50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 1)

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

y = a x^{4} + b x^{2} + c

A. $a > 0, b > 0, c > 0$ .

D. $a < 0, b < 0, c > 0$ .

C. $a > 0, b < 0, c > 0$ .

D. $a < 0, b < 0, c > 0$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Từ hình dáng đồ thị hàm số ta có $a > 0$ .

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c > 0$ .

Hàm số có 3 cực trị nên $a . b < 0$ mà $a > 0 \Rightarrow b < 0$ .

Câu 3:

Dãy số nào là cấp số nhân lùi vô hạn trong các dãy số sau đây?

A.

u_{n} = \frac{1}{n} (n \in ℕ^{*})

.

B. $\{\begin{cases} u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} \\ u_{1} = 100 (n \in ℕ^{*}) \end{cases}$ .

C. $u_{n} = \frac{1}{2} n (n \in ℕ^{*})$ .

D. $u_{n} = 2 n (n \in ℕ^{*})$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Để dãy số là cấp số nhân lùi vô hạn thì nó phải là cấp số nhân có công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$ .

Ta thấy

\{\begin{cases} u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} \\ u_{1} = 100 (n \in ℕ^{*}) \end{cases}

có

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow

Đây là cấp số nhân.

Câu 4:

Phương trình

2^{x} = 4

có nghiệm là:

A. $x = 1$ .

B. $x = 2$ .

C. $x = 3$ .

D. $x = 4$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

2^{x} = 4 = 2^{2} \Leftrightarrow x = 2

.

Câu 5:

Kết quả của

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x

bằng

A. $I = 1$ .

B. $I = 2$ .

C. $I = 0$ .

D. $I = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = - \cos x |_{0}^{\frac{π}{2}} = - (0 - 1) = 1

.

Câu 6:

Số phức

z = \frac{1}{2 - i}

có modul là:

A. 3

B. $\frac{\sqrt{7}}{5}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $z = \frac{1}{2 - i} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} i \Rightarrow |z| = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} + {(\frac{1}{5})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Câu 7:

Thể tích khối lăng trụ khi biết diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là:

A. $S . h$

B. $\frac{1}{3} S . h$

C. $\frac{1}{6} S . h$

D. $3 S . h$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $V = S . h$ .

Câu 8:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ, hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ, hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây (ảnh 1)

A. $(0; 2)$ .

B. $(1; 2)$ .

C. $(- \infty; 2)$ .

D. $(0; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$ .

Câu 9:

Cho hình nón có đường sinh bằng 3, diện tích xung quanh bằng $12 π$ . Bán kính đáy của hình nón là:

A. 4

B. 2

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có công thức

S_{x q} = π . r . l \Rightarrow r = \frac{12 π}{3. π} = 4

.

Câu 10:

Hàm số

y = \log_{2} (x + 3)

xác định khi:

A. $x < - 3$

B. $x \leq - 3$

C. $x > - 3$

D. $x \geq - 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số

y = \log_{2} (x + 3)

xác định

\Leftrightarrow x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - 3

.

Câu 11:

Nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2^{x}

Tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng

A. $\frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

B. $2^{x} . \ln 2 + C$

C. $\frac{\ln 2}{2^{x}} + C$

D. $x {.2}^{x} . \ln 2 + C$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có công thức

\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \Rightarrow \int 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C

.

Câu 12:

d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 2 - t \end{cases}

A. $\vec{u_{d}} = (1; 2; - 1)$

B. $\vec{u_{d}} = (1; 0; 2)$

C. $\vec{u_{d}} = (1; 2; 1)$

D. $\vec{u_{d}} = (1; 2; 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u_{d}} = (1; 2; - 1)$ .

Câu 13:

Hệ số của $x^{7}$ trong khai triển của ${(3 - x)}^{9}$ là:

A. $C_{9}^{7}$

B. $9 C_{9}^{7}$

C $- 9 C_{9}^{7}$

D. $- C_{9}^{7}$

Xem đáp án

Đáp án C

${(3 - x)}^{9} = \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} 3^{9 - k} {(- x)}^{k} \Rightarrow k = 7 \Rightarrow C_{9}^{7} {.3}^{2} {(- 1)}^{7} = - 9. C_{9}^{7}$

là hệ số cần tìm.

Câu 14:

Tọa độ tâm

A

của mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0

A. $A (1; 2; - 1)$

B. $A (- 1; 2; 1)$

C. $A (- 1; 2; - 1)$

D. $A (1; - 2; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3^{2}$ .

Vậy mặt cầu $(S)$ có tâm $A (1; - 2; - 1)$ .

Câu 15:

Tỉ số diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 2 và diện tích toàn phần của hình lập phương đó là:

A. $\frac{π}{6}$

B. $\frac{π}{4}$

C. $\frac{π}{8}$

D. $\frac{π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Hình lập phương cạnh bằng 2 có diện tích toàn phần là $2^{2} .6 = 24$ .

Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh bằng 2 có bán kính bằng 1 $\Rightarrow S = 4 π r^{2} = 4 π$ .

Vậy tỉ số là: $\frac{4 π}{24} = \frac{π}{6}$ .

Câu 16:

Nếu $\log 3 = a$ thì $\log 9000$ bằng:

A. $3 + 2 a$

B. $a^{2}$

C. $a^{2} + 3$

D. $3 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Cách 1: Ta có $\log 9000 = \log ({9.10}^{3}) = \log 3^{2} + \log 10^{3} = 2 \log 3 + 3 = 2 a + 3$ .

Cách 2: Sử dụng Casio.

Gán giá trị $\log 3 \overset{S H I F T + S T O}{\to} A; \log 9000 \overset{S H I F T + S T O}{\to} B$ . Sau đó, lấy giá trị của $B$ trừ lần lượt các biểu thức của phương án, phép tính nào ra kết quả bằng 0 thì là phương án đúng.

Câu 17:

có bảng biến thiên như sau:

y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

A. $y = x^{3} - 3 x$

B. $y = x^{3} - 3 x + 2$

C. $y = x^{3} - \frac{3}{2} x + 2$

D. $y = - x^{3} + 3 x$

Xem đáp án

Đáp án A

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 1$ và $x = - 1 \Rightarrow$ loại phương án C.

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm $(- 1; 2)$ và $(1; - 2) \Rightarrow$ chỉ có hàm số $y = x^{3} - 3 x$ thỏa mãn.

Câu 18:

Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

{(\frac{1}{3})}^{x - 1} \geq {(\frac{1}{9})}^{2 x + 3}

thuộc

[- 5; 5]

. Hình chiếu vuông góc của

A. 10

B. 11

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: ${(\frac{1}{3})}^{x - 1} \geq {(\frac{1}{9})}^{2 x + 3} \Leftrightarrow {(\frac{1}{3})}^{x - 1} \geq {(\frac{1}{3})}^{4 x + 6} \Leftrightarrow x - 1 \leq 4 x + 6 \Leftrightarrow x \geq - \frac{7}{3}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

S = \{0; \pm 1; \pm 2; 3; 4; 5\}

.

Câu 19:

Cho

M (1; 1; 1), N (3; - 2; 5)

và mặt phẳng

(P) : x + y - 2 z - 6 = 0

M N

lên

(P)

có phương trình là:

A. $\frac{x - 2}{- 7} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{2}$

B. $\frac{x - 2}{7} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{- 2}$

C. $\frac{x - 2}{7} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{2}$

D. $\frac{x - 2}{7} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M', N'$ lần lượt là hình chiếu của $M, N$ xuống $(P)$ .

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua $M (1; 1; 1)$ và nhận $\vec{n_{p}} = (1; 1; - 2)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - 2 t \end{cases} \Rightarrow M' = d_{1} \cap (P) \Rightarrow M' (2; 2; - 1)$

Tương tự ta có $N' (\frac{11}{2}; \frac{1}{2}; 0) \Rightarrow \vec{M N} (\frac{7}{2}; - \frac{3}{2}; 1) = \frac{1}{2} (7; - 3; 2)$ .

Phương trình hình chiếu cần tìm là phương trình đường thẳng $M' N' : \frac{x - 2}{7} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 1}{2}$ .

Câu 20:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 1

:

A. $y = x - 1$

B. $y = x + 1$

C. $y = - x + 1$

D. $y = - x - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = - 6 x^{2} + 6 x$ .

Cách 1: $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 1 \\ x = 1 \Rightarrow y = 2 \end{array}$

Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là $A (0; 1), B (1; 2)$ .

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng $A B$ có phương trình $y = x + 1$ .

Cách 2: Ta có:

$y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} (x - \frac{1}{2}) (- 6 x^{2} + 6 x) + x + 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} (x - \frac{1}{2}) y' + x + 1$ $\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: $y = x + 1$ .

Câu 21:

Để phương trình $\log_{\sqrt{3}}^{2} x - m \log_{\sqrt{3}} x + 1 = 0$ có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1 thì $m$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau đây?

A. $m = 2$ .

B. Không tồn tại m .

C. $m = - 2$ .

D. $m = \pm 2$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện $x > 0$ .

Phương trình $\log_{\sqrt{3}}^{2} x - m \log_{\sqrt{3}} x + 1 = 0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ Phương trình có nghiệm kép hay $Δ = m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$ .

+ Với $m = 2 \Rightarrow \log_{\sqrt{3}}^{2} x - 2 \log_{\sqrt{3}} x + 1 = 0 \Leftrightarrow \log_{\sqrt{3}} x = 1 \Leftrightarrow x = \sqrt{3} > 1$ (loại)

+ Với $m = - 2 \Rightarrow \log_{\sqrt{3}}^{2} x + 2 \log_{\sqrt{3}} x + 1 = 0 \Leftrightarrow \log_{\sqrt{3}} x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$ (thỏa mãn).

Vậy với $m = - 2$ phương trình có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1.

Câu 22:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $f (x) < 0, \forall x \in ℝ$ . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f (x), y = 0, x = - 1$ và $x = 1$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $S = \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} |f (x)| d x$

B. $S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x$

C. $S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x$

D. $S = |\int_{- 1}^{0} f (x) d x| + \int_{0}^{1} f (x) d x$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có diện tích hình phẳng cần tìm được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ, y = 0, x = - 1$ và $x = 1$ là $S = \int_{- 1}^{1} |f (x)| d x = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x$ (vì $f (x) < 0, \forall x \in ℝ$ ).

Câu 23:

Cho số phức

z

thỏa mãn

(2 + i) z = 4 - 3 i

. Phần thực của số phức

w = i z + 2 \bar{z}

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\begin{array}{l} z = \frac{4 - 3 i}{2 + i} = 1 - 2 i \Rightarrow \bar{z} = 1 + 2 i \\ w = i z + 2 \bar{z} = i (1 - 2 i) + 2 (1 + 2 i) = 4 + 5 i \end{array}$

Vậy phần thực của số phức $w$ là 4.

Câu 24:

y = - x^{4} + 1 (C)

và Parabol

(P) : y = x^{2} - 1

. Số giao điểm của

(C)

(P)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm: $- x^{4} + 1 = x^{2} - 1 \Leftrightarrow - x^{4} - x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 1 \\ x^{2} = - 2 \end{array} \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

$\Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow$ Đồ thị $(C)$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm.

Câu 25:

|z - 1 + i| = 1

A. Parabol $y = x^{2}$ .

B. Đường thẳng $x = 1$ .

C. Đường tròn tâm $I (1; - 1)$ , bán kính $R = 1$ .

D. Đường tròn tâm $I (- 1; 0)$ , bán kính $R = 1$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ .

$|x + y i - 1 + i| = 1 \Leftrightarrow |(x - 1) + i (y + 1)| = 1 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ .

Đây là đường tròn tâm $I (1; - 1)$ bán kính $R = 1$ .

Câu 26:

Cho khối chóp

S A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh

a

. Hai mặt phẳng

(S A B)

cùng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ

(S A D)

S

đến mặt phẳng

(A B C D)

là

a

. Thể tích khối chóp

S A B C D

Đồ thị hàm số đã cho có số đường tiệm cận là:

A. $V_{S A B C D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{S A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $V_{S A B C D} = a^{3}$

D. $V_{S A B C D} = \frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A D) ⊥ (A B C D) \end{cases}$ và $(S A B) \cap (S A D) = S A$ . $\Rightarrow S A ⊥ (A B C D)$ .

Khoảng cách từ $S$ tới mặt phẳng $(A B C D) = S A = a$ .

Ta có: $S_{A B C D} = a^{2} \Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . a^{2} = \frac{a^{3}}{3}$ .

Câu 27:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Từ bảng biến thiên ta thấy:

+ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

+ $\underset{x \to 0^{+}}{\lim y} = + \infty; \underset{x \to 1^{+}}{\lim y} = - \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là $x = 0$ và $x = 1$ .

Câu 28:

Cho hai mặt phẳng

(α) : x + 5 y - 2 z + 1 = 0, (β) : 2 x - y + z + 4 = 0

. Gọi

φ

là góc giữa hai mặt phẳng

(α)

(β)

thì giá trị đúng của

\cos φ

Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là những tam giác đều. Cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp là:

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{5}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{n_{α}} = (1; 5; - 2)$ và $\vec{n_{β}} = (2; - 1; 1)$ .

$\cos ((α); (β)) = \frac{|1.2 - 5.1 - 2.1|}{\sqrt{30} . \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{6}$ .

Câu 29:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số chia hết cho 2?

A. 1149

B. 1029

C. 574

D. 2058

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi số cần tìm là $\bar{a b c d}$ .

Vì $\bar{a b c d}$ chia hết cho 2 suy ra $d = \{2; 4; 6\}$ .

Với $d = \{2; 4; 6\}$ , suy ra có 7 cách chọn $a$ , 7 cách chọn $b$ , 7 cách chọn $c$ .

Khi đó, có $3 \times 7 \times 7 \times 7 = 1029$ số cần tìm.

Vậy có 1029 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều.

$\Rightarrow$ Tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $a$ .

Gọi $A C \cap B D = O$ , kẻ $O I ⊥ C D (I \in C D)$ .

Ta có $\{\begin{cases} C D ⊥ O I \\ C D ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S O I) \Rightarrow C D ⊥ S I$ .

$\Rightarrow$ Góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp là $\hat{S I O} = α$ .

Ta có: $O I = \frac{a}{2}; S I = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos α = \frac{O I}{S I} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Câu 31:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x (C)$ tại điểm có hệ số góc nhỏ nhất là:

A. $y = 3 x$

B. $y = 3 x + 3$

C. $y = 3 x - 3$

D. $y = 6 x - 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = 3 x^{2} + 3 \geq 3$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = 0$

$\Rightarrow$ Hệ số góc nhỏ nhất của $(C)$ là 3.

Tại $x = 0 \Rightarrow y = 0$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến của

(C)

tại điểm có hệ số góc nhỏ nhất là

y = 3. (x - 0) + 0 = 3 x

.

Câu 32:

Cho nguyên hàm $I = \int x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$ . Nếu đặt $x = 2 \sin t$ với $t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thì

A. $I = 2 t + \frac{\cos 4 t}{2} + C$

B. $I = 2 t + \frac{\sin 8 t}{4} + C$

C. $I = 2 t - \frac{\cos 4 t}{2} + C$

D. $I = 2 t - \frac{\sin 4 t}{2} + C$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $x = 2 \sin t$ với $t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] \Rightarrow d x = 2 \cos t d t$ .

$\Rightarrow I = 16 \int \sin^{2} t \cos^{2} t d t = 4 \int \sin^{2} 2 t d t = 2 \int (1 - \cos 4 t) d t = 2 t - \frac{\sin 4 t}{2} + C$ .

Câu 33:

Cho hàm $m$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |f (x) + m|$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng 4?

Cho hàm m có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số y = trị tuyệt đối của f(x) + m trên đoạn 0;2 bằng 4? (ảnh 1)

A. 4

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $y = g (x) = f (x) + m$ .

Ta có: $\begin{array}{l} \{\begin{cases} \min_{[0; 2]} f (x) = - 2 \\ \max_{[0; 2]} f (x) = 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \min_{[0; 2]} g (x) = m - 2 \\ \max_{[0; 2]} g (x) = m + 2 \end{cases} \\ \Rightarrow \max_{[0; 2]} |g (x)| = \max \{|m + 2|; |m - 2|\} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} |m + 2| = 4 \\ |m + 2| > |m - 2| \end{cases} \\ \{\begin{cases} |m - 2| = 4 \\ |m - 2| > |m + 2| \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow m = \pm 2 \end{array}$

Câu 34:

Có một số lượng vi khuẩn đang phát triển ở góc bồn rửa chén trong nhà bếp của bạn. Bạn sử dụng một chất tẩy bồn rửa chén và đã có 99% vi khuẩn bị tiêu diệt. Giả sử, cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi. Để số lượng vi khuẩn phục hồi như cũ thì cần thời gian là (tính gần đúng và theo đơn vị phút).

A. 80 phút

B. 100 phút

C. 120 phút

D. 133 phút

Xem đáp án

Đáp án D

Sau khi diệt khuẩn, số vi khuẩn còn lại sẽ là 1%.

Sau 20 phút, số vi khuẩn là $1 % .2 = 1 % {.2}^{\frac{20}{20}} = 2 %$ .

Sau 20 phút nữa (40 phút), số vi khuẩn là $2 % .2 = 1 % {.2}^{\frac{20}{20}} {.2}^{\frac{20}{20}} = 1 % {.2}^{\frac{40}{20}} = 4 %$ .

Sau $n$ phút, ta có số vi khuẩn là $1 % {.2}^{\frac{n}{20}}$ .

Để phục hồi số vi khuẩn như cũ thì $1 % {.2}^{\frac{n}{20}} = 100 % \Leftrightarrow \log_{2} 100 = \frac{n}{20} \Rightarrow n \approx 133$ (phút).

Câu 35:

Biết thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x^{2} - 2 x, y = - x^{2}$ quay quanh trục $O x$ bằng $\frac{1}{k}$ lần diện tích mặt cầu có bán kính bằng 1. Khí đó $k$ bằng:

A. 3

B. 2

C. 12

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm là: $\begin{array}{l} x^{2} - 2 x = - x^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array} \\ V = π \int_{0}^{1} {(x^{2} - 2 x)}^{2} d x - π \int_{0}^{1} x^{4} d x = π \int_{0}^{1} [{(x^{2} - 2 x)}^{2} - x^{4}] d x \end{array}$

Diện tích mặt cầu có bán kính bằng 1 là $4 π$ .

Ta có:

\frac{1}{k} = \frac{π}{3} : 4 π \Leftrightarrow k = 12

.

Câu 36:

Cho số phức $z$ có $|z| = 5$ . Khi đó, quỹ tích các điểm biểu diễn số phức $w = (3 - 4 i) z + 2 + 3 i$ là:

A. Đường tròn bán kính $r = 5$ .

B. Đường tròn bán kính $r = 25$ .

C. Đường elip.

D. Đường thẳng.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $w - 2 - 3 i = (3 - 4 i) z \Rightarrow |w - 2 - 3 i| = |3 - 4 i| |z| = 25$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn bán kính $r = 25$ .

Câu 37:

Cho hình lập phương

A B C D . A' B' C' D'

cạnh

a

. Thể tích vật thể tạo thành khi quay tứ diện

A C B' D'

quanh trục là đường thẳng qua

A C

A. $\frac{a^{3} π \sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{a^{3} π \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $A C B' D'$ là tứ diện đều cạnh $a \sqrt{2}$ .

Do tính chất của tứ diện đều nên khi quay tứ diện quanh cạnh $A C$ thì ta được vật thể tạo thành từ hai khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng $B' O = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ và độ dài đường sinh là $C B' = a \sqrt{2}$ , đường cao $C O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ . $\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = 2. \frac{1}{3} π . r^{2} . h = 2. \frac{1}{3} π . {(\frac{a \sqrt{6}}{2})}^{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 38:

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$ . Mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một hình tròn có diện tích $S = 16 π$ và đi qua $A (1; - 1; - 1)$ có phương trình:

A. $x + 2 y + 2 z - 3 = 0$

B. $x + 2 y + 2 z + 3 = 0$

C. $x + 2 y - 2 z - 3 = 0$

D. $x + 2 y - 2 z + 3 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm $I (2; 1; 1)$ , bán kính $R = 5$ .

Mặt khác hình tròn có diện tích $S = 16 π \Rightarrow$ Bán kính đường tròn là $r = 4$ .

$d (I; (P)) = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$ .

Mà $A I = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 = d (I; (P))$ . $\Rightarrow {\vec{n}}_{p} = \vec{A I} = (1; 2; 2)$

Vậy mặt phẳng $(P)$ đi qua $A (1; - 1; - 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{p}} = (1; 2; 2)$ có phương trình là $x + 2 y + 2 z + 3 = 0$ .

Câu 39:

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = m x^{3} - 3 m x^{2} + 3 m - 3$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho $2 A B^{2} - (O A^{2} + O B^{2}) = 20$ ( $O$ là gốc tọa độ) bằng:

A. $- \frac{6}{11}$

B. $\frac{5}{11}$

C. $- \frac{13}{11}$

D. $- \frac{17}{11}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 m (x^{2} - 2 x)$ .

Để hàm số có hai điểm cực trị thì $m \neq 0$ .

Ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 3 m - 3 \\ x = 2 \Rightarrow y = - m - 3 \end{array}$ .

Giả sử $A (0; 3 m - 3), B (2; - m - 3)$ .

Ta có: $\begin{array}{l} 2 A B^{2} - (O A^{2} + O B^{2}) = 20 \\ \Leftrightarrow 2 (4 + 16 m^{2}) - [{(3 m - 3)}^{2} + 4 + {(- m - 3)}^{2}] = 20 \\ \Leftrightarrow 11 m^{2} + 6 m - 17 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{17}{11} \end{array} \end{array}$

Tổng các giá trị của $m$ bằng $- \frac{6}{11}$ .

Câu 40:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thoi cạnh

a

\hat{B A D} = 60^{0}

. Các mặt phẳng

(S A D)

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy

(S A B)

(A B C D)

. Góc tạo bởi

S C

với

(A B C D)

bằng

60^{0}

. Cho

N

là điểm nằm trên cạnh

A D

sao cho

D N = 2 A N

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

N C

S D

A. $\frac{2 a}{\sqrt{15}}$

B. $3 a \sqrt{\frac{3}{79}}$

C. $2 a \sqrt{\frac{3}{79}}$

D. $\frac{2 a}{\sqrt{21}}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $N C D E$ là hình bình hành.

$\Rightarrow N C / / E D \Rightarrow N C / / (S E D)$ .

Kẻ $A H ⊥ D E, A K ⊥ S H \Rightarrow A K = d (A; (S E D))$ .

Ta có $d (N C; S D) = d (N C; (S E D)) = d (N; (S E D))$ .

Mặt khác

$\frac{d (N; (S E D))}{d (A; (S E D))} = \frac{N D}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow d (N; (S E D)) = \frac{2}{3} A K$ .

Vì $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$ và $\hat{B A D} = 60^{0}$ nên $Δ A B D$ đều có cạnh bằng $a$ .

$\Rightarrow A C = 2. \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Ta có: $C N^{2} = C A^{2} + A N^{2} - 2 A N . A C . \cos 30^{0}$

$= 3 a^{2} + {(\frac{a}{3})}^{2} - 2. a \sqrt{3} . \frac{a}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{19}{9} a^{2}$

$\Rightarrow N C^{2} = D E^{2} = \frac{19}{9} a^{2}$

$\Rightarrow \cos \hat{N D E} = \frac{D N^{2} + D E^{2} - E N^{2}}{2. D N . D E} = \frac{{(\frac{2 a}{3})}^{2} + \frac{19}{9} a^{2} - a^{2}}{2. \frac{2 a}{3} . \frac{\sqrt{19} a}{3}} = \frac{7 \sqrt{19}}{38}$

$\Rightarrow \sin \hat{N D E} = \sqrt{\frac{27}{76}} \Rightarrow A H = A D . \sin \hat{N D E} = \sqrt{\frac{27}{16}} a$

$\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{{(A C . \tan 60^{0})}^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{{(3 a)}^{2}} + \frac{1}{\frac{27}{76} a^{2}}$

$\Rightarrow A K = a \sqrt{\frac{27}{79}} = 3 a \sqrt{\frac{3}{79}}$

$\Rightarrow d (N; (S E D)) = \frac{2}{3} A K = 2 a \sqrt{\frac{3}{79}}$

Câu 41:

Cho số phức $z$ có $|z - 5 i| = 3$ và $|w| = |w - 10|$ . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của $|w - z|$ bằng:

A. 1

B. 2

C. $\sqrt{3}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Từ giả thiết ta có tập hợp điểm $M$ biểu diễn $z$ là đường tròn tâm $I (0; 5)$ ,bán kính và $R = 3$ tập hợp điểm $N$ biểu diễn số phức $w$ là đường thẳng có phương trình $d : x = 5$ .

Để $|w - z| = M N$ nhỏ nhất thì độ dài $M N$ nhỏ nhất, khi đó $M N = d (I; d) - R = 5 - 3 = 2$ .

Câu 42:

Cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9$ và các điểm $A (1; 0; 0), B (2; 8; 0), C (3; 4; 0)$ . Điểm $M \in (S)$ thỏa mãn biểu thức $P = |\vec{M A} + 2 \vec{M B} + \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, $P_{\min}$ bằng:

A. 5

B. $\sqrt{3}$

C. $4 (\sqrt{46} - 3)$

D. 8

Xem đáp án

Đáp án D

Mặt cầu $(S)$ có tâm $E (- 1; 1; 0)$ ,bán kính $R = 3$ .

Gọi điểm $I (x; y; z)$ thỏa mãn:

$\vec{I A} + 2 \vec{I B} + \vec{I C} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} 1 - x + 2 (2 - x) + 3 - x = 0 \\ - y + 2 (8 - y) + 4 - y = 0 \\ - z - 2 z - z = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 5 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow I (2; 5; 0)$ .

Khi đó $P = |\vec{M A} + 2 \vec{M B} + \vec{M C}| = |\vec{I A} + 2 \vec{I B} + \vec{I C} + 4 \vec{M I}| = 4 M I$ .

Vậy để $P_{\min}$ thì $M I$ ngắn nhất. Khi đó $M = E I \cap (S)$ .

Ta có: $\begin{array}{l} E I = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = 5 \\ \Rightarrow P_{\min} = 4 |E I - R| = 4 |5 - 3| = 8 \end{array}$

Câu 43:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $2 f (3 - x) + f (x) = 8 x - 6$ . Khi đó, $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng:

A. 10

B. 6

C. 8

D. 14

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $2 f (3 - x) + f (x) = 8 x - 6$ .

Đặt $\begin{array}{l} t = 3 - x \Rightarrow 2 f (t) + f (3 - t) = 8 (3 - t) - 6 \Rightarrow f (3 - x) + 2 f (x) = - 8 x + 18 \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 f (3 - x) + f (x) = 8 x - 6 \\ f (3 - x) + 2 f (x) = - 8 x + 18 \end{cases} \Rightarrow f (x) = - 8 x + 14 \end{array}$

Ta có:

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (- 8 x + 14) d x = 10

.

Câu 44:

y = f (x)

liên tục trên

ℝ

có

f (0) = 1

và đồ thị hàm số

y = f' (x)

như hình vẽ bên. Hàm số

y = |f (3 x) - 9 x^{3} - 1|

đồng biến trên khoảng:

A. $(\frac{1}{3}; + \infty)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(0; 2)$

D. $(0; \frac{2}{3})$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt

$\begin{array}{l} g (x) = f (3 x) - 9 x^{3} - 1 \\ \Rightarrow g' (x) = 3 f' (3 x) - 27 x^{2} \\ g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (3 x) = {(3 x)}^{2} (*) \end{array}$

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đồ thị hàm số $y = f' (x)$ và $y = x^{2}$ như hình bên.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có f(0 )= 1 và đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng (ảnh 2)

Từ đồ thị hàm số ta có $(*) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = 0 \\ 3 x = 1 \\ 3 x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1}{3} \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$

Khi đó $g' (x) > 0 \Leftrightarrow f' (3 x) > {(3 x)}^{2} \Leftrightarrow 0 < x < \frac{2}{3}$ .

$\Rightarrow g' (x) < 0$ trên $(- \infty; 0); (\frac{2}{3}; + \infty)$

Ta có $g (0) = f (0) - {9.0}^{3} - 1 = 0$ .

Bảng biến thiên của hàm số $y = g (x)$ .

Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y = |g (x)|$ đồng biến trên $(0; \frac{2}{3})$ .

Câu 45:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm và đồng biến trên $[\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$ . Xác định $m$ để bất phương trình $f (x) < e^{\cos x} - \ln (\sin x) - m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$

A. $m > \sqrt{e} - \ln (\frac{\sqrt{3}}{2}) - f (\frac{π}{3})$

B. $m \leq \sqrt{e} - \ln (\frac{\sqrt{3}}{2}) - f (\frac{π}{3})$

C. $m < \sqrt{e} - \ln (\frac{1}{2}) - f (\frac{π}{6})$

D. $m \geq \sqrt{e} - \ln (\frac{1}{2}) - f (\frac{π}{6})$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\begin{array}{l} f (x) < e^{\cos x} - \ln (\sin x) - m \Leftrightarrow m < e^{\cos x} - \ln (\sin x) - f (x) = g (x) \\ \Rightarrow g' (x) = - \sin x . e^{\cos x} - \cot x - f' (x) = - (\sin x . e^{\cos x} + \cot x + f' (x)) < 0, \forall x \in [\frac{π}{6}; \frac{π}{3}] \end{array}$

$\Rightarrow y = g (x)$ nghịch biến trên $[\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$ .

Để thỏa mãn đề thì

m \leq \min_{[\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]} g (x) = g (\frac{π}{3}) = \sqrt{e} - \ln (\frac{\sqrt{3}}{2}) - f (\frac{π}{3})

.

Câu 46:

. Biết rằng đồ thị hàm số cùng với trục hoành và hai đường thẳng có phương trình

y = 4 x^{3} + 2 x

x = a; x = b (a, b \geq 0)

(hai đường thẳng này cách nhau một đoạn bằng 1) tạo ra hình phẳng có diện tích

S

. Để diện tích

S

là nhỏ nhất thì tổng

a + b

A. 1

B. 2

C. $\frac{5}{2}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Do hàm số $y = 4 x^{3} + 2 x$ đồng biến nên cắt trục hoành tại điểm duy nhất có hoành độ $x = 0$ .

Giả sử $b > a$ khi đó ta có $b - a = 1 \Leftrightarrow b = a + 1$ .

Ta có diện tích hình phẳng là: $\begin{array}{l} S = \int_{a}^{1 + a} |4 x^{3} + 2 x| d x = \int_{a}^{1 + a} (4 x^{3} + 2 x) d x = (x^{4} + x) |_{a}^{1 + a} \\ = ({(1 + a)}^{4} + {(1 + a)}^{2}) - (a^{4} + a^{2}) = 4 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2 = f (a) \end{array}$

Xét hàm số $f (a) = 4 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2$ có $\min_{[0; + \infty)} f (a) = 2 \Leftrightarrow a = 0, b = 1$ .

Câu 47:

Cho hình lăng trụ

A B C . A' B' C'

có đáy là tam giác

A B C

vuông cân tại

A, B C = 4 a, A A'

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

. Góc giữa

(A B' C)

(B B' C)

bằng

60^{0}

. Thể tích lăng trụ

A B C . A' B' C'

A. $4 a^{3} \sqrt{3}$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $8 a^{3} \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Từ $A$ kẻ $A I ⊥ B C \Rightarrow I$ là trung điểm $B C$ .

Ta có $B B' ⊥ (A B C) \Rightarrow B B' ⊥ A I \Rightarrow A I ⊥ (B B' C' C) \Rightarrow A I ⊥ B' C$ .

Kẻ $I M ⊥ B' C$ khi đó $B' C ⊥ M A$ .

$\Rightarrow$ Góc giữa $(A B' C)$ và $(B B' C)$ bằng góc $\hat{A M I} = 60^{0}$ .

Ta có: $\begin{array}{l} A I = \frac{1}{2} B C = 2 a; I M = \frac{2 a}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \sin \hat{M C I} = \frac{I M}{I C} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \cos \hat{M C I} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \tan \hat{M C I} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow B B' = 2 a \sqrt{2} \\ \Rightarrow V_{A B C . A' B' C'} = 8 a^{3} \sqrt{2} \end{array}$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=4a , AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Góc giữa (AB'C) và (BB'C) bằng 60 độ . Thể tích lăng trụ bằng: (ảnh 1)

Câu 48: