Công thức liên hệ đường kính và dây cung hay, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

- Trong các dây của đường tròn đường kính là dây dài nhất.

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD.

Ta có: $CD\le AB$

Dấu “=” xảy ra khi dây CD cũng là đường kính của đường tròn.

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây không đi qua tâm thì đi qua trung điểm của dây ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD không đi qua tâm, I là trung điểm của CD. Khi đó:

+ Nếu AB vuông góc với CD thì AB đi qua I.

+ Nếu AB đi qua I thì AB vuông góc với CD.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm (O; 3cm), dây CD không đi qua tâm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây CD biết CD = 4cm.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của CD.

Vẽ đường kính AB đi qua trung điểm I của CD.

Vì AB đi qua trung điểm I của CD nên AB vuông góc với CD tại I (tính chất)

Khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến CD là OI.

Vì I là trung điểm của CD nên IC = ID = 2cm.

Ta có: OC = R = 3cm.

Xét tam giác OIC vuông tại I ta có:

$O{C}^2=O{I}^2+I{C}^2$ (định lý Py – ta – go)

$\iff 3^2=O{I}^2+2^2$

$\iff 9=O{I}^2+4$

$\iff O{I}^2=5$

$\Rightarrow OI=\sqrt{5}cm.$

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một dây cung CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F. Chứng minh AE = BF.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của CD

$\Rightarrow$ OH$\perp$ CD  $\Rightarrow$  OH $\perp$EF

Vì $\left\{\begin{array}{l}BF\perp EF\\ AE\perp EF\end{array}\right.\Rightarrow AE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BF$

Xét tứ giác ABGE có:

AE // BF

$\Rightarrow$Tứ giác ABFE là hình thang

Lại có OH $\perp$EF nên OH // AE // BF

Mà OH đi qua trung điểm O của AB nên OH đi qua trung điểm của EF

$\Rightarrow$H là trung điểm của EG

$\Rightarrow$ HE = HF

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}HE=EC+CH\\ HF=DF+HD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}EC=HE-CH\\ DF=HF-HD\end{array}\right.$

Mà HE = HF (cmt) ; CH = HD (H là trung điểm của CD)

Do vậy EC = DF (điều phải chứng minh).