Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

Cho đường thẳng d: y = ax + b $\left(a\ne 0\right)$ và đường thẳng d’: y = a’x + b’$\left(a\text{'}\ne 0\right)$

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

 d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ: y = 3x + 1 và y = 3x – 2 là hai đường thẳng song song vì

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\left(=3\right)\\ b\ne b\text{'}\left(1\ne -2\right)\end{array}\right.$

2. Hai đường thẳng trùng nhau

d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right.$

3. Hai đường thẳng cắt nhau

d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a\text{'}$

Trường hợp đặc biệt $a.a\text{'}=-1$ thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng đến các điều kiện của vị trí tương đối hai đường thẳng

+ Hai đường thẳng song song

+ Hai đường thẳng cắt nhau

+ Hai đường thẳng vuông góc

+ Hai đường thẳng trùng nhau.

Ví dụ 1: Cho các đường thẳng $d_1$: y = 3x – 1; $d_2$: y = 5x + 6; $d_3$: y = 3x + 2; $d_4$: y = $\frac{-1}{3}$x  + 1.

Xét vị trí tương đối của $d_1$với các đường thẳng $d_2$; $d_3$; $d_4$.

Lời giải:

 + Xét vị trí tương đối của $d_1$: y = 3x – 1 và $d_2$: y = 5x + 6

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ a\text{'}=5\end{array}\right.$$\Rightarrow a\ne a\text{'}\left(3\ne 5\right)$

$\Rightarrow d_1;d_2$ là hai đường thẳng cắt nhau

+ Xét vị trí tương đối của $d_1$: y = 3x – 1 và $d_3$: y = 3x +2

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ a\text{'}=3\end{array}\right.$$\Rightarrow a=a\text{'}\left(=3\right)$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}b=-1\\ b\text{'}=2\end{array}\right.$$\Rightarrow b\ne b\text{'}\left(-1\ne 2\right)$

$\Rightarrow d_1;d_3$ là hai đường thẳng song song

+ Xét vị trí tương đối của $d_1$: y = 3x – 1 và $d_4$: y = $\frac{-1}{3}$x  + 1.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ a\text{'}=\frac{-1}{3}\end{array}\right.$$\Rightarrow a\ne a\text{'}\left(3\ne \frac{-1}{3}\right)$

Lại có $a.a\text{'}=3.\frac{-1}{3}=-1$

$\Rightarrow d_1;d_4$là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $\Delta$: y = (2m – 2)x + 3

Tìm m để:

a) $∆$song song với $d_1$: y = 2x – 1

b) $∆$vuông góc với $d_2$: y = x – 1.

Lời giải:

a) $∆$// $d_1$$\iff \left\{\begin{array}{l}2m-2=2\\ 3\ne -1\end{array}\right.$

Vì $3\ne -1$ luôn đúng nên để $∆$// $d_1$ thì 2m – 2 =2

$\iff$2m = 4

 $\iff$m = 4:2

$\iff$m = 2

Vậy m = 2 thì $∆$// $d_1$

b) $∆$$\perp$$d_1$$\iff$$\left(2m-2\right).1=-1$

$\iff$2m – 2 = -1

$\iff$2m = -1 + 2

$\iff$2m = 1

$\iff$m = $\frac{1}{2}$

Vậy m = $\frac{1}{2}$thì $∆$vuông góc với $d_2$.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước

Phương pháp giải: Vận dụng công thức về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc.

Cho đường thẳng d: y = ax + b $\left(a\ne 0\right)$ và đường thẳng d’: y = a’x + b’$\left(a\text{'}\ne 0\right)$

+ Hai đường thẳng song song

d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$

+ Hai đường thẳng vuông góc

$a.a\text{'}=-1$ thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’: y = 3x +2 và đi qua A(1; 2).

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (*) (a$\ne$0)

Vì d // d’ nên

$\Rightarrow$a = a’ = 3; b $\ne$2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2; a = 3 vào  (*)  ta được

2 = 3.1 + b

$\iff$2 = 3 + b

$\iff$b = 2 – 3

$\iff$b = -1

$\iff$y = 3x – 1

Vậy đường thẳng d cần tìm là y = 3x – 1

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua M(2; -3) và vuông góc với đường thẳng d: y = 2x - 5

Lời giải:

 Gọi đường thẳng $∆$ cần tìm là y  = ax + b (**) (a$\ne$0)

Vì $∆$$\perp$d nên ta có a.a’ = -1

$\iff$a.2 = -1

$\iff$a = $\frac{-1}{2}$

Vì $∆$ đi qua M(2; -3) nên ta thay x = 2; y = -3; a = $\frac{-1}{2}$vào (**) ta được

-3 = $\frac{-1}{2}$.2 + b

$\iff$ -1 + b = -3

$\iff$b = -2

Vậy đường thẳng $∆$ cần tìm là y = $\frac{-1}{2}$x – 2.

Ví dụ 3: Cho ba đường thẳng $d_1$: y = 2x + 3; $d_2$: y = x + 3; $d_3$: y = 3x – 1.

a) Viết phương trình đường thẳng song song với $d_1$và đi qua giao điểm của $d_2$và $d_3$.

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với $d_2$ và đi qua giao điểm của $d_1$và $d_3$.

Lời giải:

a) Tìm giao điểm của  $d_2$ và  $d_3$

Phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$và $d_3$là

x + 3 = 3x – 1

$\iff$2x = 4

$\iff$x = 2 $\Rightarrow$y = 5

Vậy tọa độ giao điểm của $d_2$ và $d_3$ là A(2; 5)

Gọi đường thẳng cần tìm là ${∆}_1$: y = ax + b (a0)

Vì ${∆}_1$// $d_1$ nên a = a’ = 2; b$\ne$3

Vì ${∆}_1$ đi qua A(2; 5) thay x = 2; y = 5; a = 2 vào ${∆}_1$ ta được:

5 = 2.2 + b

$\iff$b = 5 – 4

$\iff$b = 1

Vậy đường thẳng ${∆}_1$: y = 2x + 1.

b) Tìm tọa độ giao điểm $d_1$và $d_3$

Phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và  $d_3$

2x + 3 = 3x – 1

$\iff$3x – 2x = 3 + 1

$\iff$x = 4$\Rightarrow$y = 11

Vậy giao điểm của  $d_1$ và $d_3$ là B(4; 11)

Gọi ${∆}_2$: y = ax + b (a$\ne$0) là đường thẳng cần tìm

Vì ${∆}_2$$\perp$$d_2$$\Rightarrow$a.a’ = -1

$\iff$1.a = -1

$\iff$a = -1

Vì ${∆}_2$ đi qua B(4; 11) thay x = 4; y = 11 và a = -1 vào ${∆}_2$ ta được:

11 = -1.4 + b

$\iff$b = 11 + 4

$\iff$b = 15

Vậy đường thẳng ${∆}_2$ cần tìm là y = -x + 15.

Dạng 3: Tìm m để đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Sử dụng công thức liên quan đến hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng cắt nhau.

Bước 1: Gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + b (a$\ne$0)

Bước 2: Cho a, b thỏa mãn điều kiện đề bài

Bước 3: Giải a, b để tìm m.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = (2m + 1) x + 3. Tìm m để d song song song với đường thẳng d’ : y = 3x – 5

Lời giải:

Vì d // d’$\Rightarrow$a = a’

$\iff$2m + 1 = 3

$\iff$2m = 3 – 1

$\iff$2m = 2

$\iff$m = 2:2

$\iff$m = 1

Lại có b = 3 và b’ = -5

$\Rightarrow$b$\ne$b’

Vậy m = 1 thì d và d’ song song.

Ví dụ 2: Tìm m để d: y = 3mx + m và d’: y = 5mx + 1 (m$\ne$0) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và  d’

3mx + m = 5mx + 1

Vì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên thay x = 1 vào phương trình ta có:

3m.1 + m = 5m. 1 + 1

$\iff$4m = 5m + 1

$\iff$m = -1

Vậy m = -1 thì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng $d_1$: $y=\left(m^2-2m\right)x+3$+ m song với đường thẳng $d_2$: y  = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.

Lời giải:

Vì d // d’ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m=3\\ 3+m\ne 1\\ m^2-2m\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m-3=0\\ m\ne -2\\ m\left(m-2\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m-3\right)\left(m+1\right)=0\\ m\ne -2\\ m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m-3=0\\ m+1=0\end{array}\right.\\ m\ne -2\\ m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=3\text{ (tm)}\\ m=-1\left(tm\right)\end{array}\right.\\ m\ne 2\\ m\ne -2\\ m\ne 0\end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-1\end{array}\right.$  (1)

Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên ta có x = -2; y = 0 thay vào d

0 = ($m^2-2m$).(-2) + 3 + m

$\iff -2m^2+4m+3+m=0$

$\iff -2m^2+5m+3=0$

$\iff -2m^2-m+6m+3=0$

$\iff -m\left(2m+1\right)+3\left(2m+1\right)=0$

$\iff \left(2m+1\right)\left(3-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2m+1=0\\ 3-m=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}2m=-1\\ m=3\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{-1}{2}\\ m=3\end{array}\right.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$m = 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1:  Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

a) d: y = 3x + 5 và d’: y = 2x + 6

b) d: y = 2x + 1 và d’: y = 2x + 3

c) d: y = x + 5 và d’: y = -x - 3

d) d: y = 3x + 5 và y = 3x – 5.

Bài 2: Cho đường thẳng d: y = 3x +5 và d’: y = (m+2)x – 3 + m

a) Tìm m để d // d’

b) Tìm m để d cắt d’

c) Tìm m để d$\perp$d’

d) Tìm m để d$\equiv$d’

Bài 3: Cho đường thẳng d: y = 2x + 3; d’: y = 4x – 5

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua tọa độ giao điểm của d và d’ và song song với đường thẳng y = 3x + 1.

Bài 4: Cho ba đường thẳng $d_1$: y = 5x – 3; $d_2$: y = $\frac{-1}{2}$x + 6 và $d_3$: y = (m - 3)x +5

a) Tìm m để $d_1$;$d_2$;$d_3$ đồng quy

b) Tìm m để $d_1$//$d_3$

c) Tìm m để $d_3$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau

a) d đi qua A(1; -3) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1

b) d đi qua điểm B(1; -2) và song song với đường thẳng y = 2x – 3.

Bài 6: Cho các đường thẳng

$d_1$: y = (2m + 1) x – (2m + 3)

$d_2$: y = (m – 1) x + m

a) Tìm m để $d_1$$\equiv$$d_2$

b) Tìm m để $d_1$$\perp$$d_2$

c) Tìm m để $d_1$// $d_2$.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(2; 4).

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của  hai đường thẳng y = 3x – 2 và y = 2x + 1. Biết d song song với đường thẳng y = 4x – 3.

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 4.

Bài 10: Cho đường thẳng:

$d_1$: y = 2mx – (m + 5)

$d_2$: y = (1 – 3n)x + n

a) Tìm điểm cố định mà $d_1$luôn đi qua.

b) Gọi I là điểm cố định $d_1$ luôn đi qua. Tìm m để $d_2$ đi qua I

c) Tìm m,n để $d_1\equiv d_2$.