thẳng d: y = ax + b a0 và đường thẳng d’: y = a’x + b’a'0

+ Hai đường thẳng song song

d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

a=a'bb'

+ Hai đường thẳng vuông góc

a.a'=1 thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’: y = 3x +2 và đi qua A(1; 2).

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (*) (a0)

Vì d // d’ nên

a = a’ = 3; b 2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2; a = 3 vào  (*)  ta được

2 = 3.1 + b

2 = 3 + b

b = 2 – 3

b = -1

y = 3x – 1

Vậy đường thẳng d cần tìm là y = 3x – 1

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng  đi qua M(2; -3) và vuông góc với đường thẳng d: y = 2x - 5

Lời giải:

 Gọi đường thẳng  cần tìm là y  = ax + b (**) (a0)

 d nên ta có a.a’ = -1

a.2 = -1

a = -12

  đi qua M(2; -3) nên ta thay x = 2; y = -3; a = -12vào (**) ta được

-3 = -12.2 + b

 -1 + b = -3

b = -2

Vậy đường thẳng  cần tìm là y = -12x – 2.

Ví dụ 3: Cho ba đường thẳng d1: y = 2x + 3; d2: y = x + 3; d3: y = 3x – 1.

a) Viết phương trình đường thẳng song song với d1và đi qua giao điểm của d2 d3.

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d2 và đi qua giao điểm của d1 d3.

Lời giải:

a) Tìm giao điểm của  d2 và  d3

Phương trình hoành độ giao điểm của d2 d3

x + 3 = 3x – 1

2x = 4

x = 2 y = 5

Vậy tọa độ giao điểm của d2  d3 là A(2; 5)

Gọi đường thẳng cần tìm là 1: y = ax + b (a0)

 1// d1 nên a = a’ = 2; b3

 1 đi qua A(2; 5) thay x = 2; y = 5; a = 2 vào 1 ta được:

5 = 2.2 + b

b = 5 – 4

b = 1

Vậy đường thẳng 1: y = 2x + 1.

b) Tìm tọa độ giao điểm d1 d3

Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và  d3

2x + 3 = 3x – 1

3x – 2x = 3 + 1

x = 4y = 11

Vậy giao điểm của  d1  d3 là B(4; 11)

Gọi 2: y = ax + b (a0) là đường thẳng cần tìm

 2d2a.a’ = -1

1.a = -1

a = -1

 2 đi qua B(4; 11) thay x = 4; y = 11 và a = -1 vào 2 ta được:

11 = -1.4 + b

b = 11 + 4

b = 15

Vậy đường thẳng 2 cần tìm là y = -x + 15.

Dạng 3: Tìm m để đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Sử dụng công thức liên quan đến hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng cắt nhau.

Bước 1: Gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + b (a0)

Bước 2: Cho a, b thỏa mãn điều kiện đề bài

Bước 3: Giải a, b để tìm m.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = (2m + 1) x + 3. Tìm m để d song song song với đường thẳng d’ : y = 3x – 5

Lời giải:

Vì d // d’a = a’

2m + 1 = 3

2m = 3 – 1

2m = 2

m = 2:2

m = 1

Lại có b = 3 và b’ = -5

bb’

Vậy m = 1 thì d và d’ song song.

Ví dụ 2: Tìm m để d: y = 3mx + m và d’: y = 5mx + 1 (m0) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và  d’

3mx + m = 5mx + 1

Vì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên thay x = 1 vào phương trình ta có:

3m.1 + m = 5m. 1 + 1

4m = 5m + 1

m = -1

Vậy m = -1 thì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng d1: y=m22mx+3+ m song với đường thẳng d2: y  = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.

Lời giải:

Vì d // d’ m22m=33+m1m22m0

m22m3=0m2mm20

m3m+1=0m2m0m2

m3=0m+1=0m2m0m2

m=3 (tm)m=1 (tm)m2m2m0 m=3m=1  (1)

Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên ta có x = -2; y = 0 thay vào d

0 = (m22m).(-2) + 3 + m

2m2+4m+3+m=0

2m2+5m+3=0

2m2m+6m+3=0

m2m+1+32m+1=0

2m+13m=0

2m+1=03m=0

2m=1m=3

m=12m=3 (2)

Từ (1) và (2) m = 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1:  Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

a) d: y = 3x + 5 và d’: y = 2x + 6

b) d: y = 2x + 1 và d’: y = 2x + 3

c) d: y = x + 5 và d’: y = -x - 3

d) d: y = 3x + 5 và y = 3x – 5.

Bài 2: Cho đường thẳng d: y = 3x +5 và d’: y = (m+2)x – 3 + m

a) Tìm m để d // d’

b) Tìm m để d cắt d’

c) Tìm m để dd’

d) Tìm m để dd’

Bài 3: Cho đường thẳng d: y = 2x + 3; d’: y = 4x – 5

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua tọa độ giao điểm của d và d’ và song song với đường thẳng y = 3x + 1.

Bài 4: Cho ba đường thẳng d1: y = 5x – 3; d2: y = -12x + 6 và d3: y = (m - 3)x +5

a) Tìm m để d1;d2;d3 đồng quy

b) Tìm m để d1//d3

c) Tìm m để d3  d2 cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau

a) d đi qua A(1; -3) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1

b) d đi qua điểm B(1; -2) và song song với đường thẳng y = 2x – 3.

Bài 6: Cho các đường thẳng

d1: y = (2m + 1) x – (2m + 3)

d2: y = (m – 1) x + m

a) Tìm m để d1d2

b) Tìm m để d1d2

c) Tìm m để d1// d2.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(2; 4).

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của  hai đường thẳng y = 3x – 2 và y = 2x + 1. Biết d song song với đường thẳng y = 4x – 3.

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 4.

Bài 10: Cho đường thẳng:

d1: y = 2mx – (m + 5)

d2: y = (1 – 3n)x + n

a) Tìm điểm cố định mà d1luôn đi qua.

b) Gọi I là điểm cố định d1 luôn đi qua. Tìm m để d2 đi qua I

c) Tìm m,n để d1d2.

Bài viết liên quan

259 lượt xem