50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - đề 10

Câu 1:

10

cái bút khác nhau và

8

quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn

1

cái bút và

1

quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?

A. $80$

B. $60$

C. $90$

D. $70$

Xem đáp án

Chọn A

Số cách chọn $1$ cái bút có $10$ cách, số cách chọn $1$ quyển sách có $8$ cách.

Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn $1$ cái bút và $1$ quyển sách là: $10.8 = 80$ cách.

Câu 2:

Cho dãy số

(u_{n})

có:

u_{1} = - 3; d = \frac{1}{2}

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $u_{n} = - 3 + \frac{1}{2} (n + 1)$

B. $u_{n} = - 3 + \frac{1}{2} n - 1$

C. $u_{n} = - 3 + \frac{1}{2} (n - 1)$

D. $u_{n} = n (- 3 + \frac{1}{4} (n - 1))$

Xem đáp án

Chọn C

Sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d (\forall n \geq 2) .$ Ta có: $u_{n} = - 3 + (n - 1) \frac{1}{2}$ .

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 3)

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; + \infty)

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; 1)

.

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?.

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $2$ .

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$ và giá trị nhỏ nhất bằng $2$ .

C. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

D. Hàm số có ba cực trị.

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

Câu 5:

Cho hàm số

f (x)

xác định trên

ℝ

và có bảng xét dấu

f (x)

như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

B. Hàm số đạt cực đại tại $x = - 3$ .

C. $x = 1$ là điểm cực trị của hàm số.

D. Hàm số có hai điểm cực trị.

Xem đáp án

Chọn B

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa theo BBT, ta thấy phương án $B$ sai.

Câu 6:

Cho hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x - 1}

. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

A. Đường thẳng $y = 1$

B. Đường thẳng $x = 1$

C. Đường thẳng $y = 2$

D. Đường thẳng $x = 2$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = - \infty$ ; $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = + \infty$ .

Vậy $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = - x^{2} + x - 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

C. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

D. $y = x^{3} - 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C.

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to + \infty$ $\Rightarrow a > 0$ nên chọn D.

Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2}$ tại ba điểm phân biệt.

A. $[\begin{array}{l} m \geq 16 \\ m \leq 0 \end{array}$

B. $- 32 < m < 0$

C. $0 < m < 32$

D. $0 < m < 16$

Xem đáp án

Chọn C

$y = - x^{3} + 6 x^{2} \Rightarrow y^{'} = - 3 x^{2} + 12 x$ , $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$ .

Bảng biến thiên của hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2}$

.

Qua bảng biến thiên ta có đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2}$ tại ba điểm phân biệt khi $0 < m < 32$ .

Câu 9:

Tìm tập xác định của hàm số

y = x^{π} + {(x^{2} - 1)}^{e}

A. $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

B. $ℝ \ \{- 1; 1\}$

C. $(1; + \infty)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số đã cho xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} > 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x > 1$ .

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = (1; + \infty)$ .

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số

y = 5^{x}

là

A. $y^{'} = 5^{x} \ln 5$

B. $y^{'} = \frac{5^{x}}{\ln 5}$

C. $y^{'} = x {.5}^{x - 1}$

D. $y^{'} = 5^{x}$

Xem đáp án

Chọn A

Đạo hàm của hàm số $y = 5^{x}$ là $y^{'} = 5^{x} \ln 5$ .

Câu 11:

Xét các số thực $a$ và $b$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{3}} (\frac{9^{b}}{3^{a}}) = \log_{\frac{1}{27}} \sqrt[3]{3}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a - 2 b = \frac{1}{18}$

B. $a + 2 b = \frac{1}{18}$

C. $2 b - a = \frac{1}{18}$

D. $2 a - b = \frac{1}{18}$

Xem đáp án

Chọn A

$\log_{\sqrt{3}} (\frac{9^{b}}{3^{a}}) = \log_{\frac{1}{27}} \sqrt[3]{3}$ $\Leftrightarrow \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{2 b - a} = \log_{3^{- 3}} 3^{\frac{1}{3}}$ $\Leftrightarrow 2 (2 b - a) = - \frac{1}{3} . \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow a - 2 b = \frac{1}{18}$ .

Câu 12:

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $2^{x + 1} = 8$

A. $S = \{1\}$

B. $S = \{- 1\}$

C. $S = \{4\}$

D. $S = \{2\}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $2^{x + 1} = 8$ $\Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^{3}$ $\Leftrightarrow x + 1 = 3$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Câu 13:

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

\log_{2} (2 x - 2) = 3

.

A. $x = 3$

B. $x = 7$

C. $x = 4$

D. $x = 5$

Xem đáp án

Chọn D

$\log_{2} (2 x - 2) = 3$ $\Leftrightarrow 2 x - 2 = 8 \Leftrightarrow x = 5$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 5$ .

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3 x^{2} + \sin x

là

A. $x^{3} + \cos x + C$

B. $x^{3} + \sin x + C$

C. $x^{3} - \cos x + C$

D. $3 x^{3} - \sin x + C$

Xem đáp án

Chọn C

Họ nguyên hàm của hàm số là $f (x) = 3 x^{2} + \sin x$ .

Câu 15:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{5 x + 4}$ là

A. $\frac{1}{5} \ln (5 x + 4) + C$

B. $\ln |5 x + 4| + C$

C. $\frac{1}{\ln 5} \ln |5 x + 4| + C$

D. $\frac{1}{5} \ln |5 x + 4| + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\int \frac{1}{5 x + 4} d x = \frac{1}{5} \int \frac{1}{5 x + 4} d (5 x + 4) = \frac{1}{5} \ln |5 x + 4| + C$ .

Câu 16:

Cho hàm số

y = x^{3}

có một nguyên hàm là

F (x)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $F (2) - F (0) = 16$

B. $F (2) - F (0) = 1$

C. $F (2) - F (0) = 8$

D. $F (2) - F (0) = 4$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\int_{0}^{2} x^{3} d x = {\frac{x^{4}}{4}|}_{0}^{2} = 4 = F (2) - F (0)

Câu 17:

Cho $\int_{1}^{2} [4 f (x) - 2 x] d x = 1.$ Khi đó $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng :

A. $1$

B. $- 3$

C. $3$

D. $- 1$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int_{1}^{2} [4 f (x) - 2 x] d x = 1 \Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f (x) d x - 2 \int_{1}^{2} x d x = 1 \Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f (x) d x - {x^{2}|}_{1}^{2} = 1$

$\Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f (x) d x = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 1 .$

Câu 18:

Cho số phức

z = 2 - 3 i

. Số phức liên hợp

\bar{z}

của số phức

z

là

A. $\bar{z} = - 3 + 2 i$

B. $\bar{z} = 2 + 3 i$

C. $\bar{z} = - 2 + 3 i$

D. $\bar{z} = - 2 - 3 i$

Xem đáp án

Chọn B

Số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức $z = 2 - 3 i$ là $\bar{z} = 2 + 3 i$ .

Câu 19:

Cho số phức

z = 1 - \frac{1}{3} i

. Tìm số phức

w = i \bar{z} + 3 z

A. $w = \frac{8}{3}$

B. $w = \frac{8}{3} + i$

C. $w = \frac{10}{3}$

D. $w = \frac{10}{3} + i$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $z = 1 - \frac{1}{3} i \Rightarrow \bar{z} = 1 + \frac{1}{3} i$

Khi đó:

w = i \bar{z} + 3 z = i (1 + \frac{1}{3} i) + 3 (1 - \frac{1}{3} i) = \frac{8}{3}

Câu 20:

Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, tập hợp điểm biểu diễn số phức

z

có phần thực bằng

3

là đường thẳng có phương trình

A. $x = - 3$

B. $x = 1$

C. $x = - 1$

D. $x = 3$

Xem đáp án

Chọn D

Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ có phần thực bằng $3$ là đường thẳng $x = 3$ .

Câu 21:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là

\sqrt{3} a^{2}

. Độ dài cạnh bên là

a \sqrt{2}

. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

A. $\sqrt{6} a^{3}$

B. $\sqrt{3} a^{3}$

C. $\sqrt{2} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích khối lăng trụ đó là $V = a^{2} \sqrt{3} . a \sqrt{2} = a^{3} \sqrt{6}$ .

Câu 22:

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ . Thể tích của tứ diện $O A^{'} B C$ bằng

A. $\frac{a^{3}}{12}$

B. $\frac{a^{3}}{24}$

C. $\frac{a^{3}}{6}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

$V_{O . A^{'} B C} = V_{A' . O B C} = \frac{1}{6} A A^{'} . O B . O C = \frac{1}{6} . a . \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3}}{12}$

Câu 23:

Cho khối nón có bán kính

r = \sqrt{5}

và chiều cao

h = 3

. Tính thể tích

V

của khối nón.

A. $V = 9 π \sqrt{5}$

B. $V = 3 π \sqrt{5}$

C. $V = π \sqrt{5}$

D. $V = 5 π$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích $V$ của khối nón là : $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π 5.3 = 5 π$ .

Câu 24:

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $2 π a^{2}$ và bán kính đáy bằng $a$ . Độ dài đường sinh của hình trụ đã cho bằng

A. $2 a$

B. $\frac{a}{2}$

C. $a$

D. $\sqrt{2} a$

Xem đáp án

Chọn C

$S_{x q} = 2 π r l$ $\Rightarrow l = \frac{S_{x q}}{2 π r}$ $= \frac{2 π a^{2}}{2 π a}$ $= a$ .

Câu 25:

Trong không gian $O x y z$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M (3; 5; - 2)$ trên mặt phẳng $O x y$ có tọa độ là

A. $(0; 5; - 2)$

B. $(3; 0; - 2)$

C. $(0; 0; - 2)$

D. $(3; 5; 0)$

Xem đáp án

Chọn D

Hình chiếu vuông góc của điểm $M (3; 5; - 2)$ trên mặt phẳng $O x y$ có tọa độ là $(3; 5; 0)$ .

Câu 26:

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y + 2 z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. $9$

B. $3$

C. $15$

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y + 2 z - 7 = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$ .

$\Rightarrow (S)$ có bán kính $R = \sqrt{9} = 3$ .

Câu 27:

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (2; 1; 2)$ và $B (6; 5; - 4)$ . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ có phương trình là

A. $2 x + 2 y - 3 z - 17 = 0$

B. $4 x + 3 y - z - 26 = 0$

C. $2 x + 2 y - 3 z + 17 = 0$

D. $2 x + 2 y + 3 z - 11 = 0$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ đi qua điểm $I (4; 3; - 1)$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ và nhận $\vec{A B} = (4; 4; - 6) = 2 (2; 2; - 3)$ làm véc-tơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình là $2 x + 2 y - 3 z = 17 \Leftrightarrow 2 x + 2 y - 3 z - 17 = 0$ .

Câu 28:

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 3}{2}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?

A. $\vec{u_{2}} = (1; - 3; 2)$

B. $\vec{u_{3}} = (- 2; 1; 3)$

C. $\vec{u_{1}} = (- 2; 1; 2)$

D. $\vec{u_{4}} = (1; 3; 2)$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 29:

Hộp $A$ có $4$ viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Hộp $B$ có $7$ viên bi trắng, $6$ viên bi đỏ và $5$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu.

A. $\frac{91}{135}$

B. $\frac{44}{135}$

C. $\frac{88}{135}$

D. $\frac{45}{88}$

Xem đáp án

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu: $15.18 = 270$ .

Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: $4.7 + 5.6 + 6.5 = 88$ .

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{88}{270} = \frac{44}{135}$ .

Câu 30:

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 6$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(5; + \infty)$

B. $(1; + \infty)$

C. $(1; 5)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định: $D = ℝ$ ; $y^{'} = x^{2} - 6 x + 5$ ; $y^{'} = 0$ $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5 \end{array}$ .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 5)$ .

Câu 31:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn $[- 1; 2]$ có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(2; 14)$

B. $(3; 8)$

C. $(12; 20)$

D. $(- 7; 8)$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[- 1; 2]$ .

Ta có $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 12$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \notin [- 1; 2] \end{array}$ .

$y (- 1) = 15$ ; $y (2) = 6$ ; $y (1) = - 5$ .

Suy ra $\max_{[- 1; 2]} y = 15 \in (12; 20)$ .

Câu 32:

Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình

\log (2 x^{2} - 11 x + 15) \leq 1

là

A. $3$

B. $4$

C. $5$

D. $6$

Xem đáp án

Chọn B

ĐK: $2 x^{2} - 11 x + 15 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$ hoặc $x > 3$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) \leq 1 \Leftrightarrow$ $2 x^{2} - 11 x + 15 \leq 10 \Leftrightarrow$ $2 x^{2} - 11 x + 5 \leq 0 \Leftrightarrow$ $\frac{1}{2} \leq x \leq 5$ .

Kết hợp điều kiện ta có: $\frac{1}{2} \leq x < \frac{5}{2}$ hoặc $3 < x \leq 5$ . Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên là: $x \in \{1; 2; 4; 5\}$ .

Câu 33:

Cho tích phân $I = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 - x} d x .$ Với cách đặt $t = \sqrt[3]{1 - x}$ ta được:

A. $I = 3 \int_{0}^{1} t^{3} d t .$

B. $I = 3 \int_{0}^{1} t^{2} d t .$

C. $I = \int_{0}^{1} t^{3} d t .$

D. $I = 3 \int_{0}^{1} t^{3} d t .$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3 t^{2} d t = - d x \Leftrightarrow d x = - 3 t^{2} d t$

Với $x = 0 \Rightarrow t = 1; x = 1 \Rightarrow t = 0$

Khi đó

I = \int_{1}^{0} t (- 3 t^{2}) d t = 3 \int_{0}^{1} t^{3} d t

Câu 34:

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z = {(1 + i)}^{2} - (3 + 3 i)$ là

A. $4$

B. $- 4$

C. $- 3 - i$

D. $\sqrt{10}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $z = {(1 + i)}^{2} - (3 + 3 i)$ $= 1 + 2 i + i^{2} - 3 - 3 i$ $= - 3 - i$ $\Rightarrow$ phần thực $a = - 3$ , phần ảo $b = - 1$ .

Vậy $a + b = - 4$ .

Câu 35:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật có $A B = 3 a, A D = 2 a$ , $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , $S A = a$ . Gọi $φ$ là góc giữa đường thẳng $S C$ và mp $(A B C D)$ . Khi đó $\tan φ$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{13}}{13}$

B. $\frac{\sqrt{11}}{11}$

C. $\frac{\sqrt{7}}{7}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $S A ⊥ (A B C D)$ nên $A C$ là hình chiếu vuông góc của $S C$ lên $(A B C D)$ .

Xét $Δ S A C$ vuông tại $A$ ta có

$\tan φ = \frac{S A}{A C} = \frac{a}{a \sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$

.

Câu 36:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi, tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D) .$ Biết $A C = 2 a, B D = 4 a .$ Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $A D$ và $S C$

A. $\frac{4 a \sqrt{13}}{91}$

B. $\frac{a \sqrt{165}}{91}$

C. $\frac{4 a \sqrt{1365}}{91}$

D. $\frac{a \sqrt{135}}{91}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi $O = A C \cap B D, H$ là trung điểm của $A B$ suy ra $S H ⊥ A B .$

Do $A B = (S A B) \cap (A B C D)$ và $(S A B) ⊥ (A B C D)$ nên $S H ⊥ (A B C D)$

Ta có: $O A = \frac{A C}{2} = \frac{2 a}{2} = a$

$\begin{array}{l} O B = \frac{B D}{2} = \frac{4 a}{2} = 2 a \\ \Rightarrow A b = \sqrt{O A^{2} + O B^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5} \end{array}$

$S H = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{15}}{2}; S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D = \frac{1}{2} 2 a .4 a = 4 a^{2}$

Thể tích khối chóp $S . A B C D$ là

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{15}}{2} 4 a^{2} = \frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{3}$

Ta có: $B C / / A D \Rightarrow A D / / (S B C) \Rightarrow d (A D, S C) = d (A D; (S B C)) = d (A; (S B C))$

Do $H$ là trung điểm của $A B$ và $B = A H \cap (S C B) \Rightarrow d (A; (S B C)) = 2 d (H; (S B C))$

Kẻ $H E ⊥ B C, H \in B C .$ Do $S H ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S H E) .$

Kẻ $H K ⊥ S E, K \in S E,$ ta có $B C ⊥ H K \Rightarrow H K ⊥ (S B C) \Rightarrow H K = d (H; (S B C))$

$H E = \frac{2 S_{B C H}}{B C} = \frac{S_{A B C}}{B C} = \frac{S_{A B C D}}{2 B C} = \frac{4 a^{2}}{2 a \sqrt{5}} = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H E^{2}} + \frac{1}{S H^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}} + \frac{4}{15 a^{2}} = \frac{91}{60 a^{2}} \Rightarrow H K = \frac{2 a \sqrt{15}}{\sqrt{91}} = \frac{2 a \sqrt{1365}}{91}$

Vậy $d (A D, S C) = 2 H K = \frac{4 a \sqrt{1365}}{91} .$

Câu 37:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho điểm $I (1; 0; - 2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $x + 2 y - 2 z + 4 = 0$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$

B. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3$

C. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3$

D. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$

Xem đáp án

Chọn A

Mặt cầu $(S)$ có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ nên bán kính mặt cầu là

$R = d (I, (P))$ $= \frac{|1 + 0 - 2 (- 2) + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}}$ $= 3$ .

Vậy phương trình mặt cầu là ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$ .

Câu 38:

Trong không gian

O x y z

, cho các điểm

A (0; 0; 2), B (2; 1; 0), C (1; 2 - 1)

và

D (2; 0; - 2)

. Đường thẳng đi qua

A

và vuông góc với mặt phẳng

(B C D)

có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 3 + 3 t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + 3 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 3 t \\ y = 2 t \\ z = 2 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\vec{B C} = (- 1; 1; - 1); \vec{B D} = (0; - 1; - 2)$ .

Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(B C D)$ . Khi đó $Δ$ có vetơ chỉ phương là $\vec{u} = [\vec{B D}; \vec{B C}] = (3; 2; - 1)$ .

$\Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = 3 t' \\ y = 2 t' \\ z = 2 - t' \end{cases}$ . Ta có $M (3; 2; 1) \in Δ$ . Nên $Δ : \{\begin{cases} x = 3 + 3 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$ .

Câu 39:

Biết rằng hàm số $(f) x$ có đạo hàm là $f' (x) = x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ . Hỏi hàm số $f^{3} x$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $1$

B. $2$

C. $4$

D. $3$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $[f^{3} (x)]' = 3 . f^{2} (f) . f' (x)$ nên số điểm cực trị của hàm số $y = f^{3} (x)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ .

$3 f' (x) = 0 \Leftrightarrow x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} {(x - 3)}^{4} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}$ .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số $y = f^{3} (x)$ có $2$ điểm cực trị.

Câu 40:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình $\log (x^{2} - 4 x + m + 20) > 1$ có tập nghiệm là $ℝ$ ?

A. $6$

B. $13$

C. $5$

D. $14$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\log (x^{2} - 4 x + m + 20) > 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + m + 20 > 10^{1} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + m + 10 > 0$ .

Để tập nghiệm của phương trình là $ℝ$ thì $Δ^{'} = 4 - m - 10 < 0 \Leftrightarrow m > - 6$ .

Do là số nguyên âm nên $m \in \{- 1; - 2; - 3; - 4; - 5\}$ .

Câu 41:

Cho hàm số $f (x)$ có $f (\frac{π}{2}) = - 1$ và $f^{'} (x) = \frac{\sin x + \sin 3 x}{2 \sin^{4} x . \cos x}, \forall x \in (\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6})$ . Khi đó $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} f (x) d x$ bằng

A. $2$

B. $4$

C. $- 2$

D. $0$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $f' (x) = \frac{\sin x + \sin 3 x}{2 \sin^{4} x . \cos x}, \forall x \in (\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6})$ nên $f (x)$ là một nguyên hàm của $f' (x)$

$\int f^{'} (x) d x = \int \frac{\sin x + \sin 3 x}{2 \sin^{4} x . \cos x} d x = \int \frac{2 \sin 2 x . \cos x}{2 \sin^{4} x . \cos x} d x = \int \frac{2 \sin x . \cos x}{\sin^{4} x} d x = \int \frac{2 \cos x}{\sin^{3} x} d x$ $= \int \frac{2}{\sin^{3} x} d (\sin x) = \frac{- 1}{\sin^{2} x} + C$

Do đó $f (x) = - \frac{1}{\sin^{2} x} + C$ mà $f (\frac{π}{2}) = - 1 \Rightarrow C = 0$ khi đó $f (x) = - \frac{1}{\sin^{2} x}$

Vậy

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} f (x) d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} - \frac{1}{\sin^{2} x} d x = {\cot x|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} = - 2

Câu 42:

Cho số phức $z$ ; biết rằng các điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ ; $i z$ và $z + i z$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $18$ . Mô đun của số phức $z$ bằng

A. $2 \sqrt{3}$

B. $3 \sqrt{2}$

C. $9$

D. $6$

Xem đáp án

Gọi $z = x + y i$ , với $x, y \in ℝ; i^{2} = - 1$ $\Rightarrow i z = - y + x i$ và $z + i z = (x - y) + (x + y) i$ . Gọi $A, B, C$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z$ ; $i z$ và . $z + i z$

Khi đó $A (x; y)$ , $B (- y; x)$ , $C (x - y; x + y)$ .

Ta có: $A B = \sqrt{{(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}} = \sqrt{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ , $A C = B C = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |z|$ .

Vì $A C = B C$ và $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ , suy ra $Δ A B C$ là tam giác vuông cân tại $C$ .

Do đó $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A C . B C$ $\frac{1}{2} {|z|}^{2} = 18$ $\Leftrightarrow |z| = 6$ . Chọn đáp án D.

Câu 43:

Cho khối chóp

S . A B C D

có đáy là hình bình hành

A B C D

. Gọi

M, N, P, Q

lần lượt là trọng tâm các tam giác

S A B

,

S B C

,

S C D

,

S D A

. Biết thể tích khối chóp

S . M N P Q

là

V

, khi đó thể tích của khối chóp

S . A B C D

là:

A. $\frac{27 V}{4}$

B. ${(\frac{9}{2})}^{2} V$

C. $\frac{9 V}{4}$

D. $\frac{81 V}{8}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho khối chóp có đáy là hình bình hành . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác , , , . Biết thể tích khối chóp là , khi đó thể tích của khối chóp là: (ảnh 1)

Ta có $\frac{d (S, (M N P Q))}{d (S, (A B C D))} = \frac{S M}{S I} = \frac{2}{3}$ .

Mặt khác gọi $S = S_{A B C D}$ ta có $\frac{S_{Δ D E J}}{S_{Δ B D A}} = \frac{1}{4} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow S_{Δ D E J} = \frac{1}{16} S$ .

Tương tự ta có $\frac{S_{Δ J A I}}{S_{Δ D A B}} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow S_{Δ J A I} = \frac{1}{8}$ .

Suy ra $S_{H K I J} = [1 - (4. \frac{1}{16} + 2. \frac{1}{8})] S = \frac{1}{2} S$ .

Mà $\frac{S_{M N P Q}}{S_{H K I J}} = {(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow S_{M N P Q} = \frac{2}{9} S_{A B C D}$ .

Suy ra $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} d (S, (A B C D)) . S$ $= \frac{1}{3} . \frac{3}{2} d (S, (M N P Q)) . \frac{9}{2} S = \frac{27}{4} V$ .

Câu 44:

Biết rằng parabol $(P) : y^{2} = 2 x$ chia đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = 8$ thành hai phần lần lượt có diện tích là $S_{1}$ , $S_{2}$ (như hình vẽ). Khi đó $S_{2} - S_{1} = a π - \frac{b}{c}$ với $a, b, c$ nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b + c$ .

A. $S = 13$

B. $S = 16$

C. $S = 15$

D. $S = 14$

Xem đáp án

Chọn C

Xét hệ $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 8 \\ y^{2} = 2 x \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 8 = 0 \\ y^{2} = 2 x \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 \lor x = 2 \\ y^{2} = 2 x \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y^{2} = 4 \end{cases}$

$S_{1} = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x} d x + 2 \int_{2}^{2 \sqrt{2}} \sqrt{8 - x^{2}} d x$

$I_{1} = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x} d x = {(2. \sqrt{2} . \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}})|}_{0}^{2} = \frac{16}{3}$

$I_{2} = 2 \int_{2}^{2 \sqrt{2}} \sqrt{8 - x^{2}} d x$ .

Đặt $x = 2 \sqrt{2} \cos t$ $\Rightarrow d x = - 2 \sqrt{2} \sin t d t$

$x = 2 \Rightarrow t = \frac{π}{4}$ , $x = 2 \sqrt{2} \Rightarrow t = 0$ .

.

$I_{2} = 2 \int_{\frac{π}{4}}^{0} \sqrt{8 - 8 \cos^{2} t} (- 2 \sqrt{2} \sin t d t)$ $= 16 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} t d t$ $= 8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - \cos 2 t) d t$ $= 8 {(t - \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{0}^{\frac{π}{4}}$ $= 2 π - 4$ .

$\Rightarrow S_{1} = I_{1} + I_{2} = 2 π + \frac{4}{3}$

.

$\Rightarrow S_{2} - S_{1} = 4 π - \frac{8}{3}$ .

Vậy $a = 4$ ,b $= 8$ , $c = 3$ $\Rightarrow S = a + b + c = 15$ .

Câu 45:

Trong không gian $O x y z$ , cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ ; $d_{2} : \frac{x - 5}{- 3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z - 5 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt tại $A, B$ . Độ dài

đoạn là

A. $2 \sqrt{3}$

C.

C. $5$

D. $\sqrt{15}$

Xem đáp án

Chọn B

$d_{1}$ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 3 - 2 t \\ z = - 2 + t \end{cases}$ và $d_{2}$ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 5 - 3 k \\ y = - 1 + 2 k \\ z = 2 + k \end{cases}$ . Mặt phẳng $(P)$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2; 3)$ .

Vì $A \in d_{1} \Rightarrow A (3 - t; 3 - 2 t; - 2 + t)$ và $B \in d_{2} \Rightarrow B (5 - 3 k; - 1 + 2 k; 2 + k)$

$\Rightarrow \vec{A B} = (2 - 3 k + t; - 4 + 2 k + 2 t; 4 + k - t)$

Mà $d ⊥ (P)$ nên $\vec{A B}$ và $\vec{n}$ cùng phương, suy ra $\frac{2 - 3 k + t}{1} = \frac{- 4 + 2 k + 2 t}{2} = \frac{4 + k - t}{3}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} t = 2 \\ k = 1 \end{cases}$ .

Do đó $A (1; - 1; 0), B (2; 1; 3)$ . Vậy $A B = \sqrt{14}$ .

Câu 46:

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = |f (x - 2018) + m - 2|$ có đúng $5$ điểm cực trị. Số phần tử của $S$ là

A. $3$

B. $1$

C. $2$

D. $4$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f (x)$ ta thấy hàm số có $3$ cực trị. Vì vậy phương trình $f^{'} (x) = 0$ có ba nghiệm bội lẻ là $a, b, c (a < b < c)$ .

Xét hàm số $g (x) = f (x - 2018) + m - 2$ .

Đồ thị của hàm số $y = g (x)$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f (x)$ qua phải $2018$ đơn vị và lên trên (hoặc xuống dưới) $m - 2$ đơn vị. Từ đó, ta có bảng biến thiên của hàm số $y = g (x)$ như sau

Hàm số $y = | g (x) |$ có đúng $5$ cực trị khi và chỉ khi phương trình $g (x) = 0$ có đúng hai nghiệm bội đơn. Suy ra

$[\begin{array}{l} m - 8 < 0 \leq m - 5 \\ m \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 5 \leq m < 8 \\ m \leq 0. \end{array}$ .

Vì nguyên dương nên $S = \{5; 6; 7\}$ .

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để tồn tại cặp số

(x; y)

thỏa mãn

e^{3 x + 5 y} - e^{x + 3 y + 1} = 1 - 2 x - 2 y

, đồng thời thỏa mãn

\log_{3}^{2} (3 x + 2 y - 1) - (m + 6) \log_{3} x + m^{2} + 9 = 0

.

A. $6$

B. $5$

C. $8$

D. $7$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $e^{3 x + 5 y} - e^{x + 3 y + 1} = 1 - 2 x - 2 y$ $\Leftrightarrow e^{3 x + 5 y} + (3 x + 5 y) = e^{x + 3 y + 1} + (x + 3 y + 1)$ .

Xét hàm số $f (t) = e^{t} + t$ trên $ℝ$ . Ta có $f^{'} (t) = e^{t} + 1 > 0$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Do đó phương trình có dạng: $f (3 x + 5 y) = f (x + 3 y + 1)$ $\Leftrightarrow 3 x + 5 y = x + 3 y + 1$ $\Leftrightarrow 2 y = 1 - 2 x$ .

Thế vào phương trình còn lại ta được: $\log_{3}^{2} x - (m + 6) \log_{3} x + m^{2} + 9 = 0$ .

Đặt $t = \log_{3} x$ , phương trình có dạng: $t^{2} - (m + 6) t + m^{2} + 9 = 0$ .

Để phương trình có nghiệm thì $Δ \geq 0 \Leftrightarrow$ $- 3 m^{2} + 12 m \geq 0$ $\Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4$ .

Do đó có $5$ số nguyên $m$ thỏa mãn.

Câu 48:

Cho Parabol

(P) : y = x^{2}

và hai điểm

A, B

thuộc

(P)

sao cho

A B = 2

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(P)

và đường thẳng

A B

đạt giá trị lớn nhất bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Cách 1: Gọi $A (a; a^{2})$ , $B (b; b^{2})$ với $a < b$ . Ta có $A B = 2$ $\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4$

$A B : \frac{x - a}{b - a} = \frac{y - a^{2}}{b^{2} - a^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{x - a}{1} = \frac{y - a^{2}}{b + a}$ $\Leftrightarrow y = (a + b) (x - a) + a^{2}$ $\Leftrightarrow y = (a + b) x - a b$

. $S = \int_{a}^{b} ((a + b) x - a b - x^{2}) d x$ $= \int_{a}^{b} (x - a) (b - x) d x$

Đặt $t = x - a$ . Suy ra $S = \int_{0}^{b - a} t (b - a - t) d t$ $= \int_{0}^{b - a} (t (b - a) - t^{2}) d t$ $= {\frac{(b - a) t^{2}}{2}|}_{0}^{b - a} - {\frac{t^{3}}{3}|}_{0}^{b - a}$ $= \frac{{(b - a)}^{3}}{6}$

Ta có ${(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4$ $\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 4$ $\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = \frac{4}{1 + {(b + a)}^{2}} \leq 4$

Suy ra $b - a \leq 2$ $\Rightarrow S = \frac{{(b - a)}^{3}}{6} \leq \frac{2^{3}}{6} = \frac{4}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{cases} a + b = 0 \\ b - a = 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 1 \\ a = - 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow A (- 1; 1), B (1; 1)$ .

Cách 2: Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ và trục hoành $y = 0$ là $S^{2} = \frac{Δ^{3}}{36 a^{4}}, Δ = b^{2} - 4 a c (1)$ .

Tổng quát với $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ và $(d) : y = m x + n$ thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm $a x^{2} + b x + c = m x + n$ $\Leftrightarrow a x^{2} + (b - m) x + c - n = 0$ .

Áp dụng

S^{2} = \frac{Δ^{3}}{36 a^{4}}, Δ = {(b - m)}^{2} - 4 a (c - n)

.

Câu 49:

Xét các số phức $z = a + b i$ $(a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z - 4 - 3 i| = \sqrt{5}$ . Tính $P = a + b$ khi $|z + 1 - 3 i| + |z - 1 + i|$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $P = 10$

B. $P = 4$

C. $P = 6$

D. $P = 8$

Xem đáp án

Chọn A

Sử dụng BĐT Bunyakovsky

Từ giả thiết $|z - 4 - 3 i| = \sqrt{5}$ $\Leftrightarrow {(a - 4)}^{2} + {(b - 3)}^{2} = 5$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 8 a - 6 b + 20 = 0$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 8 a + 6 b - 20$

Mặt khác $T = |z + 1 - 3 i| + |z - 1 + i|$ $= \sqrt{{(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2}} + \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}}$

Suy ra $T^{2} \leq (1^{2} + 1^{2}) [{(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2} + {(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}]$ $= 2 [2 (a^{2} + b^{2}) - 4 b + 12]$ $= 2 [2 (8 a + 6 b - 20) - 4 b + 12]$ $= 8 (4 a + 2 b - 7)$

Dấu = xảy ra khi ${(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}$ $\Leftrightarrow a - 2 b = - 2$

Lại có $4 a + 2 b = 4 (a - 4) + 2 (b - 3) + 22 \leq \sqrt{(4^{2} + 2^{2}) [{(a - 4)}^{2} + {(b - 3)}^{2}]} + 22$ $= \sqrt{20.5} + 22 = 32$

Dấu = xảy ra khi $\frac{a - 4}{4} = \frac{b - 3}{2} \Leftrightarrow a - 2 b = - 2$

suy ra $T^{2} \leq 8 (4 a + 2 b - 7) \leq 8 (32 - 7) = 200$

$\Rightarrow T \leq 10 \sqrt{2}$

Vậy $T_{max} = 10 \sqrt{2}$ khi $\{\begin{cases} 4 a + 2 b = 32 \\ a - 2 b = - 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 6 \\ b = 4 \end{cases}$ . Vậy $a + b = 10$ .

Câu 50:

Cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + z^{2} = 8$ và các điểm $A (3; 0; 0)$ , $B (4; 2; 1)$ . Gọi $M$ là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $(S)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A + 2 M B$ ?

A. $2 \sqrt{2}$

B. $4 \sqrt{2}$

C. $3 \sqrt{2}$

D. $6 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (- 1; 4; 0)$ , bán kính $R = 2 \sqrt{2}$ .

$I A = 4 \sqrt{2}$ $= 2 R$ $= 2 I M$ ; $I B = \sqrt{30} > R$ $\Rightarrow B$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ .

Lấy điểm $K$ thuộc tia $I A$ sao cho $\vec{I K} = \frac{1}{4} \vec{I A}$ $\Rightarrow K (0; 3; 0)$ .

$\Rightarrow I K = \frac{1}{2} R$ $= \frac{1}{2} I M$ $\Rightarrow K$ nằm trong mặt cầu $(S)$

Lại có: $Δ I A M ~ Δ I M K (c . g . c)$ $\Rightarrow \frac{M A}{K M} = \frac{I A}{I M}$ $= 2$ $\Leftrightarrow M A = 2 M K$ .

Suy ra: $M A + 2 M B = 2 M K + 2 M B$ $\geq 2 B K$ $= 6 \sqrt{2}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow M = B K \cap (S)$ và $M$ nằm giữa $B, K$ .

Vậy ${(M A + 2 M B)}_{\min} = 6 \sqrt{2}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - đề 10

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan