Các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn và cách giải bài tập - Toán lớp 9

A. Lí thuyết

- Các phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn:

+) Phương trình bậc bốn trùng phương và một số dạng phương trình bậc bốn khác

+) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

+) Phương trình tích

+) Phương trình chứa căn

+) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

+) Các phương trình liên quan đến tham số m

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương

Phương pháp giải:

Dạng tổng quát: $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ (*)

Đặt $t=x^2$  ($t\ge 0$)

Phương trình (*) trở thành:

$a{t}^2+bt+c=0$ (**)

Giải phương trình (**) như phương trình bậc hai một ẩn và tìm ra t thỏa mãn điều kiện và suy ra nghiệm x tương ứng.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: $4x^4+3x^2-1=0$

Lời giải:

Xét phương trình $4x^4+3x^2-1=0$ (*)

Đặt $t=x^2$  ($t\ge 0$), phương trình (*) trở thành:

$4t^2+3t-1=0$ (**)

Phương trình (**) có: a = 4, b = 3, c = -1

Dễ thấy: a – b + c = 4 – 3 – 1  = 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm $t_1=-1$ < 0 (không thỏa mãn điều kiện) và $t_2=\frac{-(-1)}{4}=\frac{1}{4}$ > 0 (thỏa mãn điều kiện)

Với $t=\frac{1}{4}\iff x^2=\frac{1}{4}\iff x=\pm \frac{1}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: $S=\left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình: $2x^4-3x^2-2=0$   

Lời giải:

Xét phương trình $2x^4-3x^2-2=0$ (*)

Đặt $t=x^2$  ($t\ge 0$), phương trình (*) trở thành:

$2t^2-3t-2=0$ (**)

Giải phương trình (**) ta có:

$\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.2.}(-2)=9+16=25$ > 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

$t_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2.2}=\frac{3-5}{4}=\frac{-1}{2}$ < 0 (không thỏa mãn điều kiện)

$t_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2.2}=\frac{3+5}{4}=2$ > 0 (thỏa mãn điều kiện)

Với t = 2$\iff x^2=2\iff x=\pm \sqrt{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: $S=\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}$

Dạng 2: Các dạng phương trình bậc bốn khác

Phương pháp giải:

- Dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) với a + b = c + d:

+ Biến đổi phương trình về dạng: $\left[x^2+(a+b)x+ab\right]\left[x^2+(c+d)x+cd\right]=m$ (2)

+ Đặt t = $x^2+(a+b)x+ab$ điều kiện $t\ge -\frac{{(a-b)}^2}{4}$.

Suy ra $x^2+(c+d)x+cd=t-ab+cd$. Khi đó, phương trình (2) trở thành phương trình bậc hai của t.

+ Giải phương trình (2) để tìm nghiệm t thỏa mãn điều kiện, từ đó suy ra nghiệm x – Dạng: ${(x+a)}^4+{(x+b)}^4=k$ (3)

+ Đặt t = $x+\frac{a+b}{2}$. Khi đó, phương trình (3) trở thành phương trình bậc bốn trùng phương ẩn t.

+ Đặt $u=t^2$ ($u\ge 0$), khi đó phương trình (3) trở thành phương trình bậc hai ẩn u. Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm u thỏa mãn điều kiện, từ đó suy ra nghiệm t và suy ra nghiệm x.

- Dạng: $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2\pm bkx+a{k}^2=0$

+ Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Biến đổi phương trình về dạng: $a{x}^2+bx+c\pm \frac{kb}{x}+\frac{k^{2}a}{x^2}=0$ $\iff a\left(x^2+\frac{k^2}{x^2}\right)+b\left(x\pm \frac{k}{x}\right)+c=0$ (2)

+ Đặt $t=x\pm \frac{k}{x}$, thay vào phương trình (2) ta được phương trình bậc hai ẩn t. Giải phương trình bậc 2 để tìm nghiệm t và suy ra nghiệm x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9

Lời giải:

(x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9

$\iff (x^2+4x+3)(x^2+4x-5)=9$ (*)

Đặt t = $x^2+4x+3$ ($t\ge -\frac{{(1-3)}^2}{4}\iff t\ge -1$)

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

$t(t-8)=9$

$\iff t^2-8t=9$

$\iff t^2-8t-9=0$ (**)

Xét phương trình (**) ta có: a = 1, b = -8, c = - 9

Dễ thấy, a – b + c = 1 – (-8) – 9 = 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là: $t_1=-1$ (thỏa mãn điều kiện) và $t_2=\frac{-(-9)}{1}=9$ (thỏa mãn điều kiện)

Với t = -1, ta có:

$x^2+4x+3=-1$

$\iff x^2+4x+3=-1$

$\iff x^2+4x+4=0$

$\iff {(x+2)}^2=0$

$\iff x=-2$

Với t = 9, ta có:

$x^2+4x+3=9$

$\iff x^2+4x-6=0$ (***)

Giải phương trình (***) ta có:

$\Delta =4^2-\mathrm{4.1.}(-6)=40$ > 0

Do đó, phương trình (***) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-4+\sqrt{40}}{2.1}=-2+\sqrt{10}$

$x_2=\frac{-4-\sqrt{40}}{2.1}=-2-\sqrt{10}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9 là: $S=\left\{-2;-2+\sqrt{10};-2-\sqrt{10}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: ${(x+1)}^4+{(x+2)}^4=3$

Lời giải:

${(x-2)}^4+{(x-4)}^4=8$

Đặt t = x – 3, khi đó, phương trình trở thành:

${(t+1)}^4+{(t-1)}^4$ = 8

$\iff {(t^2+2t+1)}^2+{(t^2-2t+1)}^2=8$

$\iff \left(t^4+4t^2+1+4t^3+4t+2t^2\right)+\left(t^4+4t^2+1-4t^3-4t+2t^2\right)=8$

$\iff t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=8$

$\iff 2t^4+12t^2+2=8$

$\iff 2t^4+12t^2-6=0$

$\iff t^4+6t^2-3=0$ (*)

Đặt $u=t^2\left(u\ge 0\right)$, phương trình (*) trở thành:

$u^2+6u-3=0$

Giải phương trình $u^2+6u-3=0$ ta có:

$\Delta \text{'}=3^2-1.(-3)=12$ > 0

Do đó, phương trình $u^2+6u-3=0$ có hai nghiệm phân biệt:

$u_1=\frac{-3+\sqrt{12}}{1}=-3+2\sqrt{3}$ (thỏa mãn điều kiện)

$u_2=\frac{-3-\sqrt{12}}{1}=-3-2\sqrt{3}$ (không thỏa mãn điều kiện)

Với $u=-3+2\sqrt{3}$ $\Rightarrow t^2=-3+2\sqrt{3}$

$\Rightarrow x+3=\pm \sqrt{-3+2\sqrt{3}}=\pm \sqrt{-3+2\sqrt{3}}-3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

$S=\left\{\sqrt{-3+2\sqrt{3}}-3;-\sqrt{-3+2\sqrt{3}}-3\right\}$

Ví dụ 3: Giải phương trình sau $x^4-5x^3+10x+4=0$

Lời giải:

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có:

$x^4-5x^3+10x+4=0$

$\iff x^2-5x+\frac{10}{x}+\frac{4}{x^2}=0$

$\iff \left(x^2+\frac{4}{x^2}\right)-5\left(x-\frac{2}{x}\right)=0$ (2)

Đặt $t=x-\frac{2}{x}\Rightarrow t^2=x^2-4+\frac{4}{x^2}\Rightarrow x^2+\frac{4}{x^2}=t^2+4$

Thay vào (2) ta được:

$t^2-5t+4=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có: a = 1, b = -5, c = 4 nên a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm t = 1 hoặc t = $\frac{4}{1}=4$

Với t = 1 thì ta có:

$x-\frac{2}{x}=1\Rightarrow x^2-2=x\Rightarrow x^2-x-2=0$ (3)

Giải phương trình (3) ta có: $\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.}(-2)=9$ > 0

Do đó, phương trình (3)  có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2}=2$

$x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2}=-1$

Với t = 4, thì ta có:

$x-\frac{2}{x}=4\Rightarrow x^2-2=4x\Rightarrow x^2-4x-2=0$ (4)

Giải phương trình (4) ta có: $\Delta ={(-4)}^2-\mathrm{4.1.}(-2)=24$ > 0

Do đó, phương trình (4)  có hai nghiệm phân biệt là:

$x_3=\frac{-(-4)+\sqrt{24}}{2}=2+\sqrt{6}$

$x_4=\frac{-(-4)-\sqrt{24}}{2}=2-\sqrt{6}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{-1;2;2+\sqrt{6};2-\sqrt{6}\right\}$

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của ẩn

- Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu

- Giải phương trình bậc hai nhận được, kiểm tra lại nghiệm với điều kiện xác định và kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\frac{2x}{x^2+4x+4}=\frac{1}{3x}$ 

Lời giải:

$\frac{2x}{x^2+4x+4}=\frac{1}{3x}$

Điều kiện xác định của phương trình là:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+4\ne 0\\ 3x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{(x+2)}^2\ne 0\\ 3x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 0\end{array}\right.$

Với điều kiện xác định trên, ta có:

$\frac{2x}{x^2+4x+4}=\frac{1}{3x}$

$\iff \frac{2x}{x^2+4x+4}-\frac{1}{3x}=0$

$\iff \frac{2x.3x}{3x\left(x^2+4x+4\right)}-\frac{x^2+4x+4}{3x\left(x^2+4x+4\right)}=0$

$\Rightarrow 6x^2-x^2-4x-4=0$

$\Rightarrow 5x^2-4x-4=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta ={(-4)}^2-\mathrm{4.5.}(-4)=96$ > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{96}}{2.5}=\frac{2+2\sqrt{6}}{5}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

$x_2=\frac{-(-4)-\sqrt{96}}{2.5}=\frac{2-2\sqrt{6}}{5}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\frac{2+2\sqrt{6}}{5};\frac{2-2\sqrt{6}}{5}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $\frac{x^2-6}{x}=2x-3$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: $x\ne 0$

Với điều kiện xác định trên, ta có:

$\frac{x^2-6}{x}=2x-3$

$\iff \frac{x^2-6}{x}=\frac{2x.x}{x}-\frac{3.x}{x}$

$\iff \frac{x^2-6}{x}=\frac{2x^2}{x}-\frac{3x}{x}$

$\Rightarrow x^2-6=2x^2-3x$

$\Rightarrow 2x^2-3x-x^2+6=0$

$\Rightarrow x^2-3x+6=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.1.6}=9-24=-15<0$

Vậy phương trình (*) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình $\frac{x^2-6}{x}=2x-3$ là S = $\varnothing$

Dạng 4: Phương trình tích

Phương pháp giải:

- Chuyển vế và phần tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

- Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: ${(x^2+2x-5)}^2-{(x^2-x+6)}^2=0$

Lời giải:

${(x^2+2x-5)}^2-{(x^2-x+6)}^2=0$

$\iff (x^2+2x-5-x^2+x-6)(x^2+2x-5+x^2-x+6)=0$

$\iff (3x-11)(2x^2+x+1)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}3x-11=0\\ 2x^2+x+1=0\left(1\right)\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{11}{3}\\ 2x^2+x+1=0\left(1\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (1) ta có:

$\Delta =1^2-\mathrm{4.2.1}=-7$ < 0

Do đó, phương trình (1) vô nghiệm

Vậy phương trình ${(x^2+2x-5)}^2-{(x^2-x+6)}^2=0$ có tập nghiệm là: $S=\left\{\frac{11}{3}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình$x^3-5x^2+4x=x^2+5x+4$

Lời giải:

$x^3-5x^2+4x=x^2-5x+4$

$\iff x^3-5x^2+4x-\left(x^2-5x+4\right)=0$

$\iff x\left(x^2+5x+4\right)-\left(x^2-5x+4\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x^2-5x+4\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x^2-5x+4=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-5x+4=0(*)\end{array}\right.$ (**)

Giải phương trình (*) ta có: a = 1, b = -5, c = 4

Dễ thấy, a + b + c = 0. Do đó phương trình (*) có hai nghiệm, một nghiệm là $x_1=1$ là một nghiệm là $x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4$

(**) $\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $x^3-5x^2+4x=x^2-5x+4$ là S = {1; 4}

Dạng 5: Phương trình chứa căn

Phương pháp giải:

- Đặt điều kiện xác định cho phương trình

- Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế.

Chú ý: $\sqrt{A}=B\iff \left\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B^2\end{array}\right.$ 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{x+1}=3-x$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: $x+1\ge 0\iff x\ge -1$

Với điều kiện xác định trên, ta có:

$\sqrt{x+1}=3-x$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3-x\ge 0\\ x+1={(3-x)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x+1=9-6x+x^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x^2-7x+8=0\left(1\right)\end{array}\right.$ (*)

Giải phương trình (1) ta có:

$\Delta ={(-7)}^2-\mathrm{4.1.8}=49-32=17$ > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-(-7)+\sqrt{17}}{2.1}=\frac{7+\sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

$x_2=\frac{-(-7)-\sqrt{17}}{2.1}=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Do đó, ta có:

(*) $\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ \left[\begin{array}{l}x=\frac{7+\sqrt{17}}{2}\\ x=\frac{7-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff x=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{\frac{7-\sqrt{17}}{2}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2x}$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1\ge 0\\ 2x\ge 0\end{array}\right.\iff x\ge 0$

Với điều kiện xác định trên, ta có:

$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2x}$

$\iff x^2+1=2x$

$\iff x^2-2x+1=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta \text{'}={(-1)}^2-1.1=0$

Vậy phương trình (*) có nghiệm kép $x=\frac{-(-1)}{1}=1$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2x}$ là S = {1}

Dạng 6: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

$\left|f\right(x\left)\right|=\left|g\right(x\left)\right|\iff f^2\left(x\right)=g^2\left(x\right)$

$\left|f\right(x\left)\right|=\left|g\right(x\left)\right|\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)=-g\left(x\right)\end{array}\right.$

$\left|f\right(x\left)\right|=g\left(x\right)\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}-f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $|3x-2|=x^2+2x+3$

Lời giải:

$|3x-2|=x^2+2x+3$

TH1: 3x – 2 > 0 $\iff x>\frac{2}{3}$

Khi đó, ta có:

$|3x-2|=x^2+2x+3$

$\iff 3x-2=x^2+2x+3$

$\iff x^2-x+5=0$ (1)

Giải phương trình (1) ta có:

$\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.5}=-19$ <  0

Vậy phương trình vô nghiệm.

TH2: 3x – 2 < 0 $\iff x<\frac{2}{3}$

Khi đó, ta có:

$|3x-2|=x^2+2x+3$

$\iff -3x+2=x^2+2x+3$

$\iff x^2+5x+1=0$ (2)

Giải phương trình (2) ta có:

$\Delta =5^2-\mathrm{4.1.1}=21$ > 0

Do đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+\sqrt{21}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-5-\sqrt{21}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình $|3x-2|=x^2+2x+3$ là $S=\left\{\frac{-5+\sqrt{21}}{2};\frac{-5-\sqrt{21}}{2}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $|2x^2-1|=|x^2-3x+2|$

Lời giải:

$|2x^2-1|=|x^2-3x+2|$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x^2-1=x^2-3x+2\\ 2x^2-1=-x^2+3x-2\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2+3x-3=0\left(1\right)\\ 3x^2-3x+1=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (1) có:

$\Delta =3^2-\mathrm{4.1.}(-3)=21$ > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$; $x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$

Giải phương trình (2) ta có: 

$\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.3.1}=-3$ < 0

Do đó, phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình $|2x^2-1|=|x^2-3x+2|$ là:

$S=\left\{\frac{-3+\sqrt{21}}{2};\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\right\}$

Dạng 7: Các phương trình liên quan đến tham số m

Phương pháp giải:

Sử dụng các kiến thức về phương trình bậc hai để biện luận, phân tích đề bài và tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Áp dụng các kiến thức:

- Dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình $x^2+2(m-1)x+4m=0$ có nghiệm kép.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+2(m-1)x+4m=0$ (*) có:

$\Delta \text{'}={(m-1)}^2-1.4m=m^2-2m+1-4m=m^2-6m+1$

Để phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi

$\Delta \text{'}=0$

$\iff m^2-6m+1=0$ (**)

Giải phương trình (**) ta có:

$\Delta \text{'}={(-3)}^2-1.1=8$ > 0

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

$m_1=\frac{-(-3)+\sqrt{8}}{1}=3+2\sqrt{2}$

$m_2=\frac{-(-3)-\sqrt{8}}{1}=3-2\sqrt{2}$

Vậy khi m = $3+2\sqrt{2}$ hoặc m = $3-2\sqrt{2}$ thì phương trình $x^2+2(m-1)x+4m=0$ có nghiệm kép. 

Ví dụ 2: Cho phương trình $x^2+2x+m-1=0$, với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $6x_1{x}_2=4(m-m^2)$

Lời giải:

Xét phương trình: $x^2+2x+m-1=0$

Có: $\Delta =2^2-4(m-1)=4-4m+4=8-4m$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$8-4m>0\iff m<2$

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1{x}_2=m-1\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

$6x_1{x}_2=4(m-m^2)$

$\Rightarrow 6(m-1)=4(m-m^2)$

$\iff 6m-6=4m-4m^2$

$\iff 4m^2+2m-6=0$

$\iff 2m^2+1m-3=0$ (**)

Xét phương trình (**) có a = 2, b = 1, c = -3  nên a + b + c = 2 + 1 – 3 = 0

Do đó, phương trình (**) có một nghiệm là  m = 1 (thỏa mãn điều kiện)  và một nghiệm m = $\frac{-3}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi m = 1 hoăc m = $\frac{-3}{2}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $6x_1{x}_2=4(m-m^2)$

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình $3x^4+10x^2+5=0$

Bài 2: Giải phương trình $5x^4+2x^2-16=10-x^2$

Bài 3: Giải phương trình ${(x+2)}^4+{(x+6)}^4=32$

Bài 4: Giải phương trình x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8

Bài 5: Giải phương trình $\frac{2x}{x-2}-\frac{5}{x-3}=\frac{5}{x^2-5x+6}$ 

Bài 6: Giải phương trình ${(x-1)}^3-{(x+2)}^3=0$

Bài 7: Giải phương trình $\sqrt{x^2-3x+4}=\sqrt{14x-6}$

Bài 8: Giải phương trình $|4x^2+5x|=|2x^2-3|$

Bài 9: Cho phương trình $x^2+2x+m-1=0$, với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn${x_1}^3+{x_2}^3-6x_1{x}_2=4(m-m^2)$