Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 1)
-
5058 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trên giá sách có \[10\] quyển sách tiếng Việt khác nhau, \[8\] quyển sách Toán khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một quyển sách?
Theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn ra một quyển sách từ \[10\] quyển sách tiếng Việt khác nhau và \[8\] quyển sách Toán khác nhau là \(10 + 8 = 18\) cách chọn.
Chọn đáp án D
Câu 2:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\). Tính \({u_3}\).
Áp dụng công thức \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) ta có \({u_3} = {u_1}.{q^2} = {2.3^2} = 18\).
Chọn đáp án C
Câu 3:
Diện tích toàn phần của một hình nón có độ dài đường sinh \[l\] gấp đôi bán kính đáy \[r\] là
Diện tích toàn phần của khối nón có độ dài đường sinh \[l\] gấp đôi bán kính đáy \[r\]là \[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi \frac{l}{2}l + \pi {\left( {\frac{l}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\pi {l^2}\].
Chọn đáp án A
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hàm số xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right) \cup \left( {0;\, + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(y' >0\) với \(x \in \left( { - 2;\,0} \right) \cup \left( {0;\,2} \right)\).
\( \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,2} \right)\).
* Nhận xét: Câu 4 trong đề minh hoạ 2020 là câu mức độ nhận biết thuộc kiến thức Chương 1 Giải tích 12 - bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Học sinh nắm rõ lý thuyết “ Sự biến thiên và dấu của đạo h àm” là làm được.
Câu 5:
Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có diện tích toàn phần bằng 54 . Thể tích của khối lập phương đã cho bằng
Diện tích một mặt của hình lập phương bằng \(\frac{{54}}{6} = 9\).
Suy ra độ dài một cạnh của hình lập phương bằng \(\sqrt 9 = 3\).
Vậy thể tích của khối lập phương là \(V = {3^3} = 27\).
Chọn đáp án B
Câu 6:
Phương trình \[{5^{3 - 4x}} = 25\] có nghiệm là
Ta có
\({5^{3 - 4x}} = 25 \Leftrightarrow {5^{3 - 4x}} = {5^2} \Leftrightarrow 3 - 4x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.\)
Chọn đáp án D
Câu 7:
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm và liên tục trên đoạn \[\left[ {1;3} \right],{\rm{ }}f\left( 3 \right) = 4\] và \[\int\limits_1^3 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 6.\] Tính giá trị của \[f\left( 1 \right).\]
Ta có \[\int\limits_1^3 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = 6 \Leftrightarrow f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) = 6 \Rightarrow f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) - 6 = - 2\].
Chọn đáp án A
Câu 8:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm
Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1.\)
Chọn đáp án D
Câu 9:
Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy đây là đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\) và hệ số \(a < 0\) nên chọn D.
Chọn đáp án D
>Câu 10:
Với\(a,b\)là hai số thực dương và \(a \ne 1\), thì\({\log _{{a^3}}}{b^6} + {\log _a}{b^2}\)bằng
Ta có \({\log _{{a^3}}}{b^6} + {\log _a}{b^2} = 2{\log _a}b + 2{\log _a}b = 4{\log _a}b\).
Chọn đáp án D
Câu 11:
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - \frac{2}{{{x^2}}}\) là
Ta có \(\int {\left( {{e^x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx = {e^x} - 2.\left( { - \frac{1}{x}} \right) + C = {e^x} + \frac{2}{x} + C} \).
Chọn đáp án C
Câu 12:
Môđun của số phức \(i - \sqrt 2 \) bằng
Ta có \(\left| {i - \sqrt 2 } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \).
Chọn đáp án B
Câu 13:
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 6z - 11 = 0\). Tọa độ tâm mặt cầu\(\left( S \right)\,\)là \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Tính \(a + b + c\)?
Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 6z - 11 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 22\)
Suy ra mặt cầu\(\left( S \right)\,\)có tâm \(I\left( {1\,;1\,; - 3} \right)\). Vậy \(a + b + c = - 1\).
Chọn đáp án A
Câu 14:
Trong không gian \(Oxyz\), một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1\) là:
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow 3x + 6y - 2z = - 6\).
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,6;\, - 2} \right)\).
Chọn đáp án C
Câu 15:
Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d{\rm{ }}:{\mkern 1mu} \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng \(d\)?
Vì \(\frac{{2 - 2}}{3} = \frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} = \frac{{ - 3 + 3}}{2} \Rightarrow N\left( {2; - 1; - 3} \right) \in d\).
\(\frac{{5 - 2}}{3} = \frac{{ - 2 + 1}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 3}}{2} \Rightarrow P\left( {5; - 2; - 1} \right) \in d\)
\(\frac{{ - 1 - 2}}{3} = \frac{{0 + 1}}{{ - 1}} = \frac{{ - 5 + 3}}{2} \Rightarrow Q\left( { - 1;0; - 5} \right) \in d\)
\(\frac{{ - 2 - 2}}{3} \ne \frac{{1 + 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{3 + 3}}{2} \Rightarrow M\left( { - 2;1;3} \right) \notin d\).
Chọn đáp án D
Câu 16:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy. Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\),
biết \(SA = a\sqrt 2 ;AC = 2a\). Góc giữa đường thẳng \(SB\) và \[ABC\] bằng
Góc giữa đường thẳng \(SB\) và \[ABC\] là góc \(\alpha = \widehat {SBA}\)
Ta có \(AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \Rightarrow \)\(\tan \alpha = \frac{{SA}}{{AB}} = 1 \Rightarrow \alpha = {45^^\circ }.\)
Chọn đáp án A
Câu 17:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau
Tìm số cực trị tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\)
Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương qua điểm \({x_0} = 5\). Do đó \({x_0} = 5\) là điểm cực tiểu. Vậy số điểm cực tiểu của hàm số là \(1\) .
Chọn đáp án C
Câu 18:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^4} + 6{x^2} - 2\) trên đoạn \(\left[ { - 3; - 1} \right]\) bằng
Ta có:\(f'\left( x \right) = - 2{x^3} + 12x\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^3} + 12x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 6 \\x = - \sqrt 6 \end{array} \right.\)(\[x = 0,x = \sqrt 6 \] không thuộc khoảng \[\left( { - 3; - 1} \right)\] nên loại)
\(f\left( { - 3} \right) = \frac{{23}}{2}\), \(f\left( { - 1} \right) = \frac{7}{2}\), \(f\left( { - \sqrt 6 } \right) = 16\)
Vậy : \[\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 3; - 1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = \frac{7}{2}\].
Chọn đáp án B
Câu 19:
Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({\log _9}{a^5} = {\log _{3\sqrt[3]{3}}}\left( {{a^3}.b} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có: \({\log _9}{a^5} = {\log _{3\sqrt[3]{3}}}\left( {{a^3}.b} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _3}{a^5} = \frac{3}{4}{\log _3}\left( {{a^3}.b} \right)\)\( \Leftrightarrow 2{\log _3}{a^5} = 3{\log _2}\left( {{a^3}.b} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}{a^{10}} = {\log _2}{\left( {{a^3}.b} \right)^3}\)\( \Leftrightarrow {a^{10}} = {a^9}.{b^3}\)\( \Leftrightarrow a = {b^3}\).
Chọn đáp án D
Câu 20:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(0,{3^{{x^2} + x}} >0,09\).
Ta có \(0,{3^{{x^2} + x}} >0,09 \Leftrightarrow 0,{3^{{x^2} + x}} >{\left( {0,3} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x < 2\)\( \Leftrightarrow - 2 < x < 1\).
Vậy \(S = \left( { - 2;1} \right)\).
Chọn đáp án C
Câu 21:
Trong không gian, cho tam giác \[ABC\] vuông tại cân \[A\], gọi \[I\]là trung điểm của \[BC\], \[BC = 2\].Tính diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác \[ABC\] xung quanh trục \[AI\].
\[R = \frac{{BC}}{2} = 1\], \[l = AB = AC = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .\]
\[{S_{xq}} = \pi Rl = \sqrt 2 \pi \]
Chọn đáp án C
Câu 22:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) + 1 = 0\) là
Ta có \(2f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{2}\,(*)\)
Số nghiệm của phương trình \[(*)\]bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]và đường thẳng \[y = \frac{{ - 1}}{2}\].
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có \[2\]giao điểm.
Chọn đáp án D
Câu 23:
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{x - 2}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\,\,2} \right)\) là
Ta có \(\int {\frac{{x + 4}}{{x - 2}}dx} = \int {\frac{{x - 2 + 6}}{{x - 2}}dx} = \int {\left( {1 + \frac{6}{{x - 2}}} \right)dx} = x + 6\ln \left| {x - 2} \right| + C\)
\( = x + 6\ln \left( {2 - x} \right) + C\). (Vì \(x \in \left( { - \infty \,;\,2} \right)\) nên \(\left| {x - 2} \right| = 2 - x\)).
Chọn đáp án B
Câu 24:
Cho biết sự rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là \(1,32\% \), nếu tỉ lệ tăng dân số không thay đổi thì đến tăng trưởng dân số được tính theo công thức tăng trưởng liên tục \(S = A.{{\rm{e}}^{Nr}}\)trong đó \(A\) là dân số tại thời điểm mốc, \(S\) là số dân sau \(N\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm \(2013\) dân số thể giới vào khoảng \(7095\) triệu người. Biết năm \(2020\) dân số thế giới gần nhất với giá trị nào sau đây?
Áp dụng công thức \(S = A.{{\rm{e}}^{Nr}}\) với \(A = 7095\), \(N = 7\); \(r = 0.0132\) ta có
\(S = 7095.{{\rm{e}}^{7.0,0132}}\)\( \approx 7782\) triệu người.
Chọn đáp án C
Câu 25:
Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi với các đường chéo là \(6cm\) và \(8cm\)biết rằng chu vi đáy bằng \(2\) lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi \(O\)là giao điểm của hai đường chéo \(AC\)và \(BD\).
Ta có cạnh hình thoi: \(AD = \sqrt {D{O^2} + A{O^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).
Theo giả thiết: \(4.AD = 2.AA' \Rightarrow AA' = 2AD = 10\).
Thể tích khối lăng trụ: \(V = B.h = \frac{1}{2}AC.DB.AA' = \frac{1}{2}.6.8.10 = 240c{m^3}\).
Chọn đáp án D
Câu 26:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 6}}{{3{x^2} - 8x - 3}}\) là
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {3; - \frac{1}{3}} \right\}\)
Ta có \(y = \frac{{2x - 6}}{{3{x^2} - 8x - 3}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {3x + 1} \right)}} = \frac{2}{{3x + 1}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{x}}} = 0\) suy ra đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\rm{ }}\frac{1}{3}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\rm{ }}\frac{1}{3}} \right)}^ - }} \frac{2}{{3x + 1}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\rm{ }}\frac{1}{3}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\rm{ }}\frac{1}{3}} \right)}^ + }} \frac{2}{{3x + 1}} = + \infty \) suy ra đường thẳng \(x = - \frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Chọn đáp án B
Câu 27:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 2}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Mệnh đề nào sau đây đúng
-Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( {\frac{2}{a};0} \right)\) nằm bên phải trục \[Oy\] nên \(\frac{2}{a} >0 \Rightarrow a >0\).
-Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là\(y = \frac{a}{c}\) nằm phía trên trục \[Ox\] nên \(\frac{a}{c} >0 \Rightarrow c >0\).
-Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = \frac{{ - d}}{c}\) nằm bên trái trục \[Oy\] nên \(\frac{{ - d}}{c} < 0 \Rightarrow d >0\).
( hoặc đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - \frac{2}{d}} \right)\)nằm phía dưới trục \[Ox\]nên \( - \frac{2}{d} < 0 \Rightarrow d >0\)) .
Chọn đáp án C
Câu 28:
Ta có \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {{x^2} + 1 - \left( {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^4} + 3{x^2} + 4} \right){\rm{d}}x} \].
Chọn đáp án D
Câu 29:
Cho hai số phức
\({z_1} = 1 + i\) và \({z_2} = 1 - i\). Giá trị của biểu thức \({\bar z_1} + i{z_2}\) bằng
Ta có \({z_1} = 1 + i \Rightarrow {\bar z_1} = 1 - i\); \({z_2} = 1 - i \Rightarrow i{z_2} = 1 + i\).
Suy ra \({\bar z_1} + i{z_2} = 2\).
Chọn đáp án C
Câu 30:
Cho số phức \[z\] thỏa mãn: \[(3 + 2i)z + {(2 - i)^2} = 4 + i\]. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức \[z\] là:
Ta có \[(3 + 2i)z + {(2 - i)^2} = 4 + i\]\[ \Leftrightarrow (3 + 2i)z = 4 + i - {\left( {2 - i} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow z = \frac{{1 + 5i}}{{3 + 2i}} = \frac{{\left( {1 + 5i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}}{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}} = \frac{{13 + 13i}}{{13}}\]
\[ \Leftrightarrow z = 1 + i\]
\( \Rightarrow \) phần thực của số phức \(z\) là \(a = 1\), phần ảo của số phức \(z\) là \(b = 1\).
Vậy \(a - b = 0\).
Chọn đáp án D
Câu 31:
Trong không gian \[Oxyz\], cho các vectơ \(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \) và \(\overrightarrow b = \left( {1;m;6} \right)\). Giá trị của \(m\) để \(\overrightarrow a \) vuông góc với \(\overrightarrow b \) bằng:
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {0; - 3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3m + 6\).
Để \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow - 3m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Chọn đáp án C
Câu 32:
Trong không gian \[Oxyz\], mặt cầu có tâm \[I\left( {1;2; - 1} \right)\]và tiếp xúc với mặt phẳng \((P):2x - 2y - z - 8 = 0\) có phương trình là
Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên bán kính mặt cầu là: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = r \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - 4 + 1 - 8} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3 \Rightarrow r = 3\)
Vậy phương trình mặt cầu là: \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
Chọn đáp án C
Câu 33:
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( { - 1\,;\,1\,;2} \right)\) và song song với hai đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\), \(\Delta ':\frac{x}{1} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) có phương trình là
Vì \((\alpha )\)song song với \(\Delta \) và \(\Delta '\) nên \((\alpha )\)có cặp VTCP \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} = (2;2;1)\\\overrightarrow {{u_2}} = (1;3;1)\end{array} \right.\)
Suy ra \((\alpha )\)có một VTPT \[\overrightarrow n = {\rm{[}}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} {\rm{]}} = ( - 1; - 1;4)\]
Mặt phẳng \((\alpha )\)đi qua điểm \(A\left( { - 1\,;\,1\,;2} \right)\) và có một VTPT \(\overrightarrow n = ( - 1; - 1;4)\)có phương trình là:
\( - 1(x + 1) - 1.(y - 1) + 4(z - 2) = 0\)
\( \Leftrightarrow - x - y + 4z - 8 = 0\)
\( \Leftrightarrow x + y - 4z + 8 = 0\).
Chọn đáp án D
Câu 34:
Cho điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\), cắt và vuông góc với \(\Delta \). Vectơ chỉ phương của \(d\) là:
Gọi \(H\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \), khi đó giá của \(\overrightarrow {MH} \) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).
\(H\left( {1 + 2t;\, - 1 + t;\, - t} \right)\), \(\overrightarrow {MH} = \left( {2t - 1;\,t - 2;\, - t} \right)\), \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)\) là VTCP của \(\Delta \).
Ta có \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + 1\left( {t - 2} \right) - 1\left( { - t} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\)
\(\overrightarrow {MH} = \left( {\frac{1}{3};\, - \frac{4}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow u = \left( {1;\, - 4;\, - 2} \right)\).
Chọn đáp án D
Câu 35:
Từ các chữ số \(\left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}\) viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm \(6\)chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} .\) Xác suất để viết được số thỏa mãn \({a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}\) bằng
Số các số có \(6\) chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là \(6.A_6^5.\)
Đặt \(k = {a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} \Rightarrow {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} + {a_6} = 3k\) là một số chia hết cho \(3.\)
Ta có các bộ \(6\)số mà tổng chia hết cho \(3\) là: \(\left( {1,2,3,4,5,6} \right);\left( {0,1,2,4,5,6} \right);\left( {0,1,2,3,4,5} \right).\)
Với bộ đầu tiên có phân tích: \(1 + 6 = 3 + 4 = 2 + 5\) do đó có \(2!.2!.2!.3! = 48\) số thỏa mãn.
Với bộ thứ hai có phân tích: \(0 + 6 = 1 + 5 = 2 + 4\) do đó có \(2!.2!.2!.3! - 1.2!.2!.2! = 40\) số thỏa mãn.
Với bộ thứ ba có phân tích: \(0 + 5 = 2 + 3 = 1 + 4\) do đó có \(2!.2!.2!.3! - 1.2!.2!.2! = 40\) số thỏa mãn.
Vậy số các số thỏa mãn điều kiện là: \(48 + 40.2 = 128.\)
Xác suất cần tính là \(\frac{{128}}{{6.A_6^5}} = \frac{4}{{135}}.\)
Chọn đáp án A
Câu 36:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AC} \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SI\) và \(AC\) là
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\). Vì tam giác \(SAD\) đều cạnh \(a\) nên \(SH \bot AD\)và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Do tam giác \(SAD\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(AC//BI\) nên \(AC//\left( {SBI} \right)\) suy ra \(d\left( {AC,SI} \right) = d\left( {AC,\left( {SBI} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBI} \right)} \right)\).
Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BI\). Dễ thấy \(AE = AD\) nên \(\frac{{AE}}{{HE}} = \frac{2}{3}\).
Lại có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SBI} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SBI} \right)} \right)}} = \frac{{AE}}{{HE}} = \frac{2}{3}\). Từ đó suy ra \(d\left( {AC,SI} \right) = \frac{2}{3}d\left( {H,\left( {SBI} \right)} \right)\).
Kẻ \(HP \bot BI{\rm{ }}\left( {P \in BI} \right)\), \(HQ \bot SP{\rm{ }}\left( {Q \in SP} \right)\). Khi đó \(d\left( {H,\left( {SBI} \right)} \right) = HQ\).
Ta có \(HP = \frac{3}{4}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).
Từ đó ta có \(\frac{1}{{H{Q^2}}} = \frac{1}{{H{P^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{8}{{9{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{20}}{{9{a^2}}} \Rightarrow HQ = \frac{{3a\sqrt 5 }}{{10}}\).
Vậy \(d\left( {AC,SI} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
Câu 37:
Cho hàm số \(f(x)\) có \(f\left( 3 \right) = \frac{9}{2}\) và \(f\prime (x) = \frac{{{x^3} + {x^2} - 1}}{{{x^2} + x + \sqrt {x + 1} }}{\rm{ }}\forall x >- 1\). Tính \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\) bằng
Ta có: \(f\prime (x) = \frac{{{x^2}\left( {x + 1} \right) - 1}}{{{x^2} + x + \sqrt {x + 1} }} = \frac{{{{\left( {x\sqrt {x + 1} } \right)}^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right) + \sqrt {x + 1} }}\)
\( = \frac{{{{\left( {x\sqrt {x + 1} } \right)}^2} - 1}}{{\sqrt {x + 1} \left( {x\sqrt {x + 1} + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x\sqrt {x + 1} + 1} \right)\left( {x\sqrt {x + 1} - 1} \right)}}{{\sqrt {x + 1} \left( {x\sqrt {x + 1} + 1} \right)}} = x - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\).
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {x - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} - 2\sqrt {x + 1} + C\].
Mà \(f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} \Rightarrow \frac{9}{2} = \frac{9}{2} - 4 + C \Leftrightarrow C = 4\). Do đó \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 2\sqrt {x + 1} + 4\].
\( \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2\sqrt {x + 1} + 4} \right)} {\rm{d}}x\)\[ = \left. {\frac{{{x^3}}}{6}} \right|_0^3 - \frac{4}{3}\left. {\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} } \right|_0^3 + \left. {4x} \right|_0^3 = \frac{{43}}{6}\]
Chọn đáp án C
Câu 38:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{(m - 2)x - 1}}{{x + m}}\) (\(m\) là tham số thực). Hàm số đã cho đồng biến trên \[16\] khi và chỉ khi
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{{m^2} - 2m + 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\).
Hàm số đã cho đồng biến trên \[16\] khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 >0\\ - m \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\ - m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in {\rm{[}}0;1) \cup (1; + \infty )\].
Chọn đáp án D
Câu 39:
Cho hình nón có bán đáy bằng \(2\sqrt 2 \). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng \(12\sqrt 3 \). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
Gọi
\(O\) là đỉnh hình nón, \(I\) là tâm đường tròn đáy hình nón, thiết diện là tam giác đều\(OAB\).
\({S_{OAB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}O{A^2} = 12\sqrt 3 \Rightarrow O{A^2} = 48\)
Do đó \(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {48 - 8} = 2\sqrt {10} \)
Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}h.{S_d} = \frac{1}{3}.2\sqrt {10} .\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{{16\sqrt {10} \pi }}{3}\).
Chọn đáp án B
Câu 40:
Xét các số thực dương \(a,\,b\) thỏa mãn \[{\log _9}a = \log {}_{12}b = \log {}_{15}\left( {a + b} \right)\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Phân tích: \(9 = {3^2}\)nhưng \(12;15\)không có số nào là số chính phương. Nên ta sẽ đặt ẩn phụ đưa về phương trình ở dạng :\({a^{f\left( x \right)}} + {b^{f\left( x \right)}} = {c^{f\left( x \right)}}\).
Đặt
\[{\log _9}a = \log {}_{12}b = \log {}_{15}\left( {a + b} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _9}a = t\\\log {}_{12}b = t\\\log {}_{15}\left( {a + b} \right) = t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}{\rm{ }}\left( 1 \right)\\b = {12^t}{\rm{ }}\left( 2 \right)\\a + b = {15^t}{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\].
Thế \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta được \({9^t} + {12^t} = {15^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ = 1 }}\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ }} \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{9}{{15}}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{{12}}{{15}} < 0,{\rm{ }}\forall t \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(f\left( 2 \right) = 1\) nên \(t = 2\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(\left( * \right)\).
Do \(t = 2\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 91\\b = 144\end{array} \right. \Rightarrow \frac{a}{b} \in \left( {0;2} \right)\).
Chọn đáp án C
</>
Câu 41:
Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 5m + 1} \right|\] trên đoạn \[\left[ {\,0\,;\,3\,} \right]\] bằng 7. Tổng các phần tử của \[S\] bằng
Cách 1.Xét hàm số \[g\left( x \right) = m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 5m + 1\] trên đoạn \[\left[ {\,0\,;\,3\,} \right]\] có \[g'\left( x \right) = m\left( {2x - 2} \right)\]; \[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\\x = 1\end{array} \right.\].
Với \(m = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 1,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\), nên loại \(m = 0\).
Với \(m \ne 0\), ta có: \[g\left( 0 \right) = - 2m + 1;\,\,g\left( 1 \right) = - 3m + 1;\,\,g\left( 3 \right) = m + 1\] suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;3} \right]} \,f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;3} \right]} \left| {\,g\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {\, - 2m + 1} \right|;\,\left| {\, - 3m + 1} \right|;\,\left| {\,m + 1} \right|} \right\}\].
Khi đó ta xét các trường hợp
TH1:\[\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 2m + 1} \right| \le \left| {m + 1} \right|\\\left| { - 3m + 1} \right| \le \left| {m + 1} \right|\\\left| {m + 1} \right| = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 8\end{array} \right.\] (loại).
TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 1} \right| \le \left| { - 2m + 1} \right|\\\left| { - 3m + 1} \right| \le \left| { - 2m + 1} \right|\\\left| { - 2m + 1} \right| = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 4\end{array} \right.\] (loại).
TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 1} \right| \le \left| { - 3m + 1} \right|\\\left| { - 2m + 1} \right| \le \left| { - 3m + 1} \right|\\\left| { - 3m + 1} \right| = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{8}{3}\end{array} \right.\] (Thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị \[m = - 2,\,m = \frac{8}{3}\] thỏa mãn và tổng của chúng bằng \[\frac{2}{3}\].
Cách 2. Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3\) vì \(x \in \left[ {0;\,3} \right]\) nên \(t \in \left[ {2;\,6} \right]\).
Ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left| {m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 5m + 1} \right| = 7 \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,6} \right]} \left| {mt - 5m + 1} \right| = 7 \Leftrightarrow \max \left\{ {\left| { - 3m + 1} \right|,\left| {m + 1} \right|} \right\} = 7\].
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 3m + 1} \right| \le \left| {m + 1} \right|\\\left| {m + 1} \right| = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 1} \right| \le \left| { - 3m + 1} \right|\\\left| { - 3m + 1} \right| = 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị \[m = - 2,\,m = \frac{8}{3}\] thỏa mãn và tổng của chúng bằng \[\frac{2}{3}\].
Cách 3. Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3\) vì \(x \in \left[ {0;\,3} \right]\) nên \(t \in \left[ {2;\,6} \right]\).
Ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left| {m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 5m + 1} \right| = 7 \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,6} \right]} \left| {mt - 5m + 1} \right| = 7\]
\[ \Leftrightarrow \max \left\{ {\left| { - 3m + 1} \right|,\left| {m + 1} \right|} \right\} = 7 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\left| { - 3m + 1 + m + 1} \right| + \left| { - 3m + 1 - m - 1} \right|} \right) = 7\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\left| { - 2m + 2} \right| + \left| { - 4m} \right|} \right) = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{8}{3}\end{array} \right.\].
Vậy có 2 giá trị \[m = - 2,\,m = \frac{8}{3}\] thỏa mãn và tổng của chúng bằng \[\frac{2}{3}\].
Chọn đáp án C
Câu 42:
Cho phương trình \[\log _5^2\frac{x}{5} + (m + 1){\log _5}5x + 6m - 22 = 0\] (\[m\] là tham số thực ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in \left[ { - 2020\,;\,2020} \right]\] để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực thuộc đoạn \[\left[ {\frac{1}{5}\,;\,{5^5}} \right]\]?
Ta có \[\log _5^2\frac{x}{5} + (m + 1){\log _5}5x - 6m - 22 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\log _5^{}x - 1} \right)^2} + (m + 1)\left( {{{\log }_5}x + 1} \right) - 6m - 22 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \log _5^{^2}x + (m - 1){\log _5}x - 5m - 20 = 0\]
Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực thuộc đoạn khi và chỉ khi (1) không có nghiệm thuộc đoạn tức .
Vì 3 nguyên và nên có .
Vậy có giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Chọn đáp án C
Câu 43:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Biết \(x + \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f'(x){e^x}\] là
Ta có \(\int {f\left( x \right){e^x}dx = x + \sin x + C \Rightarrow f\left( x \right).{e^x} = 1 + \cos x\left( 1 \right)} \)
Lấy đạo hàm hai vế của \(\left( 1 \right)\)ta được \(f'\left( x \right).{e^x} + f\left( x \right).{e^x} = - \sin x \Leftrightarrow f'\left( x \right).{e^x} = - \sin x - \cos x - 1\)
Vậy ta có \[\int {f'\left( x \right).{e^x}dx = - \int {\left( {\sin x + \cos x + 1} \right)dx = \cos x - \sin x - x + C} } \]
Chọn đáp án C
Câu 44:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên tập \(\mathbb{R}\) có bảng biến thiên như sau.
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
\(f\left( {\,{x^3} - 3{\rm{x}}\,} \right)\, = \,m\) có 4 nghiệm phân biệt là
Đặt \(t\, = \,{x^3} - \,3{\rm{x}}\). Ta có phương trình \(f\left( {\,{x^3} - 3{\rm{x}}\,} \right)\, = \,m\,\,\left( 1 \right)\) trở thành: \(f\left( t \right)\, = \,\,m\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Bảng biến thiên của hàm số \(t\, = \,{x^3} - \,3{\rm{x}}\)
Từ bảng biến thiên của các hàm số \(f\left( t \right)\,\,;\,t\left( x \right)\) trên ta có: PT (1) có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu khi và chỉ khi:
PT (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({t_1}\, = \, - 2\,;\,{t_2}\, = \,2\, \Leftrightarrow \,m\, = \,3\).
Chọn đáp án D
Câu 45:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ {1;2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) có đúng \(3\) điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là?
Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {4{x^3} - 4x} \right)f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) ; \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{x^3} - 4x = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right){\rm{ = 0 }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\\x = 0\end{array} \right.\) .
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^4} - 2{x^2} + m = - 2\\{x^4} - 2{x^2} + m = - 1\\{x^4} - 2{x^2} + m = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m = {x^4} - 2{x^2} + 2 = {g_1}\left( x \right)\\ - m = {x^4} - 2{x^2} + 1 = {g_2}\left( x \right)\\ - m = {x^4} - 2{x^2} - 3 = {g_3}\left( x \right)\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên của các hàm số \({g_1}\left( x \right),{g_2}\left( x \right),{g_3}\left( x \right)\) như hình vẽ:
Từ bảng biến trên, ta dễ thấy: với \[ - m \le - 4 \Leftrightarrow m \ge 4\] hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị.
Do đó: \(S = \left\{ {4;5;6;7;...;2020} \right\}\)
Vậy tổng tất cả các phần tử của \(S\) là: \(4 + 5 + 6 + ... + 2020 = \frac{{\left( {4 + 2020} \right)2017}}{2} = 2041204\).
Chọn đáp án B
Câu 46:
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương\(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn:\(2y{.2^x} = {\log _2}\left( {1 + \frac{{2x}}{y}} \right) + 2y + 3x\)
Ta có: \(2y{.2^x} = {\log _2}\left( {1 + \frac{{2x}}{y}} \right) + 2y + 3x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2y{.2^x} = {\log _2}\left( {y + 2x} \right) - {\log _2}y + 2y + 3x\\ \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} + {\log _2}y + \left( {x + 1} \right) = 1 + {\log _2}\left( {y + 2x} \right) + 2y + 4x\\ \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} + {\log _2}\left( {y{{.2}^{x + 1}}} \right) = {\log _2}\left( {2y + 4x} \right) + \left( {2y + 4x} \right)\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)
Ta thấy \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) nên
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} = 2y + 4x \Leftrightarrow y{.2^x} = y + 2x \Rightarrow {2^x} = 1 + \frac{{2x}}{y}\) (2)
Do ynguyên dương nên \(1 + \frac{{2x}}{y} \le 1 + 2x\) (3)
Từ (2) và (3) ta có: \({2^x} \le 1 + 2x\) (4)
Xét \(f\left( x \right) = {2^x} - 2x - 1,\,\,x >0\)
\(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2 >0\,\,,\forall x \ge 3\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 3 \right) = {2^3} - 2.3 - 1 >0\,\,\forall x \ge 3\)
Suy ra \({2^x} - 2x - 1 >0\,\,\forall x \ge 3\)
Từ (4) và do x nguyên dương nên từ\({2^x} \le 1 + 2x \Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Thay \(x = 1\) vào (2) ta có \(y = 2\).
Thay \(x = 2\) vào (2) ta có \(y = \frac{4}{3}\)
Vậy có một cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)thỏa đề là: \(\left( {1;2} \right)\).
Nhận xét:
Kiên thức sử dụng:
1. Hàm sử dụng hàm đặc trưng để suy ra biểu thức quan hệ giữa x, y đơn giản hơn.
2. Sử dụng đánh giá bất đẳng thức cơ bản để thu hẹp miền x, y rồi thay vào tìm trực tiếp.
Chọn đáp án A
Câu 47:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\] thỏa mãn: \[f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \sin x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = 6\sin x + 1\] , \[\forall x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\]. Khi đó \[I = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} \] bằng:
+ Ta có: \[f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \sin x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = 6\sin x + 1\]\[ \Rightarrow \cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \cos x.\sin x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = 6\sin x.\cos x + \cos x\]
\[ \Leftrightarrow \cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \frac{1}{2}\sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = 3\sin 2x + \cos {x^{}}(*)\]
+ Lấy tích phân từ \[ - \frac{\pi }{2}\] đến \[0\] hai vế của \((*)\) ta được:
\[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right)dx} - \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {(3\sin 2x + \cos x)dx} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {f\left( {1 + 4\sin x} \right)d(1 + 4\sin x)} - \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)d(3 - 2\cos 2x)} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {(3\sin 2x + \cos x)dx} \]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( t \right)dt} - \frac{1}{8}\int\limits_5^1 {f\left( t \right)dt} = - 2\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( t \right)dt} + \frac{1}{8}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = - 2_{}^{}(1)\]
+ Lấy tích phân từ \[0\] đến \[\frac{\pi }{2}\] hai vế của \((*)\) ta được:
\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right)dx} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin 2x + \cos x)dx} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 + 4\sin x} \right)d(1 + 4\sin x)} - \frac{1}{8}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)d(3 - 2\cos 2x)} = 4\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} - \frac{1}{8}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = 4\]
\[ \Leftrightarrow \int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = 32{}_{}^{}(2)\]
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có: \[\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} = - 24\]
Chọn đáp án B
Câu 48:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \[AB = 2a,\,\,AD = a,\,\,SA = 3a\] và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(CD\), điểm \(E \in SA\)sao cho \(SE = a\), cosin của góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\) bằng
Góc giữa hai mặt phẳng
và là góc . Khi đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\alpha } \right)}}{{d\left( {A,\Delta } \right)}}\)
Gọi điểm là trọng tâm , kéo dài tia cắttại . .
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\)là góc có\(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {{\rm{BEF}}} \right)} \right)}}{{d\left( {A,EG} \right)}}\) .
Ta có \(d\left( {A,\left( {{\rm{BEF}}} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\),\(d\left( {A,EG} \right) = \frac{{AE.AG}}{{\sqrt {A{E^2} + A{G^2}} }} = \frac{{a\sqrt {70} }}{7}\)
\(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {{\rm{BEF}}} \right)} \right)}}{{d\left( {A,EG} \right)}} = \frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {15} }} \to {\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\frac{1}{{\sqrt {15} }}\).
Nhận xét:Bản chất câu 49 khó khăn nhất là việc xác định góc giữa hai mặt phẳng. Tứ diện \(S.ABC\)là một tứ diện đặc biệt được tách từ hình chóp \(S.ABCD\)có \(SD \bot \left( {ABCD} \right)\), mặt đáy là hình vuông. Đây là bài toán khá quen thuộc. Với những bài toán xác định góc phức tạp hơn các em học sinh có thể dùng phương pháp tọa độ.
Chọn đáp án B
Câu 49:
Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( { - 2;1;3} \right)\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên trục \(Ox\) có tọa độ là:
Chiếu vuông góc một điểm bất kỳ lên trục \(Ox\) khi đó giữ nguyên hoành độ còn tung độ và cao độ bằng \(0\).
Vậy hình chiếu vuông góc của \(A\) lên trục \(Ox\) có tọa độ là: \(\left( { - 2;0;0} \right)\).
Chọn đáp án B
Câu 50:
Cho hai hàm số đa thức bậc bốn \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\)có đồ thị như hình vẽ, trong đó đường đậm hơnlà đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Biết rằng hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là \( - 3\) và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là \( - 1\) và \(3\). Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 12;12} \right]\) để bất phương trình \(f(x) \ge g(x) + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in {\rm{[}} - 3;3]\)?
* Gọi \(f\left( x \right)\) có dạng : \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = a.{\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)
Ta có : \(f\left( 0 \right) - g\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow - 27a = 1 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{{27}}\)
Hay \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = - \frac{1}{{27}}{\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)
* Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\)
\(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = - \frac{4}{{27}}\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)\)
\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - \sqrt 3 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Bảng xét dấu \(h\left( x \right)\)
* Bất phương trình: \(f(x) \ge g(x) + m \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) - g\left( x \right)\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 3;3} \right]\)
\( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} h\left( x \right) \le \frac{{12 - 8\sqrt 3 }}{9}\)
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{12 - 8\sqrt 3 }}{9}} \right]\)
Chọn đáp án D