Công thức tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng hay, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

+ Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với a $\ne 0$  và a’ $\ne 0$ .

Hai đường thẳng này có duy nhất một điểm chung khi chúng cắt nhau.

Hai đường thẳng không có điểm chung khi chúng song song.

Hai đường thẳng có vô số điểm chung khi chúng trùng nhau.

+ Muốn tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng ta làm như sau (d và d’ cắt nhau)

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’.

ax + b = a’x + b’ (1)

Chú ý:

+ Phương trình (1) vô nghiệm thì d // d’.

+ Phương trình (1) luôn đúng với mọi giá trị x thì d và d’ trùng nhau.

+ Với a ≠ a’, phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

(1) $\iff ax-a\text{'}x=-b+b\text{'}$

$\iff x\left(a-a\text{'}\right)=-b+b\text{'}$

 $\iff x=\frac{-b+b\text{'}}{a-a\text{'}}$

Ta chuyển qua bước 2

Bước 2: Thay x vừa tìm được vào d hoặc d’ để tính y

Ví dụ thay x vào d $\Rightarrow y=a.\frac{-b+b\text{'}}{a-a\text{'}}+b$

Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng sau:

a) d: y = 3x – 2 và d’: y = 2x + 1;

b) d: y = 4x – 3 và d’: y = 2x + 1.

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

3x – 2 = 2x + 1

$\iff 3x-2x=1+2$

$\iff x=3$

Thay x = 3 và d ta được:

$y=3.3-2=9-2=7$

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là A(3; 7).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

4x – 3 = 2x + 1

$\iff 4x-2x=3+1$

$\iff 2x=4$

$\iff x=2$

Thay x vào d ta được: $y=4.2-3=5$

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là B(2; 5).

Ví dụ 2: Tìm tham số m để:

a) d: y = 2mx + 5 và d’: y = 4x + m cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) d: y = (3m – 2)x – 4 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

2mx + 5 = 4x + m.

Vì hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên thay x = 1 vào phương trình hoành độ giao điểm ta có:

2m.1 + 5 = 4.1 + m

$\iff 2m+5=4+m$

$\iff 2m-m=4-5$

$\iff m=-1$

Vậy m = -1 thì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên giao điểm của d với trục hoành là A(3; 0). Thay tọa độ điểm A vào d ta được:

0 = (3m – 2).3 – 4

$\iff 0=9m-6-4$

$\iff 9m=10$

$\iff m=\frac{10}{9}$

Vậy $m=\frac{10}{9}$ thì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.