50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 - đề 1

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥ABCD và SA = a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

A. $a^{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $\frac{1}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Có $V = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} a^{2} . a = \frac{a^{3}}{3}$

Chọn đáp án D.

Câu 2:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. Mọi hình chóp có đáy là hình thoi luôn có mặt cầu ngoại tiếp

B. Mọi hình chóp có đáy là hình thang vuông luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Mọi hình chóp có đáy là hình bình hành luôn có mặt cầu ngoại tiếp

D. Mọi hình chóp có đáy là hình thang cân luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

Xem đáp án

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy là một đa giác nội tiếp. Chính vì vậy chọn đáp án D. Vì đáy là hình thang cân nội tiếp đường tròn.

Chọn đáp án D.

Câu 3:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. $(1; + \infty)$

B. (-1;1)

C. (0;1)

D. $(- \infty; - 1)$

Xem đáp án

Hàm số nghịch biến khi đồ thị đi xuống, tức trên các khoảng $(- 1; 0); (1; + \infty)$

Đối chiếu các đáp án chọn A.

Chọn đáp án A.

Câu 4:

Tập nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x + 4} = 16$ là

A. {0;1}

B. {1}

C. {0;2}

D. {0}

Xem đáp án

Phương trình tương đương với:

$2^{x^{2} - x + 4} = 16 \Leftrightarrow x^{2} - x + 4 = 4 \Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1 .$

Chọn đáp án A.

Câu 5:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1, \int_{1}^{4} f (x) d x = 3$ khi đó $\int_{0}^{4} f (x) d x$ bằng

A. 3

B. 4

C. 2.

D. 1

Xem đáp án

Có

=1+3=4

Chọn đáp án B.

Câu 6:

Các điểm A và B trong hình vẽ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z_{1}, z_{2}$ Giá trị của $|z_{1} - z_{2}|$ bằng

A. $\sqrt{10}$

B. 2

C. 4

D. $3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Có $z_{1} = - 2 + i; z_{2} = 1 + 2 i \Rightarrow | z_{1} - z_{2} | = |- 3 - i| = \sqrt{10} .$

Chọn đáp án A.

Câu 7:

Cho bốn đường cong được kí hiệu là (C₁), C₂), (C₃) và (C₄) như hình vẽ bên. Hàm số $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ có đồ thị là đường cong

A. (C₃)

B. (C₄).

C. (C₂)

D. (C₁).

Xem đáp án

Hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ là hàm nghịch biến và đồ thị của nó đi qua điểm toạ độ (1;0).

Chọn đáp án B.

Câu 8:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2;4]. Giá trị của m+ M bằng

A. 4

B. 2

C. 10

D. 0

Xem đáp án

Theo đồ thị ta có

$\Rightarrow M + m = 2$

Chọn đáp án B.

Câu 9:

Các điểm A và B trong hình vẽ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z_{1}, z_{2}$ Số phức $z_{1} + z_{2}$ là

A. 2-i

B. -1+3i

C. 2+i

D. 1+3i

Xem đáp án

Có $x z_{1} + z_{2} = (1 + 2 i) + (- 2 + i) = - 1 + 3 i$

Chọn đáp án B.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x-y+2z+1=0 Một véctơ chỉ phương của d có tọa độ là

A. (1;-1;2)

B. (1;1;-2)

C. (1;1;2)

D. (-1;-1;2).

Xem đáp án

Véctơ chỉ phương của d có giá song song với véctơ pháp tuyến của

$(P), \overset{⇀}{n_{P}} = (1; - 1; 2)$

Đối chiếu các đáp án chọn A.

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng toạ độ (Ozx) có phương trình là

A. y = 0

B. x+y=0

C. z = 0

D. x = 0

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 12:

Cho cấp số nhân (u_n) có hai số hạng đầu tiên là u₁ = −2 và u₂ = 8. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. 16

B. 4

C. -4

D. -16

Xem đáp án

Có $q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = - 4$

Chọn đáp án C.

Câu 13:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}$ là

A. $x^{2} - \tan x + C$

B. $x^{2} + \tan x + C$

C. $x^{2} + c o t x + C$

D. $x^{2} - c o t x + C$

Xem đáp án

Có $\int f (x) d x = x^{2} - c o t x + C$

Chọn đáp án D.

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ Bán kính của (S) bằng

A. 6

B. 9

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Câu 15:

Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0.

B. Hàm số đạt cực đại tại x = -1.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.

Xem đáp án

Dựa vào BBT ta thấy đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x = 1 \Rightarrow x_{C D} = 1$

Chọn đáp án C.

Câu 16:

Tích giá trị tất cả các nghiệm của phương trình $\log^{2} x^{3} - 20 \log \sqrt{x} + 1 = 0$ bằng

A. 10

B. $10 \sqrt[9]{10}$

C. 1

D. $\sqrt[10]{10}$

Xem đáp án

Đk: x > 0

Có

Chọn đáp án B.

Câu 17:

Đồ thị của hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - 4}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

TXĐ: $D = (- 1; + \infty) \ \{2\}$

Đồ thị hàm số có 1 TCN là y = 0 khi x → +∞.

Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là x = 2.

Chọn đáp án C.

Câu 18:

Hàm số $y = \sqrt{10 - x^{2}}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;1)

B. (0;5)

C. (5;10)

D. $(5; + \infty)$

Xem đáp án

ĐK: $10 x - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 10 .$ Xét hàm số

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (5;10).

Chọn đáp án C.

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S. ABCD bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{6} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3} a^{3}$

C. $\frac{1}{3} a^{3}$

D. $\frac{2}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Có đường cao của hình chóp đồng thời là đường cao tam giác đều

$S A B \Rightarrow h = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow V = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} . a . 2 a}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Chọn đáp án B.

Câu 20:

Hình nón (N) có thiết diện qua trục là tam giác đều có cạnh bằng 2. Diện tích toàn phần của (N) bằng

A. $4 π$

B. $2 π$

C. $3 π$

D. $5 π$

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án C.

Câu 21:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tất cả các cạnh bằng $\sqrt{2} a$ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

A. $\frac{\sqrt{6}}{2} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{6}}{6} a^{3}$

Xem đáp án

Có $V = S . h = \frac{\sqrt{3}}{4} {(\sqrt{2} a)}^{2} \times \sqrt{2} a = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{3}$

Chọn đáp án A.

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ và $(S') : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. (S ) và (S′) chỉ có một điểm chung

B. (S ) và (S′) có hai điểm chung

C. (S ) và (S′) có vô số điểm chung

D. (S ) và (S′) không có điểm chung.

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0), R₁ = 1. Mặt cầu (S’) có tâm I(2;-2;1), R₂ = 2.

Ta có $O I = R_{1} + R_{2} = 3 \Rightarrow (S), (S')$ tiếp xúc ngoài và có đúng 1 điểm chung.

Chọn đáp án A.

Câu 23:

Hàm số $f (x) = \ln (e^{x} + m)$ có $f' (- \ln 2) = \frac{3}{2}$ .Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m \in (- 2; 0)$

B. $m \in (- 5; - 2)$

C. $m \in (1; 3)$

D. $m \in (0; 1)$

Xem đáp án

Có

$f' (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + m} \Rightarrow f' (- \ln 2) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{e^{- \ln 2}}{e^{- \ln 2} + m} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{6} .$

Chọn đáp án A.

Câu 24:

Hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của $\int_{- 2}^{2} f (x) d x$ bằng

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Có

$\int_{- 2}^{2} f (x) d x = \int_{- 2}^{- 1} f (x) d x + \int_{- 1}^{2} f (x) d x = - S_{1} + S_{2} = - \frac{1}{2} \times 1 \times 1 + \frac{3 + 2}{2} \times 1 = 2$

Chọn đáp án D.

Câu 25:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Quay hình chữ nhật đã cho quanh AD và AB ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là V₁, V₂. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $V_{1} = 4 V_{2}$

B. $V_{2} = 4 V_{1}$

C. $V_{2} = 2 V_{1}$

D. $V_{1} = 2 V_{2}$

Xem đáp án

Quay quanh AD thu được trụ có r = AB, h = AD; quay quanh AB thu được trụ có r = AD, h = AB.

Vậy $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{π A B^{2} . A D}{π A D^{2} . A B} = \frac{A B}{A D} = 2$

Chọn đáp án D.

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(1; 2; 3), B(5; 0; -1), C(4; 3; 6) và D(a;b;c) Giá trị của a+b+c bằng

A. 3

B. 11

C. 15

D. 5

Xem đáp án

Có ABCD là hình bình hành nên $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{B C} = (- 1; 3; 7) \Rightarrow D (0; 5; 10)$

Chọn đáp án C.

Câu 27:

Một người có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, bề ngoài chúng giống hệt nhau và chỉ có đúng hai chiếc mở được cửa nhà. Người đó thử ngẫu nhiên từng chìa (không mở được thì bỏ ra). Xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ ba bằng

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{2}{7}$

C. $\frac{14}{81}$

D. $\frac{7}{81}$

Xem đáp án

Số cách sử dụng chìa khoá đến lần thứ ba là $n (ω) = 9 \times 7 \times 8$

Số cách mở được cửa ở lần thứ ba là $7 \times 3 \times 6$

Xác suất cần tính bằng $\frac{7 \times 6 \times 2}{9 \times 8 \times 7} = \frac{1}{6}$

Chọn đáp án A.

Câu 28:

Cho cấp số cộng (u_n) có d = -2 và S₈ = 72. Số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng

A. $- \frac{1}{16}$

B. $\frac{1}{16}$

C. 16

D. -16.

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án C.

Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để phương trình 2f(x)+m=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. 8

B. 7

C. 13

D. 11

Xem đáp án

Phương trình tương đương với: $f (x) = - \frac{m}{2}$ phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt $- 4 < - \frac{m}{2} < 2 \Leftrightarrow - 4 < m < 8$ Các giá trị nguyên dương là $m \in \{1, 2 . . . 7\}$

Chọn đáp án B.

Câu 30:

Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3 - x^{2}$ và $y = x^{2} - 2 x - 1$ có diện tích bằng

A. 6

B. 3

C. 9

D. 1

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm:

Chọn đáp án C.

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho hình vuông ABCD có A(8; 0; 3),C(0; -4; -5) và $D (a; b; c) (a; b; c \in ℤ)$ thuộc mặt phẳng (Oyz). Giá trị a + b + c bằng

A. -3

B. -2

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Có I(4;-2;1) là trung điểm AC. Ta có hệ điều kiện:

Đối chiếu điều kiện $a; b; c \in ℤ \Rightarrow a = 0, b = 2, c = 1$ và a+b+c=0+2+1=3

Chọn đáp án D.

Câu 32:

Cho hàm số $y = x^{5} - m x^{4} + (m^{3} - 3 m^{2} - 4 m + 12) x^{3} + 1$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Ta có

+) Nếu $y^{(3)} (0) # 0$ hàm số không đạt cực trị tại x = 0 (loại).

+) Nếu

Khi đó thử lại trực tiếp:

+) Với $m = - 2 \Rightarrow y' = 5 x^{4} + 8 x^{3} (5 x + 8)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0 (loại);

+) Với $m = 2 \Rightarrow y' = 5 x^{4} - 8 x^{3} = x^{3} (5 x - 8)$ đổi dấu từ dương qua âm khi qua x = 0 (thỏa mãn);

+) Với $m = 3 \Rightarrow y' = 5 x^{4} - 12 x^{3} = x^{3} (5 x - 12)$ đổi dấu từ dương qua âm khi qua x = 0 thỏa mãn.

Vậy m = 2; m = 3.

Chọn đáp án C.

Câu 33:

Trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} x \cos^{2} x}$ là

A. tanx-cotx+C

B. x+C

C. -tanx+cotx+C

D. tanx+cotx+C

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án A.

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC), cạnh bên SC tạo với (ABC) một góc 60⁰ và H là trung điểm của AB. Biết rằng khoảng cách từ H đến (SBC) bằng $\sqrt{15} a$ Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $750 a^{3}$

B. $250 a^{3}$

C. $400 a^{3}$

D. $500 a^{3}$

Xem đáp án

Gọi E là trung điểm BC, F là chân đường cao của A trên SE.

Có $(S C, (A B C)) = ∠ S C A = 60 ° \Rightarrow S A = A B \sqrt{3}$

Có

Tam giác SAE vuông nên

Vậy $V = \frac{A B^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} . S A}{3} = 250 a^{3}$

Chọn đáp án B.

Câu 35:

Một chiếc hộp hình trụ với bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 10 cm. Một học sinh bỏ một miếng bìa hình vuông vào chiếc hộp đó và thấy hai cạnh đối diện của miếng bìa lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy hộp và miếng bìa không song song với trục của hộp. Hỏi diện tích của miếng bìa đó bằng bao nhiêu

A. $150 c m^{3}$

B. $250 c m^{3}$

C. $200 c m^{3}$

D. $300 c m^{3}$

Xem đáp án

Hộp hình trụ có R = h = 10. Gọi a là độ dài cạnh hình vuông (tấm bìa) đã cho. Gọi AB, CD lần lượt là cạnh hình vuông trên mặt đáy; cạnh trên mặt phía trên của hộp. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D xuống mặt đáy. Ta có $\{\begin{array}{l} E F = C D = A B \\ E F / / C D / / A B \end{array} \Rightarrow A E F B$ là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có bán kính R = 10.

Do đó

Mặt khác theo pitago có $B D^{2} = B F^{2} + F D^{2} \Leftrightarrow a^{2} = B F^{2} + h^{2} (2)$

Từ (1) và (2) có

Chọn đáp án B.

Câu 36:

Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để phương trình $\log_{3} (x - 3) - \log_{9} x^{2} = \log_{3} (m - 9)$ có nghiệm?

A. 9

B. 10

C. Vô số.

D. 0

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 3 \\ m > 0 \end{cases}$

Phương trình tương đương với:

Vì $0 < \frac{x - 3}{3} = 1 - \frac{3}{x} < 1, \forall x \in (3; + \infty)$ do đó phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow 0 < m - 9 < 1 \Leftrightarrow 9 < m < 10$ . Vì vậy không có số nguyên nào thoả mãn.

Chọn đáp án D.

Câu 37:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $2 |z + \bar{z}| + |z - \bar{z} - 2 i| = 8$ và $|z| = 2$ ?

A. 2

B. 0

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đặt z=a+bi ta có $|z| = 2 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 4 (1)$

Và

Biểu diễn (1), (2) trên cùng hệ trục toạ độ:

Chúng cắt nhau tại 4 điểm phân biệt, tức có 4 số phức thoả mãn.

Chọn đáp án C.

*Chú ý cách giải trên là nhanh nhất, các em có thể xét các trường hợp của trị tuyệt đối và giải hệ phương trình.

*Hình thoi trên hình vẽ được vẽ nhanh bằng cách đi tìm các đỉnh của nó, đó là giải các hệ phương trình

Chọn đáp án C.

Câu 38:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (−8;8) để hàm số $y = \frac{2 \sqrt{9 - x^{2}}}{\sqrt{9 - x^{2}} - m}$ đồng biến trên khoảng $(0; \sqrt{5})$ ?

A. 9

B. 7

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Ta có yêu cầu bài toán tương đương với:

Vậy có tất cả 7 số nguyên thoả mãn.

Chọn đáp án B.

Câu 39:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và BD bằng $\frac{2 \sqrt{3} a}{3}$ Thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng

A. $8 a^{3}$

B. $a^{3}$

C. $3 \sqrt{3} a^{3}$

D. $\frac{3 \sqrt{6}}{4} a^{3}$

Xem đáp án

Trên mặt đáy (ABCD) dựng hình bình hành AEBD như hinhd vẽ, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên AE, B’H.

Khi đó

Tam giác B’BK vuông nên

Chọn đáp án A.

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABC có $B C = \sqrt{2}$ và các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng

A. $45 °$

B. $60 °$

C. $30 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Ta có

Do đó

Chọn đáp án B.

Câu 41:

Cho hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đều có tọa độ nguyên?

A. 30

B. 12

C. 15

D. 24

Xem đáp án

Trước hết ta tìm số điểm có toạ độ nguyên thuộc (C), ta có

$y = \frac{3 x + 1}{x - 1} = \frac{3 (x - 1) + 4}{x - 1} = 3 + \frac{4}{x - 1}$

Do đó $x, y \in ℤ \Leftrightarrow x - 1 \in \{\pm 1; \pm 2; \pm 4\} \Rightarrow$ có tất cả có 6 điểm có toạ độ nguyên thuộc (C). Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 trong 6 điểm đã cho, vậy có tất cả đường thẳng thỏa mãn.

Chọn đáp án C.

Câu 42:

Trong không gian Oxy, mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;0), B(0;0;2) cắt tia Oy tại điể C sao cho thể tích khối chóp OABC bằng 2. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. S(-1;6;2)

B. R(-1;0;0)

C. M(1;1;-2)

D. N(1;-1;2)

Xem đáp án

Gọi $C (0; c; 0), c > 0$ ta có $\Leftrightarrow c = 6$

Vậy Đối chiếu các đáp án thấy $S (- 1; 6; 2) \in (A B C) .$

Chọn đáp án A.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

A. $\sqrt{5}$

B. $2 \sqrt{3}$

C. 2

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Ta có:

Kẻ

Chọn đáp án D.

Câu 44:

Cho parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và đường tròn (C) có bán kính bằng 1 tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm A duy nhất với (P). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), (C) và trục hoành(phần bôi đậm trong hình vẽ) bằng

A. $\frac{3 \sqrt{3} + 2 - π}{3}$

B. $\frac{29 \sqrt{3} - 9 π}{24}$

C. $\frac{9 \sqrt{3} + 9 - 4 π}{12}$

D. $\frac{27 \sqrt{3} - 8 π}{24}$

Xem đáp án

Ta cần tìm phương trình của đường tròn:

Vì đường tròn có bán kính bằng 1 và tiếp xúc với trục hoành nên tâm của đường tròn là I(t;1), (t > 0) phương trình của đường tròn là ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ .

Theo giả thiết đường tròn (C) có chung một điểm AA duy nhất với (P). nên tiếp tuyến t_A tại A của (P) cũng là tiếp tuyến của (C).

Xét điểm $A (a; \frac{1}{2}; a^{2}),$

Ta có hệ điều kiện:

$\{\begin{cases} A \in (C) \\ I A ⊥ t_{A} \end{cases}$

Vậy phương trình đường tròn

Diện tích hình phẳng cần tính là

Chọn đáp án D.

Câu 45:

Ông A đi làm lúc 7 giờ và đến cơ quan lúc 7 giờ 12 phút bằng xe gắn máy, trên đường đến cơ quan ông A gặp một người băng qua đường nên ông phải giảm tốc độ để đảm bảo an toàn rồi sau đó lại từ từ tăng tốc độ để đến cơ quan làm việc. Hỏi quãng đường kể từ lúc ông A giảm tốc độ để tránh tai nạn cho đến khi tới cơ quan dài bao nhiêu mét ? (Đồ thị dưới đây mô tả vận tốc chuyển động của ông A theo thời gian khi đến cơ quan)

A. 3600

B. 3200

C. 3500

D. 3900

Xem đáp án

Có 12 phút bằng 0,2 giờ. Chọn gốc thời gian từ lúc 7h sang t = 0. Lúc ông A bắt đầu giảm tốc độ là 7h05 phút $(t = \frac{5}{60})$ Ta có quãng đường kể từ lúc giảm tốc đến lúc đến cơ quan là $s = \int_{\frac{5}{60}}^{\frac{12}{60}} v (t) d t$ chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành; đường cong v(t) và hai đường thẳng $t = \frac{5}{60}; t = \frac{12}{60}$ . Diện tích hình phẳng trên được tính bằng cách chia nhỏ thành các hình đã biết có

c

Chọn đáp án D.

*Chú ý các em có thể viết phương trình vận tốc xe ông A đi, tuy nhiên sẽ dài vì phải chia nhỏ v(t) theo từng khoảng thời gian.

Chọn đáp án D.

Câu 46:

Có 12 bạn học sinh trong đó có đúng một bạn tên A và đúng một bạn tên B. Xếp ngẫu nhiên 12 học sinh vào một bàn tròn và một bàn dài mỗi bàn 6 học sinh. Xác suất để hai bạn A và B ngồi cùng bàn và cạnh nhau bằng

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{10}$

D. $\frac{1}{12}$

Xem đáp án

Tìm số cách xếp ngẫu nhiên:

Chọn ra 6 trong 12 học sinh rồi xếp vào bàn dài có cách xếp;

6 học sinh còn lại xếp vào bàn tròn có (6-1)!=5! cách xếp.

Vậy có tất cả cách xếp ngẫu nhiên.

Ta tìm số cách xếp mà A, B cùng ngồi 1 bàn và ngồi cạnh nhau:

TH1: A, B ngồi cùng bàn dài và cạnh nhau có cách;

TH2: A, B ngồi cùng bàn tròn và cạnh nhau có cách.

Vậy có tất cả cách xếp thoả mãn.

Xác suất cần tính bằng

Chọn đáp án B.

*Chú ý số cách xếp n học sinh vào 1 bàn tròn bằng (n−1)! cách.

Chọn đáp án B.

Câu 47:

Có bao nhiêu m nguyên để phương trình $m . 2^{x + 1} + m^{2} = 16^{x} - 6 . 8^{x} + 2 . 4^{x + 1}$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đặt $t = 2^{x} (t > 0)$ phương trình trở thành:

Với mỗi t>0 phương trình có một nghiệm $x = \log_{2} t$ . Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình cuối có đúng 2 nghiệm phân biệt t > 0.

Vẽ hai parabol $(P_{1}) : y = x^{2} - 4 x; (P_{2}) : y = 2 x - x^{2}$ trên cùng hệ trục toạ độ. Yêu cầu bài toán tương đương với đường thẳng y = m cắt hai đường thẳng y=m tại đúng 2 điểm có hoành độ dương

Vậy có 4 số nguyên thoả mãn.

Chọn đáp án A.

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số $y = f (3 x + 1) - x^{3} + 3 x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(\frac{3}{4}; 1)$

B. $(\frac{2}{3}; 1)$

C. $(\frac{1}{4}; \frac{1}{3})$

D. $(- 1; - \frac{1}{3})$

Xem đáp án

Ta có y'>0

Bất phương trình không thể giải trực tiếp, ta sẽ chọn x thoả mãn:

Đối chiếu đáp án chọn C.

Chọn đáp án C.

Câu 49:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 25$ và điểm A(2;2;1). Xét các điểm B, C, D thay đổi thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc nhau. Khoảng cách từ tâm của (S) đến mặt phẳng (BCD) có giá trị lớn nhất bằng

A. $\frac{10}{3}$

B. 1

C. $\frac{5}{6}$

D. $\frac{5}{3}$

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;-3), R = 5. Nhận thấy $A (2; 2; 1) \in S$ . Do đó (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ta có

Vì vậy

Chọn đáp án D.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $I G ⊥ (B C D) \Leftrightarrow (B C D) : 3 x + 4 z + 20 = 0$ .

Chọn đáp án D.

Câu 50:

Cho hàm số $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} - 12$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm M có tọa độ nguyên thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khác M?