51 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 1

Câu 1:

Thể tích khối nón có bán kính bằng 2a và chiều cao bằng 3a là:

A. $2 {πa}^{3}$

B. $4 {πa}^{3}$

C. $12 {πa}^{3}$

D. ${πa}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π {(2 a)}^{3} . 3 a = 4 {πa}^{3}$

Câu 2:

Phương trình $2 \cos^{2} x + \cos x - 3 = 0$ có nghiệm là

A. $\frac{π}{2} + k π$

B. $k 2 π$

C. $\frac{π}{2} + k 2 π; x = \arcsin \frac{3}{2} + k 2 π$

D. $k π$

Xem đáp án

Đáp án B

$2 \cos^{2} x + \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \cos x = - \frac{3}{2} \end{array} \Leftrightarrow x = k 2 π (k \in ℤ)$

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có $A B = a, B C = a \sqrt{10}$ . Thể tích khối nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC là:

A. $3 {πa}^{3}$

B. $9 {πa}^{3}$

C. ${πa}^{3}$

D. $10 {πa}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Bán kính đáy hình nón là a, chiều cao hình nón là

$h = \sqrt{10 a^{2} - a^{2}} = 3 a \Rightarrow V = \frac{1}{3} π {(a)}^{2} . 3 a = {πa}^{3}$

Câu 4:

Tính $P = \log_{2} 16 + \log_{\frac{1}{4}} 64 . \log_{\sqrt{2}} 2$

A. P = -2

B. P = 10

C. P = 1

D. P = -1

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $P = \log_{2} 16 + \log_{\frac{1}{4}} 64 . \log_{\sqrt{2}} 2 = 4 - 2 \log_{4} 64 = 4 - 3.2 = - 2$

Câu 5:

Số hạng chính giữa trong khai triển ${(3 x + 2 y)}^{4}$ là

A. $36 C_{4}^{2} x^{2} y^{2}$

B. $4 {(3 x)}^{2} {(2 y)}^{2}$

C. $6 C_{4}^{2} x^{2} y^{2}$

D. $C_{4}^{2} x^{2} y^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Số hạng chính giữa trong khai triển ${(3 x + 2 y)}^{4}$ là $C_{4}^{2} . {(3 x)}^{2} . {(2 y)}^{2} = 36 C_{4}^{2} x^{2} y^{2}$

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AD. Gọi M là trung điểm của SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. MN và SD cắt nhau

B. MN và CD cắt nhau

C. MN và CD song song với nhau

D. MN và SC cắt nhau

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $I = A B \cap C D$ và $N = S B \cap M I$ khi đó giao điểm của SB và (MCD) là N. Dễ thấy MN và CD cắt nhau

Câu 7:

Tính giới hạn $M = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 1}{x + 1}$

A. M = 0

B. M = -1

C. M = 1

D. M = 3

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $M = \lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - x + 1}{x + 1} = 3$

Câu 8:

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức $N = A . e^{r t}$ trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0) và t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?

A. 48 giờ

B. 24 giờ

C. 60 giờ

D. 36 giờ

Xem đáp án

Đáp án D

$N = A . e^{r t} \Rightarrow 1500 = 250 . e^{12 r} \Leftrightarrow 12 r = \ln 6 \Rightarrow r = \frac{1}{12} \ln 6 e^{r t} = 216 \Rightarrow \frac{1}{12} \ln 6 . t = \ln 216 \Rightarrow t = 36$

Câu 9:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A B = 2 a, B C = a, A A' = 2 a \sqrt{3}$ .Tính theo a thể tích khối trụ ABC.A'B'C'

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $4 a^{3} \sqrt{3}$

D. $2 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

$V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{A B C} = \frac{1}{2} A A' . A B . B C = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{2} = 2 a^{3} \sqrt{3}$

Câu 10:

Cho các số tự nhiên n, k thỏa mãn $0 \leq k \leq n$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng.

A. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{k!}$

B. $C_{n + 1}^{k} = C_{n + 1}^{n - k}$

C. $C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$

D. $P_{n} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Xem đáp án

Đáp án C

$A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}; C_{n + 1}^{k} = C_{n + 1}^{(n + 1) - k}; C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}; P_{n} = n!$

Câu 11:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Gọi G là trọng tâm $∆ B C D$ Khi đó, giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng

A. BC

B. AC

C. AN

D. AB

Xem đáp án

Đáp án C

Do 4 điểm A, M, G, N cùng thuộc mặt phẳng (AND) khi đó MG cắt AN suy ra giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN

Câu 12:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là một tứ giác (AB không song song CD). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB, O là giao điểm của AC và BD. Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau

A. SO và AD

B. MN và SC

C. SA và BC

D. MN và SO

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào hình vẽ, ta thấy 2 đường thẳng MN và SO cắt nhau. Các cặp đường thẳng (SO;AD),(MN;SC),(SA;BC) chéo nhau

Câu 13:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$ trên đoạn [-3;3] là

A. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 1; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 35$

B. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 1; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 10$

C. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 17; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 10$

D. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 17; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 35$

Xem đáp án

Đáp án D

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10 \Leftrightarrow f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \Leftrightarrow x = - 1; x = 2$

So sánh $f (- 3) = - 35, f (- 1) = 17, f (2) = - 10, f (3) = 1$

$\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 17; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 35$ .

Câu 14:

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân

A. $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} u_{1} = - 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 1 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = 3 u_{n} \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = 2^{n} . u_{n} \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án C

Cấp số nhân có công thức truy hồi dạng $\{\begin{cases} u_{1} = a \\ u_{n + 1} = q . u_{n} \end{cases}$

Dãy số $\{\begin{cases} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = 3 u_{n} \end{cases}$ là CSN với $u_{1} = - 1$ và công sai q = 3.

Câu 15:

Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?

A. $y = \sin 2 x + \sin 4 x$

B. $y = c o s x - \sin^{4} x + 2017$

C. $y = t a n x + c o t x$

D. $y = x \cos^{2} x + x^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn f(x) = f(-x)

Xét hàm số

$y = f (x) = c o s x - \sin^{4} x + 2017 \Rightarrow f (- x) = c o s (- x) - \sin^{4} (- x) + 2017 = c o s x - \sin^{4} x + 2017$

Do đó f(x) = f(-x)

Câu 16:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm $∆ A B D, ∆ A B C$ . Tìm mệnh đề đúng

A. Hai đường thẳng IJ, CD chéo nhau

B. Đường thẳng IJ cắt CD

C. Đường thẳng IJ cắt mặt phẳng (BCD)

D. Đường thẳng IJ//CD

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M và N lần lượt là trung điểm BD và BC khi đó $\frac{A I}{A M} = \frac{A J}{A N} = \frac{2}{3} \Rightarrow I J / / M N$

Mặt khác MN là đường trung bình của tam giác BCD do đó MN // CD do đó IJ // CD.

Câu 17:

Cấp số cộng $(u_{n})$ có $\{\begin{cases} u_{1} + u_{3} = 8 \\ 2 u_{2} + 3 u_{4} = 32 \end{cases}$ . Khi đó, số hạng đầu tiên là

A. 8

B. $\frac{3}{2}$

C. 2

D. $\frac{22}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $u_{1} + u_{3} = 2 u_{2} \Rightarrow u_{2} = 4 \Rightarrow u_{4} = 8 \Rightarrow d = \frac{u_{4} - u_{2}}{2} = 2 \Rightarrow u_{1} = u_{2} - d = 2$

Câu 18:

Giải phương trình ${(4 + \sqrt{15})}^{2 x^{2} - 5 x} = {(4 - \sqrt{15})}^{6 - 2 x}$

A. $x = \frac{3}{2}; x = 2$

B. $x = \frac{3}{2}; x = - 2$

C. $x = - \frac{3}{2}; x = - 3$

D. $x = - \frac{3}{2}; x = 2$

Xem đáp án

Đáp án A

${(4 + \sqrt{15})}^{2 x^{2} - 5 x} = {(4 - \sqrt{15})}^{6 - 2 x} \Leftrightarrow {(4 + \sqrt{15})}^{2 x^{2} - 5 x} = {(4 + \sqrt{15})}^{2 x - 6} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x = 2 x - 6 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 7 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x \in {2; 1; 5}$

Câu 19:

Cho cấp số cộng có $u_{4} = - 12, d = 3$ Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

A. -24

B. 24

C. -26

D. 26

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $u_{4} = u_{1} + 3 d \Rightarrow u_{1} = u_{4} - 3 d = - 12 - 3.3 = - 21$

Suy ra $S_{16} = 16 . u_{1} + \frac{16.15}{2} d = 16 . (- 21) + \frac{16.15}{2} . 3 = 24$

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là trung điểm của cạnh SA, F, G là các điểm thuộc cạnh SC, AB (F không là trung điểm của SC). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFG) là:

A. Lục giác

B. Tứ giác

C. Ngũ giác

D. Tam giác

Xem đáp án

Đáp án C

Kẻ EG cắt SB tại I, nối FI cắt BC tại M.

Kẻ GM cắt CD tại H, nối FH cắt SD tại N

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác GMFNE (hình vẽ bên)

Câu 21:

Cho hàm số $y = \frac{3 - 4 x}{x + 1}$ có đồ thị (C) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 4

B. (C)có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1

C. (C) không có tiệm cận

D. (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -4

Xem đáp án

Đáp án B

Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là x = -1;y = -4

Câu 22:

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ

A. $\frac{8}{15}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{7}{15}$

D. $\frac{1}{15}$

Xem đáp án

Đáp án D

Chọn ngẫu nhiên 2 người có $|Ω| = C_{10}^{2}$ cách

Gọi A là biến cố: 2 người được chọn đều là nữ

Ta có $|Ω_{A}| = C_{3}^{2}$ Do đó sác xuất cần tìm là $P_{A} = \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{1}{15}$

Câu 23:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $|f (x)| = m$ có 6 nghiệm thực phân biệt

A. m > 4

B. 0 < m < 4

C. 0 < m < 3

D. 3 < m < 4

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ đối xứng với đồ thị hình vẽ qua trục hoành

Phương trình $|f (x)| = m$ có 6 nghiệm thực phân biệt khi 3 < m < 4

Câu 24:

Cho hình trụ có đường kính đáy là 8, đường sinh 10. Thể tích khối trụ là:

A. 160

B. $160 π$

C. $\frac{160}{3} π$

D. $640 π$

Xem đáp án

Đáp án B

Bán kính đáy là 4, chiều cao hình trụ là 10, thể tích khối trụ là $π 4^{2} . 10 = 160 π$

Câu 25:

Cho hàm số $y = f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 5$ Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. f(x) nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$

B. f(x)đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$

C. f(x)đồng biến trên khoảng $(0; 2)$

D. f(x) nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 3)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = - 6 x^{2} + 6 x + 12 = - 6 (x + 1) (x - 2)$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 2)$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(2; + \infty)$

Do đó A sai

Câu 26:

Cho a, b là các số thực dương, thỏa mãn $a^{\frac{3}{4}} > a^{\frac{4}{3}}$ và $\log_{b} \frac{1}{2} < \log_{b} \frac{2}{3}$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 1,0 < b < 1

B. 0 < a < 1,b > 1

C. 0 < a < 1,0 < b < 1

D. a > 1,b > 1

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $a^{\frac{3}{4}} > a^{\frac{4}{3}} \Rightarrow 0 < a < 1 (d o \frac{3}{4} < \frac{4}{3})$

Mặt khác $\log_{b} \frac{1}{2} < \log_{b} \frac{2}{3} \Rightarrow b > 1 (d o \frac{2}{3} > \frac{1}{2})$

Câu 27:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-2;-1) và có $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2, \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số f(x) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2

B. Đồ thị hàm số f(x) có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = -1

C. Đồ thị hàm số f(x) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1

D. Đồ thị hàm số f(x) có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -2 và x = -1

Xem đáp án

Đáp án C

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2, \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ nên đồ thị hàm số có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng là x = -1

Câu 28:

Cho hàm số $y = {(\frac{1}{10})}^{x}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $ℝ$

B. Tập xác định của hàm số là $D = (0; + \infty)$

C. Tập giá trị của hàm số là $ℝ$

D. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = {(\frac{1}{10})}^{x}$ xác định và nghịch biến trên $ℝ$ . Tập giá trị của hàm số là $(0; + \infty)$ . Đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.

Câu 29:

Tìm số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển ${(\frac{x}{3} - \frac{3}{x})}^{12}$

A. $\frac{55}{9}$

B. $\frac{55}{9} x^{4}$

C. $\frac{1}{81}$

D. $- \frac{1}{81}$

Xem đáp án

Đáp án A

${(\frac{x}{3} - \frac{3}{x})}^{12} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} . {(\frac{x}{3})}^{12 - k} . {(\frac{- 3}{x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} . x^{12 - 2 k} . 3^{2 k - 12} {(- 1)}^{k}$

Tìm số hạng chứa $x^{4}$ ứng với $12 - 2 k = 4 \Leftrightarrow k = 4$

Câu 30:

Tìm tất cả các giả trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + (m + 2) x - m$ và đồ thị của hàm số y = 2x - 2 có 3 điểm chung phân biệt

A. m < 3

B. m > 3

C. m < 2

D. m > 2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{3} - 3 x^{2} + (m + 2) x - m = 2 x - 2 \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} + m x - m + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x - 2) + m (x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x - 2 + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ g (x) = x^{2} - 2 x - 2 + m = 0 \end{array}$

Hai đồ thị có 3 điểm chung $\Leftrightarrow g (x)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} ∆' = 3 - m > 0 \\ g (1) = - 3 + m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < 3$

Câu 31:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cận tại A,AB=AC=2a, $\hat{C A B} = 120 °$ góc giữa (A'BC) và (ABC) là $45 °$ Thể tích lăng trụ là

A. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Kẻ $A P ⊥ B C (P \in B C) \Rightarrow \hat{A' P A} = 45 ° \Rightarrow A A' = A P$

Mà $\cos 60 ° = \frac{A P}{A B} = \frac{1}{2} \Rightarrow A P = a \Rightarrow A A' = a$

$\Rightarrow V = A' A . S_{A B C} = a . \frac{1}{a} . \sin 120 ° = a^{3} \sqrt{3}$

Câu 32:

Cho $m = \log_{2} 20$ . Tính $\log_{20} 5$ theo m được

A. $\frac{m - 2}{m}$

B. $\frac{m - 1}{m}$

C. $\frac{m}{m - 2}$

D. $\frac{m + 2}{m}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$\log_{2} 20 . \log_{20} 5 = \log_{2} 5 = \log_{2} \frac{20}{4} = \log_{2} 20 - \log_{2} 4 = \log_{2} 20 - 2 \Rightarrow \log_{20} 5 = \frac{\log_{2} 20 - 2}{\log_{2} 20} = \frac{m - 2}{m}$

Câu 33:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ Biết $f (x + 1) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ hãy xác định biểu thức f(x)

A. $f (x) = x^{3} + 1$

B. $f (x) = x^{3} + 3 x + 2$

C. $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$

D. $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f (x + 1) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2 = {(x + 1)}^{3} + 1 \Rightarrow f (x) = x^{3} + 1$

Câu 34:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hĩnh vẽ sau

Tính S = a + b

A. S = 1

B. S = 0

C. S = -2

D. S = -1

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua 2 điểm cực trị A(0;2),B(2;-2)

Điểm A(0;2) là điểm cực đại suy ra $\{\begin{cases} y' (0) = 0 \\ y' (0) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 0 \\ d = 2 \end{cases} (1)$

Điểm B(2;-2) là điểm cực đại suy ra $\{\begin{cases} y' (2) = 0 \\ y' (2) = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 12 a + 4 b + c = 0 \\ 8 a + 4 b + 2 c + d = - 2 \end{cases} (2)$

Từ (1),(2) suy ra a = 1,b = -3,c = 0,d = 2 Vậy tổng a + b = 1 - 3 = -2.

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C), S A = 2 a$ tam giác ABC cân tại A, $B C = 2 a \sqrt{2}, \cos \hat{A C B} = \frac{1}{3}$ . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A. $S = \frac{97 {πa}^{2}}{\sqrt{3}}$

B. $S = \frac{97 {πa}^{2}}{4}$

C. $S = \frac{97 {πa}^{2}}{2}$

D. $S = \frac{97 {πa}^{2}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là trung diểm của BC suy ra $\cos \hat{A C B} = \sin \hat{H A B} = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos \hat{H A B} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Mà $\sin \hat{B A C} = 2 \sin \hat{H A B} . \cos \hat{H A B} = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ nên theo định lí Sin, ta có $R_{∆ A B C} = \frac{B C}{2 s i n \hat{B A C}} = \frac{9}{4}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $R = \sqrt{{R^{2}}_{∆ A B C} + \frac{S A^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{97}}{4}$

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là $S = 4 {πR}^{2} = 4 π {(\frac{a \sqrt{97}}{4})}^{2} = \frac{97 {πa}^{2}}{4}$

Câu 36:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} k h i x \neq - 1 \\ - 2 k h i x = - 1 \end{cases}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai

A. Hàm số f(x) liên tục trên khoảng $(- \infty; - 1)$

B. Hàm số không liên tục trên $ℝ$

C. Hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$

D. Hàm số f(x) liên tục trên khoảng $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} (x - 1) = - 2 = f (- 1) \Rightarrow$ Hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$

Câu 37:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng $α$ với $\tan α = \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD).

A. $60 °$

B. $69, 3 °$

C. $90 °$

D. $45 °$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} C B ⊥ A B \\ C B ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow C B ⊥ (S A B)$

Do đó $\hat{(S C; (S A B))} = \hat{C S B} = α$

$\Rightarrow S B = \frac{a}{\tan α} = \frac{5 a}{\sqrt{10}} \Rightarrow S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Ta có $\hat{(S O; (A B C D))} = \hat{S O A}$ trong đó $t a n \hat{S C A} = \frac{S A}{O A} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{2}}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3}$ .

Câu 38:

Bổ dọc một quả dưa hấu ta được tiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 31000cm dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)

A. 183.000đ

B. 180.000đ

C. 185.000đ

D. 190.000đ

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hình elip có trục lớn là 28 cm suy ra $2 a = 28 \Rightarrow a = 14 c m$

Và có trục nhỏ là 25 cm suy ra $2 b = 25 \Rightarrow b = 5 c m$

Vậy thể tích của quả dưa hấu bằng thể tích khối tròn xoay quanh khi quay elip xung quanh trục lớn khi đặt quả dưa hấu nằm ngang, do đó thể tích

$V = \frac{4}{3} {πab}^{2} = \frac{4}{3} π . 14 . {(12, 5)}^{2} = \frac{8750}{3} π {cm}^{3}$

Vậy số tiền từ việc bán nước sinh tố là $T = \frac{V}{1000} . 20, 000 = 183, 000$ đồng

Câu 39:

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{a n + 2}{n + 1}$ , a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số là một dãy số tăng

A. a < 1

B. a > 1

C. a > 2

D. a < 2

Xem đáp án

Đáp án C

Để dãy số tăng thì

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a (n + 1) + 2}{(n + 1) + 1} - \frac{a n + 2}{n + 1} = \frac{a - 1}{(n + 2) (n + 1)} > 0 \forall n \Leftrightarrow a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2$

Câu 40:

Tìm m để phương trình $\log_{3}^{2} x - (m + 2) \log_{3} x + 3 m - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} x_{2} = 27$

A. $m > 4 + 2 \sqrt{2}$

B. m = 1

C. m = 3

D. $m = \frac{28}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: x > 0 Đặt $t = \log_{3} x$ khi đó phương trình trở thành $t^{2} - (m + 2) t + 3 m - 1 = 0 (*)$

Để phương trình có có hai nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow ∆ = {(m + 2)}^{2} - 4 . (3 m - 1) > 0$

Khi đó, gọi $t_{1}, t_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của (*) theo hệ thức Viet, ta có $\{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = m + 2 \\ t_{1} t_{2} = 3 m - 1 \end{cases}$

Theo bài ra, có

$x_{1} x_{2} = 27 \Leftrightarrow \log_{3} (x_{1} x_{2}) = \log_{3} 27 \Leftrightarrow \log_{3} x_{1} + \log_{3} x_{2} = 3 \Leftrightarrow t_{1} + t_{2} = 3 \Leftrightarrow m = 1$

Đối chiếu điều kiện ${(m + 2)}^{2} - 4 (3 m - 1) > 0$ suy ra m = 1 là giá trị cần tìm.

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm $f' (x)$ . Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số $f' (x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số $f (x)$

A. Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = -1

B. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x= 1

C. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = -2

D. Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = -2

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số $f' (x)$ ta thấy $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số $f (x)$

$f' (x)$ không đổi dấu khi đi qua điểm x = -2 nên x = -2 không phải điểm cực trị

Câu 42:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm $f' (x)$ . Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số $f' (x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số $f (x)$

A. Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = -1

B. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x= 1

C. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = -2

D. Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = -2

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số $f' (x)$ ta thấy $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số $f (x)$

$f' (x)$ không đổi dấu khi đi qua điểm x = -2 nên x = -2 không phải điểm cực trị

Câu 43:

Một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể tích 2dm³. Nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy thêm $\sqrt[3]{2}$ dm thì thể tích của hộp giấy là 16dm³. Hỏi nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy ban đầu lên $2 \sqrt[3]{2}$ dm thì thể tích hộp giấy mới là:

A. 32 $d m^{3}$

B. 54 $d m^{3}$

C. 64 $d m^{3}$

D. 72 $d m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích hình hộp chữ nhật $V = a b c = 2$ (với a, b, c là các kích thức dài, rộng và chiều cao của khối hộp)

Thể tích khối hộp khi tăng mỗi cạnh lên $\sqrt[3]{2}$ dm là $V_{2} = (a + \sqrt[3]{2}) (b + \sqrt[3]{2}) (c + \sqrt[3]{2}) = 16$

Mặt khác theo BĐT AM-GM ta có: $a + \sqrt[3]{2} \geq \sqrt{a . \sqrt[3]{2}}$

Tương tự ta có: $V_{2} = (a + \sqrt[3]{2}) (b + \sqrt[3]{2}) (c + \sqrt[3]{2}) \geq 8 \sqrt{a b c . \sqrt[3]{2.2.2}} = 16$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \sqrt[3]{2}$ . Do đó $V_{2} = (a + \sqrt[3]{2}) (b + \sqrt[3]{2}) (c + \sqrt[3]{2}) = 54$ .

Câu 44:

Xét các mệnh đề sau

(1). Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2 x - 3}$ có hai đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang

(2). Đồ thị hàm số $y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + x + 1}}{x}$ có hai đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng

(3). Đồ thị hàm số $y = \frac{x - \sqrt{2 x - 1}}{x^{2} - 1}$ có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.

Số mệnh đề đúng là:

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2 x - 3}$ có hai đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + x + 1}}{x}$ có 1 tiệm cận đứng là x = 0

Mặt khác $\lim_{x \to + \infty} y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x + \sqrt{x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{x} = 0$ nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang

Xét hàm số $y = \frac{x - \sqrt{2 x - 1}}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{x - 2 x - 1}{x + \sqrt{2 x - 1}}}{x^{2} - 1} = \frac{x - 1}{(x + \sqrt{2 x - 1}) (x - 1)} (x > \frac{1}{2})$ suy ra đồ thị không có tiệm cận đứng. Do đó có 1 mệnh đề đúng

Câu 45:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét 4 mệnh đề sau

(1) Hàm số $y = f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0} = 0$

(2) Hàm số $y = f (x)$ có ba cực trị.

(3) Phương trình $y = f (x)$ có đúng ba nghiệm phân biệt

(4) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -2 trên đoạn [-2;2]

Hỏi trong 4 mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại $x_{0} = 0$

Hàm số $y = f (x)$ có ba điểm cực trị.

Phương trình $f (x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -2 trên đoạn [-2;2]

Câu 46:

Cho $a \in [\frac{1}{9}; 3]$ và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 9 \log_{\frac{1}{3}}^{3} \sqrt[3]{a} - \log_{\frac{1}{3}} a^{3} + 1$ . Khi đó giá trị của $A = 5 m + 3 M$ gần giá trị nào nhất

A. -1,3

B. -1,5

C. -1,4

D. -1,2

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = \log_{\frac{1}{3}} a$ với $a \in [\frac{1}{9}; 3] \Rightarrow t \in [- 1; 2] .$

Khi đó $P = 9 \log_{\frac{1}{3}}^{3} \sqrt[3]{a} - \log_{\frac{1}{3}} a^{3} + 1 = \frac{1}{3} {(\log_{\frac{1}{3}} a)}^{3} - 3 \log_{\frac{1}{3}} a + 1 \Rightarrow P = f (t) = \frac{t^{3}}{3} - 3 t + 1$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{3}}{3} - 3 t + 1$ trên đoạn [-1;2] ta có:

$f' (t) = t^{2} - 3; f' (t) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{2} = 3 \\ - 1 \leq t \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow t = \sqrt{3}$

Tính các giá trị $f (- 1) = \frac{11}{3}; f (2) = - \frac{7}{3}; f (\sqrt{3}) = 1 - 2 \sqrt{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của f(t) là $f (- 1) = \frac{11}{3}$ và giá trị nhỏ nhất của f(t) là $f (\sqrt{3}) = 1 - 2 \sqrt{3}$

Do đó $3 M + 5 m = 3 . \frac{11}{3} + 5 (1 - 2 \sqrt{3}) = 16 - 10 \sqrt{3} = - 1, 32$

Câu 47:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là điểm trên đường chéo CA’ sao cho $\vec{M C} = - 3 \vec{M A'}$ Tính tỉ số giữa thể tích $V_{1}$ của khối chóp M.ABCD và thể tích $V_{2}$ của khối lập phương?

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{3}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{4}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{9}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Do $\frac{M C}{A' C} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{d (N; (A B C))}{d (M; (A B C))} = \frac{3}{4}$

Ta có

$V_{M . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . d (M; (A B C D)) = \frac{1}{3} S_{A B C D} . \frac{3}{4} d (A; (A B C D)) = \frac{1}{4} V_{A B C D . A' B' C' D'} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$

Câu 48:

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S) có một đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là $h (h > 0)$ . Tính h để khối trụ (T) có giá trị lớn nhất

A. $h = 2 R \sqrt{3}$

B. $h = \frac{2 R \sqrt{3}}{3}$

C. $h = R \sqrt{3}$

D. $h = \frac{R \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ nội tiếp mặt cầu lần lượt là h, r

Ta có tâm mặt cầu là trung tâm của đường nối 2 tâm các đường tròn đáy của hình trụ

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là $R^{2} = r^{2} + \frac{h^{2}}{4}$

Thể tích khối trụ là $V = {πr}^{2} h = \frac{π}{4} (4 R^{2} - h^{2}) . h$

Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số nguyên dương, ta có

$(4 R^{2} - h^{2}) (4 R^{2} - h^{2}) 2 h^{2} \leq \frac{{(4 R^{2} - h^{2} + 4 R^{2} - h^{2} + 2 h^{2})}^{3}}{27}$

Nên $(4 R^{2} - h^{2}) . h^{2} \leq \frac{256 R^{6}}{27} \Rightarrow V \leq \frac{π}{4} (4 R^{2} - h^{2}) h \leq \frac{4 π \sqrt{3}}{9} R^{3}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $4 R^{2} - h^{2} = 2 h^{2} \Leftrightarrow h = \frac{2 R \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 49:

Kể từ năm 2017 giả sử mức lạm phát ở nước ta với chu kỳ 3 năm là 12%. Năm 2017 một ngôi nhà ở thành phố X có giá là 1 tỷ đồng. Một người ra trường đi làm vào ngày 1/1/2017 với mức lương khởi điểm là P triệu đồng/ 1 tháng và cứ sau 3 năm lại được tặng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng là 50% của lương. Với P bằng bao nhiêu thì sau đúng 21 năm đi làm anh ta mua được nhà ở thành phố X, biết rằng mức lạm phát và mức tăng lương không đổi. (kết quả quy tròn đến chữ số hàng đơn vị)

A. 9 588 833 đồng

B. 11 558 431 đồng

C. 13 472 722 đồng

D. 12 945 443 đồng

Xem đáp án

Đáp án B

Gía trị ngôi nhà sau 21 năm là $T_{n} = 1 . {(1 + 12 %)}^{6} . 10^{9}$ đồng

Lương của người đó sau 3 năm đầu là 36P triệu đồng và số tiền tiết kiệm được là 18.P triệu đồng

Lương của người đó sau 3 năm tiếp theo là

$36 [(1 + 10 %) + 10 % . P (1 + 10 %)] = 36 . P {(1 + 10 %)}^{2}$ triệu đồng và số tiền tiết kiệm được là $18 P . {(1 + 10 %)}^{2}$ triệu đồng

Khi đó, sau 21 năm số tiền người đó tiết kiệm được là $18 P . {(1 + 10 %)}^{6}$ triệu đồng cũng chính là số tiền dùng để mua nhà. Vậy $18 . P (1 + 1, 1 + 1, 1^{2} + . . . + 1, 1^{6}) = T_{n} \Rightarrow P = 11 558 431$ đồng

Câu 50:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là

A. $V = \frac{6}{7} {πa}^{3}$

B. $V = \frac{3}{2} {πa}^{3}$

C. $V = \frac{4}{3} {πa}^{3}$

D. $V = \frac{7}{6} {πa}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi P là hình chiếu của N xuống BK

Khi quay tứ giác ANPB quanh trục BC ta được khối trụ có thể tích $V_{1} = {πAB}^{2} . BP = \frac{2 a^{3} π}{3}$

Lại có $B P = \frac{2}{3} a; N P = a$ suy ra $P K = \frac{N P^{2}}{B P} = \frac{3 a}{2}$

Khi quay tam giác NKP quanh trục BC ta được khối nón có thể tích do đó $V = V_{1} + V_{2} = \frac{7}{6} {πa}^{3}$

Câu 51:

Cho hình cầu (O;R) hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cách đều O, đồng thời cắt khối cầu thành ba phần sao cho thể tích phần nằm giữa hai mặt phẳng bằng $\frac{13}{27}$ thể tích khối cầu .Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).

A. $\frac{3 R}{2}$

B. $\frac{R}{3}$

C. $\frac{2 R}{3}$

D. $\frac{R}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có công thức chỏm hình cầu bán kính R và chiều cao h là: $V = {πh}^{2} (R - \frac{h}{3})$

Vò 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cách đều O nên thể tích phần giữa và thể tích khối cầu được tính là $\frac{V_{1}}{V_{c}} = \frac{\frac{4 {πR}^{3}}{3} - 2 {πh}^{2} (R - \frac{h}{3})}{\frac{4 {πR}^{3}}{3}} = \frac{13}{27} \Leftrightarrow \frac{14}{27} = \frac{3 h^{2}}{2 R^{2}} - \frac{h^{3}}{2 R^{3}} \Leftrightarrow \frac{h}{R} = \frac{2}{3} v ì 0 < h < R$

Khoảng cách giữa (P) và (Q) là $2 R - 2 h = \frac{2 R}{3}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 1

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan