50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 - đề 6

Câu 1:

Giới hạn $\frac{n + 1}{{(n - 1)}^{2}}$ bằng

A. 0

B. 1

C. -1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án A.

Câu 2:

Cho là số thực khác 0. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\log_{2} x^{2} = 2 \log_{2} x$

B. $\log_{2} x^{2} = 2 \log_{2} | x |$

C. $\log_{2} x^{2} = \frac{1}{2} \log_{2} x$

D. $\log_{2} x^{2} = {(\log_{2} x)}^{2}$

Xem đáp án

Có $\log_{2} x^{2} = 2 \log_{2} | x |$

Chọn đáp án B.

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1;2)

B. $(- \infty; 2)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(- 1; \frac{3}{2})$

Xem đáp án

Hàm số đồng biến khi đồ thị đi lên tức $- 1 < x < \frac{3}{2}$

Chọn đáp án D.

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho lần lượt là?

A. 3 và -2

B. 2 và 0

C. -2 và 2

D. 3 và 0

Xem đáp án

Giá trị cực đại bằng y(-2)=3 giá trị cực tiểu bằng y(2)=0

Chọn đáp án D.

Câu 5:

Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $2 a^{3}$

B. $4 a^{3}$

C. $\frac{2}{3} a^{3}$

D. $\frac{4}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Có thể tích lăng trụ bằng $V = s_{d a y} . h = a^{2} . 2 a = 2 a^{3}$

Chọn đáp án A.

Câu 6:

Cho hai số thực a,b $\in (0; \frac{π}{2})$ thỏa mãn $\int_{a}^{b} \frac{1}{\cos^{2} x} d x = 10$ Giá trị của a-tanb bằng

A. 10

B. $- \frac{1}{10}$

C. -10

D. $\frac{1}{10}$

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{0, 25} (x^{2} - 3 x) = - 1$ là

A. $\{- 4; - 1\}$

B. $\{- 1; 4\}$

C. $\{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}; \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}\}$

D. $\{- 1; 4\}$

Xem đáp án

Có

$\log_{0, 25} (x^{2} - 3 x) = - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = {(0, 25)}^{- 1} = 4 \Leftrightarrow (x - 4) (x + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \end{matrix}$

Chọn đáp án D.

Câu 8:

Trong không gian Oxyz một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{1}$ là

A. $\overset{⇀}{u} (1; - 1; 1)$

B. $\overset{⇀}{u} (2; - 2; 0)$

C. $\overset{⇀}{u} (1; - 1; 0)$

D. $\overset{⇀}{u} (2; - 2; 1)$

Xem đáp án

Có $\overset{⇀}{u_{d}} = (2; - 2; 1)$

Chọn đáp án D.

Câu 9:

Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

A. -1-3i

B. 1+3i

C. -1+3i

D. 1-3i

Xem đáp án

Có z=1+3i

Chọn đáp án B.

Câu 10:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{x} + \sin 8 x$ là

A. $\frac{3^{x}}{\ln 3} - c o s 8 x + C$

B. $\frac{3^{x}}{\ln 3} - \frac{1}{8} c o s 8 x + C$

C. $\frac{3^{x}}{\ln 3} = \frac{1}{8} c o s 8 x + C$

D. $3^{x} \ln 3 - \frac{1}{8} c o s 8 x + C$

Xem đáp án

Có

$\int (3^{x} + \sin 8 x) d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} - \frac{1}{8} c o s 8 x + C$

Chọn đáp án B.

Câu 11:

Trong không gian Oxyz mặt cầu $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3$ có bán kính bằng

A. $\sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{3}$

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Có $I (5; 1; - 2), R = \sqrt{3}$

Chọn đáp án A.

Câu 12:

Biết bốn số 5;x;15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của 3x+2y bằng

A. 50

B. 70

C. 30

D. 80

Xem đáp án

Ta có điều kiện lập cấp số cộng:

$\{\begin{cases} x = \frac{5 + 15}{2} \\ y = \frac{x + y}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 10 \\ y = 20 \end{cases} \Rightarrow 3 x + 2 y = 70$

Chọn đáp án B.

Chú ý ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng $\Leftrightarrow b = \frac{a + c}{2}$

Câu 13:

Số tập con gồm đúng 3 phần tử của tập hợp gồm 10 phần tử bằng

A. $A_{10}^{3}$

B. $3^{10} - 1$

C. $C_{10}^{3}$

D. $3^{10}$

Xem đáp án

Với mỗi cách chọn ra đúng 3 phần tử của tập A ta được một tập con gồm đúng 3 phần tử, nên số tập con cần tìm bằng $C_{10}^{3}$ .

Chọn đáp án C.

Câu 14:

Với mọi số phức z. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. |z| là một số thực

B. |z| là một số phức

C. |z| là một số thực dương

D. |z| là một số thực không âm

Xem đáp án

Với mọi số phức z thì $|z| \geq 0$ và rõ ràng |z| là một số thực, đồng thời cũng là một số phức.

*Tập số thực là con của tập số phức.

Chọn đáp án C.

Câu 15:

Cho a,b là các số thực dương a>1,a#b và thỏa mãn $\log_{a} b = 2$ . Khi đó $\log_{\frac{a}{b}} \sqrt{a b}$ bằng

A. $- \frac{3}{2}$

B. -6

C. $\frac{3}{2}$

D. 0

Xem đáp án

Đổi về cơ số a có

$\log_{\frac{a}{b}} \sqrt{a b} = \frac{\log_{a} \sqrt{a b}}{\log_{a} \frac{a}{b}} = \frac{\frac{1}{2} (1 + \log_{a} b)}{1 - \log_{a} b} = \frac{\frac{1}{2} (1 + 2)}{1 - 2} = - \frac{3}{2}$

Chọn đáp án A.

Câu 16:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = x^{4} - 3 x^{2}$

B. $y = - x {(x - 3)}^{2}$

C. $y = x^{3} + 3 x^{2}$

D. $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Xem đáp án

Đường cong đã cho là đồ thị của hàm đa thức bậc ba qua các điểm (0;0),(1;4),(3;0)

Chọn đáp án D.

Câu 17:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [-3;2] và có bảng biến thiên như sau. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [-1;2] Giá trị của M+m bằng

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta có

$M = f (- 1) = 3, m = f (0) = 0 \Rightarrow M + m = 3$

Chọn đáp án A.

Câu 18:

Cho hàm số $f (x) = a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + ? + k$ . Hàm số y=f '(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Có hàm số xác định trên cả R và f '(x) chỉ đổi dấu khi qua các điểm x=-1;x=1. Vậy hàm số có đúng hai điểm cực trị x=-1;x=1

Chọn đáp án A.

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB=2,AC=4,SA= $\sqrt{5}$ . Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là

A. $R = \frac{5}{2}$

B. $R = 5$

C. $R = \frac{10}{3}$

D. $R = \frac{25}{2}$

Xem đáp án

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông S.ABC đỉnh A là

$R = \sqrt{\frac{A S^{2} + A B^{2} + A C^{2}}{4}} = \frac{5}{2}$

Chọn đáp án A.

Câu 20:

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} . 2^{x + 1} < 72 . 6^{a}$ là

A. $(- \infty; a + 1)$

B. $(- \infty; 2 a)$

C. $(- \infty; a + 2)$

D. $(- \infty; a)$

Xem đáp án

Bất phương trình tương đương với:

$3^{x} . 2^{x + 1} < 72 . 6^{a} \Leftrightarrow 2 . 6^{x} < 2 . 6^{a + 2} \Leftrightarrow 6^{x} < 6^{a + 2} \Leftrightarrow x < a + 2$

Chọn đáp án C.

Câu 21:

Tất cả các nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 5 = 0$ là

A. $\pm 5$

B. $\pm 5 i$

C. $\pm \sqrt{5} i$

D. $\pm \sqrt{5}$

Xem đáp án

Có $x^{2} + 5 = 0 \Leftrightarrow z^{2} = {(\sqrt{5} i)}^{2} \Leftrightarrow z = \pm \sqrt{5} i$

Chọn đáp án C.

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;-4;2) và B(1;2;4). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là

A. 2x-3y-z-20=0

B. 2x-3y-x+8=0

C. 3x-y+3z-13=0

D. 3x-y+3z-25=0

Xem đáp án

Mặt phẳng đi qua điểm A(5;-4;2) và nhận $\overset{⇀}{A B} = (- 4; 6; 2) / / (2; - 3; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$2 (x - 5) - 3 (y + 4) - (z - 2) = 0 \Rightarrow 2 x - 3 y - z - 20 = 0$

Chọn đáp án A.

Câu 23:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-2;4] và có đồ thị như hình bên. Số nghiệm thực của phương trình 3f(x)-5=0 trên đoạn là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Phương trình $f (x) = \frac{5}{3}$ mà $y = \frac{5}{3} \approx 1, 67$ là đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

Do đó PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án C.

Câu 24:

Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng

A. $\int_{1}^{3} 2^{x} d x$

B. $\int_{1}^{3} (2 - 2^{x}) d x$

C. $\int_{1}^{3} (2^{x} - 2) d x$

D. $\int_{1}^{3} (2^{x} + 2) d x$

Xem đáp án

Quan sát hình vẽ có

$S = \int_{1}^{3} |2^{x} - 2| d x = \int_{1}^{3} (2^{x} - 2) d x$

Chọn đáp án C.

Câu 25:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = 4^{x^{2} - 2 x}$ là

A. $2 (x - 1) . 4^{x^{2} - 2 x - 1}$

B. $2 (x - 1) . 4^{x^{2} - 2 x} \ln 2$

C. $4 (x - 1) . 4^{x^{2} - 2 x - 1} \ln 2$

D. $4 (x - 1) . 4^{x^{2} - 2 x} \ln 2$

Xem đáp án

Có

$f' (x) = (x^{2} - 2 x)' . 4^{x^{2} - 2 x} . \ln 4 = (2 x - 2) . 4^{x^{2} - 2 x} . 2 \ln 2 = 4 (x - 1) 4^{x^{2} - 2 x} \ln 2$

Chọn đáp án D.

Câu 26:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

TCN:

là tiệm cận ngang duy nhất;

TCĐ: Hàm số xác định $\Leftrightarrow f (x) - 1 # 0 \Leftrightarrow f (x) # 1$

(vì đồ thị f(x) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm có hoành độ lần lượt x=a<-2;x=0;x=b>2).

Có

$\Rightarrow x = a; x = 0; x = b$ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ có tổng 4 đường tiệm cận đứng và ngang.

Chọn đáp án B.

Câu 27:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường ngoại tiếp tam giác BCD. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của (N)

A. $S_{x q} = 6 {πa}^{2}$

B. $S_{x q} = 3 \sqrt{3} {πa}^{2}$

C. $S_{x q} = 12 {πa}^{2}$

D. $S_{x q} = 6 \sqrt{3} {πa}^{2}$

Xem đáp án

Ta có

Và vậy

Chọn đáp án B.

Câu 28:

Tính thể tích V của khối chóp lục giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp đôi cạnh đáy

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$

B. $V = \frac{a^{3}}{4}$

C. $V = \frac{9 a^{3}}{2}$

D. $V = \frac{3 a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Ta có

và

nên

Chọn đáp án D.

Câu 29:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích $V = 6 a^{3}$ đáy ABCD là hình thang với hai đáy AD và BC thỏa mãn AD=2BC diện tích tam giác SCD bằng $\sqrt{34} a^{2}$ ( thao khảo hình vẽ). Khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SCD) bằng

A. $\frac{3 \sqrt{34}}{34} a$

B. $\frac{3 \sqrt{34}}{17} a$

C. $\frac{\sqrt{34}}{17} a$

D. $\frac{9 \sqrt{34}}{34} a$

Xem đáp án

Theo công thức tính thể tích chóp có

Chọn đáp án B.

Câu 30:

Trong không gian Oxyz véctơ $\overset{⇀}{u}$ vuông góc với hai véctơ $\overset{⇀}{a} (1; 1; 1)$ và $\overset{⇀}{b} = (1; - 1; 3)$ đồng thời $\overset{⇀}{u}$ tạo với tia Oz một góc tù và độ dài véctơ $\overset{⇀}{u}$ bằng 3. Tìm độ dài véctơ $\overset{⇀}{u}$

A. $(\sqrt{6}; - \frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2})$

B. $(\sqrt{6}; \frac{\sqrt{6}}{2}; - \frac{\sqrt{6}}{2})$

C. $(- \sqrt{6}; \frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2})$

D. $(- \sqrt{6}; - \frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2})$

Xem đáp án

Ta có

Do

$\Leftrightarrow k = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Mặt khác $\overset{⇀}{u}$ tạo với tia Oz một góc tù nên

vậy $\Leftrightarrow k = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Vậy $(\sqrt{6}; - \frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2})$

Chọn đáp án A.

Câu 31:

Biết rằng phương trình $\log_{2}^{3} {(x + 2 π)}^{2} + \log_{2 a^{2} + 2} {(x + a)}^{2} = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt $x_{1}, x_{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. ${(x_{1} + x_{2})}^{2} = 4$

B. $x_{1} x_{2} = a^{2}$

C. ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = 4$

D. $x_{1} x_{2} = 16 a^{2} - 1$

Xem đáp án

Đổi về cơ số tự nhiên, phương trình tương đương với:

Chọn đáp án C.

Câu 32:

Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền lãi ít nhất bằng số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra ?

A.12 năm

B. 11 năm

C. 10 năm

D. 13 năm

Xem đáp án

Số tiền gửi ban đầu là A thì số tiền người đó thu về (cả gốc và lãi) sau n năm là $A {(1 + 0, 061)}^{n}$ và số tiền lãi người đó thu về là $A {(1 + 0, 061)}^{n} - A$

Ta cần tìm n nhỏ nhất sao cho

$A {(1 + 0, 061)}^{n} - A \geq A \Leftrightarrow {(1, 061)}^{n} \geq 2 \Leftrightarrow n \geq \log_{1, 061} 2 \approx 11, 7062$

Vậy sau ít nhất 12 năm người này sẽ thu về số tiền lãi ít nhất bằng số tiền ban đầu.

Chọn đáp án A.

Câu 33:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R\{0} thỏa mãn $f' (x) + \frac{f (x)}{x} = x^{2}$ và f(1)=1 Giá trị của $f (\frac{3}{2})$ bằng

A. $\frac{1}{96}$

B. $\frac{1}{64}$

C. $\frac{1}{48}$

D. $\frac{1}{24}$

Xem đáp án

Có

Vì

Chọn đáp án A.

Câu 34:

Người ta thả một viên bi sắt có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi sắt đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong lòng cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên bi sắt đó bằng

A. 4,2cm

B. 3,6cm

C. 2,6cm

D. 2,7cm

Xem đáp án

Thể tích khối nước trong cốc là

Thể tích của khối cầu là $\frac{4}{3} {πR}^{3}$

Sau khi thả viên bi, chiều cao của mực nước bằng đường kính khối cầu nên tổng thể tích của nước và khối cầu là

vậy R=2,7cm.

Chọn đáp án D.

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{1}$ và mặt phẳng $(α) : x + y + z - 2 = 0$ Đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(α)$ , đồng thời vuông góc và cắt đườn thẳng d có phương trình là

A. $∆_{3} : \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 5}{1}$

B. $∆_{1} : \frac{x + 2}{- 3} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z + 4}{3}$

C. $∆_{2} : \frac{x - 22}{1} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{3}$

D. $∆_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{1}$

Xem đáp án

Đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương $\overset{⇀}{u} = (1; 2; 1)$

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overset{⇀}{n} = (1; 1; - 1)$

- Gọị B là giao điểm của đườn thẳng d và mặt phẳng (P) cho B(2;4;4)

- Vì đường thẳng cần tìm $∆$ nằm trong mặt phẳng $(α)$ , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d cho nên đường thẳng $∆$ đi qua điểm B(2;4;4) và có vectơ chỉ phương

$\overset{⇀}{u_{∆}} = [\overset{⇀}{u}; \overset{⇀}{n}] = (- 3; 2; - 1) \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = 4 + 2 t \\ z = 4 - t \end{cases}$

- Đối chiếu đáp án ta thấy đường thẳng $∆_{3}$ của đáp án A có cùng véctơ chỉ phương và đi qua điểm
M(5;2;5) thuộc $∆ : \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = 4 + 2 t \\ z = 4 - t \end{cases}$

Chọn đáp án A.

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3$ và hai đường thẳng $d x : \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{- 1}, ∆ : \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính bằng 1 và song song với d và $∆$ .

A. y+z+3=0

B. x+y+1=0

C. x+z-1=0

D. x+z+1=0

Xem đáp án

Mặt cầu (S)có tâm I(-1;1;2), $R = \sqrt{3}$ .

Có $\overset{⇀}{n p} = [\overset{⇀}{u_{d}}; \overset{⇀}{u_{∆}}] = (- 1; 0; - 1)$

$\Rightarrow (P); x + z + m = 0$

Mặt khác

Chọn đáp án D.

Câu 37:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in R)$ thỏa mãn $2 | z | + \sqrt{3} i z = 4$ Tính $S = a b$

A. $S = \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $S = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$

D. $S = - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Ta có

Khối đó $S = - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Chọn đáp án D.

Cách 2: Ta có

Lấy môđun 2 vế có

Thay ngược lại đẳng thức có

Chọn đáp án D.

Câu 38:

Bất phương trình $\log_{2}^{2} x - (2 m + 5) \log_{2} x + m^{2} + 5 + 4 < 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in [2; 4)$ khi và chỉ khi

A. $m \in [0; 1)$

B. $m \in [- 2; 0)$

C. $m \in (0; 1]$

D. $m \in (- 2; 0]$

Xem đáp án

Có yêu cầu bài toán tương đương với:

$\log_{2}^{2} x - (2 m + 5) \log_{2} x + m^{2} + 5 m + 4 < 0 \forall x \in [2; 4)$

$\Leftrightarrow m \in [- 2; 0)$

Chọn đáp án B.

*Chú ý bấm máy phương trình bậc hai

có hai nghiệm

Chọn đáp án B.

Câu 39:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x).f '(x)=1 với mọi $x \in ℝ$ Biết $\int_{1}^{2} f (x) d x = a$ và f(1)=b,f(2)=c. Tích phân $\int_{1}^{2} \frac{x}{f (x)} d x$ bằng

A. 2c-b-a

B. 2a-b-c

C. 2c-b+a

D. 2a-b+c

Xem đáp án

Vì

nên tích phân cần tính bằng tích phân từng phần

Ta có

=2c-b-a

Chọn đáp án A.

Câu 40:

Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có năm ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ và bất kì hai học sinh ngồi liền kề nhau thì khác phái bằng

A. $\frac{4}{315}$

B. $\frac{1}{252}$

C. $\frac{1}{630}$

D. $\frac{1}{126}$

Xem đáp án

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh có 10! cách. Ta tìm số cách xếp thoả mãn

Đánh số ghế lần lượt từ 1 đến 10.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10

Nam xếp ghế lẻ, nữ xếp ghế chẵn có 5!5! cách

Nam xếp ghế chẵn, nữ xếp ghế lẻ có 5!5! cách

Vậy có tất cả 5!5!+5!5!cách xếp. Xác suất cần tính bằng $\frac{5! 5! + 5! 5!}{10!} = \frac{1}{126}$

Chọn đáp án D.

Cách 2: Chia thành 5 cặp ghế đối diện:

Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 1 có $C_{5}^{1} C_{5}^{1} 2!$ cách

Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 2 có $C_{4}^{1} C_{4}^{1}$ cách;

Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 2 có $C_{3}^{1} C_{3}^{1}$ cách;

Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 2 có $C_{2}^{1} C_{2}^{1}$ cách;

Cặp nam và nữ còn lại xếp vào cặp ghế 5 có 1 cách.

Vậy có tất cả ${(C_{5}^{1} C_{4}^{1} C_{3}^{1} C_{2}^{1})}^{2} 2! = 2 {(5!)}^{2}$ cách xếp thoả mãn.

Xác suất cần tính bằng $\frac{2 {(5!)}^{2}}{10!} = \frac{1}{216}$

Chọn đáp án D.

Câu 41:

Cho hàm số f(x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ là

A. [-4;-2]

B. [-4;0]\{2}

C. [-4;-2)

D. (-4;-2]

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x \in (0; 1], \forall x \in (0; π)$ Phương trình trở thành: f(t)=m(1)

Ta cần tìm m để (1) có nghiệm thuộc khoảng $(0; 1] \Leftrightarrow - 4 \leq m < - 2$

Chọn đáp án C.

Câu 42:

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật $A B = \sqrt{2} a, A D = 2 a$ , SA vuông góc với đáy và $S A = \sqrt{2} a$ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD( tham khảo hình vẽ). Côsin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC) bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Chọn gốc toạ độ tại A. Các tia Ox; Oy; Oz lần lượt trùng với các tia AD, AB, AS ta có tọa độ điểm là A(0;0;0); D(2;0;0); $B (0; \sqrt{2}; 0); S (0; 0; \sqrt{2});$ $C (2; \sqrt{2}; 0); M (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}); N (1; 0; 0)$

Do vậy

và

Chọn đáp án B.

Câu 43:

Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x^{4} - 38 x^{2} + 120 x + 4 m|$ trên đoạn [0;2] đạt giá trị nhỏ nhất

A. 26

B. 13

C. 14

D. 27

Xem đáp án

Xét $u = |x^{4} - 38 x^{2} + 120 x + 4 m|$ trên đoạn [0;2] ta có

Vậy

Khi đó

$\Leftrightarrow - 26 \leq m \leq 0$

Có 27 số nguyên thoả mãn.

Chọn đáp án D.

Câu 44:

Biết rằng đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - \frac{1}{x}$ có ba điểm cực trị thuộc một đường tròn (C) Bán kính của gần với giá trị nào dưới đây ?

A. 12,4

B. 6,4

C. 4,4

D. 11,4

Xem đáp án

Toạ độ ba điểm cực trị là nghiệm của hệ

Cộng lại theo vế có:

Khi đó

Mặt khác từ (1) có $x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0$ ta có biến đổi:

Biến đổi $\frac{1}{4} (13 x^{2} - 9 x + 45)$ theo $y = \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$

Ta có

Vậy

Vậy ba điểm cực trị cùng thuộc đường tròn có phương trình (*) và bán kính của đường tròn này là

$= \frac{\sqrt{23797}}{24} \approx 6, 4$

Chọn đáp án B.

*Mẹo trắc nghiệm giải phương trình (1) sau khi quy đồng là phương trình bậc ba bấm máy phương trình bậc ba có ba nghiệm lẻ lưu vào các biến nhớ A – B – C.

Khi đó toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là

Sau đó tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có toạ độ các đỉnh như trên.

Câu 45:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = {(x - 3)}^{2}$ trục hoành và trục tung. Gọi $k_{1}, k_{2} (k_{1}, k_{2})$ lần lượt là hệ số góc của đường thẳng qua điểm A(0;9) và chia (H) thành ba hình mặt phẳng có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ bên). Giá trị của $k_{1} - k_{2}$ bằng

A. $\frac{13}{2}$

B. 7

C. $\frac{25}{4}$

D. $\frac{27}{4}$

Xem đáp án

Có (H):

Xét

Vậy

Chọn đáp án D

Câu 46:

Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = \frac{1}{2} m^{2} x^{5} - \frac{1}{3} m x^{3} + 10 x^{2} - (m^{2} - m - 20) x + 1$ đồng biến trên $ℝ$ bằng

A. $\frac{5}{2}$

B. -2

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Có

ĐK cần: Để ý g(x)=0 có một nghiệm x=-1 do vậy $g (x) \geq 0, \forall x$ thì trước tiên g(x) không đổi dấu khi qua điểm x=-1 tức g(x)=0 có nghiệm kép

Điều kiện đủ: Bước tiếp theo cần thử lại:

+) Với

Vậy là các giá trị cần tìm.

Chọn đáp án C.

*Chú ý bước thử lại các em nên dùng máy CASIO 580 hoặc VINACAL 570 EXPLUS giải bất phương trình bậc bốn để kiểm tra cho nhanh.

Câu 47:

Cho khối chóp tam giác SABC có AB=AC=a, $∠ B A C = 120 °, ∠ S B A = S C A = 90 °$ . Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng $60 °$ . Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{a^{3}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Hạ $S D ⊥ (A B C)$ Ta có:

$\Rightarrow B A ⊥ D B \Rightarrow ∠ D B C = 60 °$ Tương tự ta có

$\Rightarrow C A ⊥ D C \Rightarrow ∠ C D B = 60 °$

Do đó $∆ C B D$ đều cạnh

Vậy

Chọn đáp án B.

Câu 48:

Có bao nhiêu số thực m để đường thẳng y=(m-6)x-4 cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} - 3 x - 1$ tại ba điểm phân biệt có tung độ $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ thỏa mãn $\frac{1}{y_{1} + 4} + \frac{1}{y_{2} + 4} + \frac{1}{y_{3} + 4} = \frac{2}{3}$

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm:

Gọi $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ là ba nghiệm phân biệt của phương trình này ta có

và tung độ các giao điểm là $y_{1} = (m - 6) x_{1} - 4;$ $y_{2} = (m - 6) x_{2} - 4;$ $y_{3} = (m - 6) x_{3} - 4;$ Vậy điều kiện bài toán:

Thử lại có 3 nghiệm hân biệt nên m = 9 thỏa mãn.

Chọn đáp án D.

*Phương trình $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ có ba nghiệm $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thì

Câu 49:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 4$ Xét hai điểm M,N di động trên (S) sao cho MN=1 Giá trị nhỏ nhất của $O M^{2} - O N^{2}$ bằng

A. $- 10$

B. $- 4 - 3 \sqrt{5}$

C. $- 5$

D. $- 6 - 2 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Xét điểm M(x;y;z), N(a;b;c) ta có

Lấy (1) – (2) theo vế có:

Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacopski) và (3) ta có

=-10

Dấu bằng đạt tại

Chọn đáp án A.

*Một cách tương tự mở rộng cho min –max của $α O M^{2} + β O N^{2}$ .

Câu 50:

Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z, \frac{1}{z}$ và $z + \frac{1}{z}$ Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của bằng ${|z + \frac{1}{z}|}^{2}$