Tổng hợp đề thi thử môn Toán cực hay có lời giải chi tiết mới nhất
Tổng hợp đề thi thử môn Toán cực hay có lời giải chi tiết mới nhất xyz - đề 8
-
2353 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 2:
Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SN bằng
Chọn B.
Gọi E là trung điểm của MC. Qua A kẻ một đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng NE tại K.
Ta dễ chứng minh được nên . Tam giác SAKvuông ở A và có AH là đường cao nên
Câu 3:
Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x bằng
Chọn C.
Áp dụng kết quả cơ bản
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Câu 4:
Giá trị của giới hạn bằng
Chọn C.
Chú ý kết quả cơ bản với . Gọi L là giá trị của giới hạn cần tìm. Thế thì
Câu 5:
Cho tứ diện OABC có các góc tại đỉnh O đều bằng và , . Gọi G là trọng tâm của tứ diện. Thể tích của khối tứ diện GABC bằng
Chọn D.
Gọi G1 là trọng tâm của tam giác ABC, H và K lần lượt là hình chiếu của O và G trên mặt phẳng (ABC). Khi đó
Câu 6:
Một cuộc họp có sự tham gia của 5 nhà Toán học trong đó có 3 nam và 6 nữ, 6 nhà Vật lý trong đó có 3 nam và 3 nữ và 7 nhà Hóa học trong đó có 4 nam và 3 nữ. Người ta muốn lập một ban thư kí gồm 4 nhà khoa học với yêu cầu phải có đủ cả ba lĩnh vực ( Toán, Lý, Hóa ) và có cả nam lẫn nữ. Nếu mọi người đều bình đẳng như nhau thì số cách lập một ban thư kí như thế là
Chọn C.
Số cách chọn 4 nhà khoa học mà có đủ cả ba lĩnh vực là
Số cách chọn 4 nhà khoa học nam mà có đủ cả ba lĩnh vực là
Số cách chọn 4 nhà khoa học nữ mà có đủ cả ba lĩnh vực là
Vậy số cách lập một ban thư kĩ thỏa mãn yêu cầu là:
Câu 7:
Số hạng không chứa x trong khai triển bằng
Ta có
Từ đây ta cho thì tìm được 5 cặp (i, k) thỏa mãn là (0,0), (2,1), (4,2), (6,3), (8,4). Vậy số hạng không chứa x là
Chọn A.
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho điểm M( a, b, c ). Gọi A, B, C theo thứ tự là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (yOz), (zOx), (xOy). Trọng tâm của tam giác ABC là
Chọn B.
Dễ thấy các điểm A, B, C có tọa độ là A(-a, b, c), B(a, -b, c), C(a, b, -c). Thế thì tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC sẽ là
Câu 9:
Cho hàm số với m là một tham số thực. Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
Chọn A.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho cũng chính là số điểm cực trj của hàm . Dựa vào tính chất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối chúng ta dễ dàng vẽ được đồ thị của hàm như hình bên. Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số này có 5 điểm cực trị.
Câu 10:
Một nhóm học sinh gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành 1 hàng. Xác suất để có đúng 2 trong 4 bạn nữ đứng cạnh nhau là
Chọn D.
Chọn 2 bạn nữ trong 4 bạn thì có cách. Ta “buộc” hai bạn này vào nhau coi như một bạn nữ thông thường. Có 2 cách để “buộc” như thế ( vì có thể là ab hoặc ba). Lúc này nhóm học sinh gồm có 6 bạn nam và 3 bạn nữ ( trong đó có 1 bạn nữ “đặc biệt”). Ta xếp vị trí cho các bạn nam trước thì có 6! Cách. Giữa các bạn nam có 5 vị trí xen kẽ với 2 vị trí đầu hàng và cuối hàng bây giờ ta xếp 3 bạn nữ vào 3 trong 7 vị trí kia thì có cách. Vậy xác xuất cần tìm bằng
Câu 11:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ M đến các mặt của khối tứ diện là
Chọn B.
Gọi x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Ta có
Cộng lại ta thu được (chú ý rằng)
với h là độ dài đường cao của tứ diện đều ABCD. Ta có
Câu 13:
Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình chóp tứ giác là
Chọn C.
Giả sử S.ABCD là hình chóp tứ giác. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các đoạn SA, SB, SC, SD và M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các đoạn AB, BC, CD, DA. Khi đó các mặt phẳng sau đây có tính chất cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp (A’B’C’D’), (A’B’NQ), (C’D’QN), (A’D’PM), (B’C’PM). Vậy có tất cả 5 mặt phẳng.
Câu 14:
Cho tứ diện SABC có trọng tâm G. Một mặt phẳng qua G cắt các tia SA, SB và SC theo thứ tự tại A’, B’ và C’. Đặt .Đẳng thức nào dưới đây là đúng
Gọi là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó
So sánh hai đẳng thức trên ta suy ra
Nhưng do là ba vecto không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi
Từ đây và do ta thu được
Chọn C.
Câu 15:
Giá trị của tổng bằng
Chọn D.
Gọi S là tổng cần tính. Từ công thức khai triển nhị thức Newton chúng ta dễ dàng thấy
Câu 16:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên cũng bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và BC. Góc giữa MN và SC bằng
Chọn A.
Gọi K là trung điểm của SD. Dễ thấy tứ giác MNCK là hình bình hành. Suy ra MN // CK. Do đó góc giữa MN và SC chính là . Tam giác SCD đều có CK là trung tuyến nên
Từ đó
Câu 19:
Cho z là một số phức khác 0. Miền giá trị của là
Chọn D.
Đặt
Thế thì
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Mặt khác
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc
Như vậy ta có
Câu 20:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng
Chọn A.
Ta viết lại hàm số đã cho thành
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Câu 21:
Phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng : và : là
có vecto chỉ phương là tương ứng với có . Gọi (P) là mặt phẳng cách đều và thì (P) có một vecto pháp tuyến là
Lấy điểm
Trung điểm đoạn AB là. (P) đi qua I nên có phương trình là
Chọn C.
Câu 23:
Điều kiện cần và đủ để là phương trình của một mặt cầu
Chọn D.
Phương trình đã cho có thể viết lại thành
Phương trình này là phườn trình của một mặt cầu khi và chỉ khi
Câu 24:
Trên giá sách có 20 cuốn sách. Số cách lấy ra 3 cuốn sao cho giữa 2 cuốn lấy được bất kì luôn có ít nhất hai cuốn không được lấy là
Chọn A.
Gọi tương ứng là vị trí của 3 cuốn sách được lấy. Để giữa 2 cuốn lấy được bất kì luôn có ít nhất 2 cuốn không được lấy thì điều kiện cần và đủ là và . Tức là . Như vậy số cách lấy ra 3 cuốn sách thỏa mãn yêu cầu chính là số cách lấy ra 3 số nguyên dương trong 16 số( từ 5 đến 20 có tất cả 16 số) và bằng .
Câu 25:
Một hình lăng trụ có tổng số đỉnh và số cạnh bằng 200 thì có số đỉnh là
Chọn B.
Ta biết rằng số đỉnh của hình lăng trụ luôn là một số chẵn. Giả sử một hình lăng trụ có 2n đỉnh. Khi đó số cạnh của hình lăng trụ sẽ bằng 3n. Theo bài ra ta có . Vậy lăng trụ đó có 80 đỉnh.
Câu 26:
Giá trị của tổng ( ở đó ) bằng
Chọn A.
Gọi S là tổng cần tính. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân ta có
Câu 27:
Cho hàm số . Giá trị của bằng
Chọn D.
Trước hết ta viết lại hàm số đã cho thành
Áp dụng kết quả này ta được
Câu 28:
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn là
Chọn C.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và E là điểm thỏa mãn
(điểm E như thế luôn tồn tại duy nhất). Khi đó đẳng thức trên tương đương với hay . Trên đường thẳng GE ta lấy 2 điểm P, Q thỏa mãn . Khi đó quỹ tích điểm M thỏa mãn yêu cầu là đường tròn đường kính PQ.
Câu 30:
Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất khi m bằng
Chọn B.
Để đồ thị có 2 điểm cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt. Ta tìm được điều kiện hoặc . Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị có phương trình là
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng này là
(*)
Khi thì . Khi thì (*) là phương trình bậc 2 của m. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm là
Câu 31:
Thể tích khối trụ nội tiếp một mặt cầu có bán kính R không đổi có thể đạt giá trị lớn nhất bằng
Chọn A.
Gọi r, h, V tương ứng là bán kính đáy, chiều cao và thể tích của khối trụ. Ta dễ dàng thấy
Và từ đó
Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Câu 33:
Gieo một con súc sắc năm lần liên tiếp. Xác suất để tích các số chấm xuất hiện ở năm lần gieo đó là một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 là
Chọn B.
Để tích các số chấm xuất hiện ở năm lần gieo là một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì phải có ít nhất một lần ra mặt 5 chấm và các mặt khác ra mặt lẻ. Do đó xác suất cần tìm bằng
Câu 34:
Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz, cho hai điểm A(3, 2, 1) và . Điểm M thuộc mặt phẳng (xOy) sao cho lớn nhất là
Chọn B.
Dễ thấy A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (xOy). Gọi B’ là điểm đối xừng với B qua (xOy). Thế thì và . Khi đó
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A, B’ thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB’. Như vậy M cần tìm là giao điểm của đường thẳng AB’ và mặt phẳng (xOy). Đường thẳng AB có phương trình
Từ đó tìm được M(5, 1, 0).
Câu 35:
Hình vuông nội tiếp elip (E) có phương trình thì có diện tích bằng
Chọn A.
Giả sử ABCD là hình vuông nội tiếp elip
Khi đó các đỉnh A, B, C, D phải nằm trên một trong hai đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ 2. Giả sử A(m, m) với . Khi đó và
Câu 38:
Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình và điểm . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Phương trình của (P) là
Chọn A.
Dễ dàng kiểm tra được điểm A nằm trong khối cầu (S). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trong có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O của (S) tới (P) là lớn nhất. Mà và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A là hình chiếu của O trên (P). Khi đó (P) sẽ nhận làm vectơ pháp tuyến. Vậy
Câu 39:
Số mặt đối xứng của một hình chóp tứ giác đều là
Chọn D.
Giả sử S.ABCD là chóp tứ giác đếu. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, BC, CD, DA. Khi đó các mặt phẳng sau đây đều là mặt phẳng đối xứng của hình chóp:
Vậy có tất cả 4 mặt phẳng đối xứng.
Câu 40:
Một túi đựng 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Xác suất để tích của hai số ghi trên hai tấm thẻ rút được là một số chia hết cho 4 bằng
Chọn B.
Số cách rút hai thẻ chẵn là . Số cách rút ra hai thẻ trong đó có một thẻ ghi số chia hết cho 4 còn thẻ kia ghi số lẻ là .
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 41:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có và , , . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Độ dài đoạn SG bằng
Chọn D.
Theo một kết quả cơ bản của hình học vectơ ta có
Câu 42:
Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số . Khi đó bằng
Câu A.
Đặt thì và .
Hàm số đã cho trở thành
Bằng cách lập bảng biên thiên của hàm số này trên đoạn ta dễ dàng tìm được
Câu 43:
Kí hiệu M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số . Khi đó bằng
Chọn C.
Dễ thấy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc
Do đó
Câu 44:
Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxy cho hai điểm A(1, a) và B( -a, 2). Diện tích tam giác OAB có thể đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Chọn B.
Đường thẳng AB có phương trình là
Khoảng cách từ O tới đường thẳng AB bằng
Diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi
Câu 45:
Số các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần là
Chọn C.
· TH1: Số tự nhiên đó không có chữ số 0. Khi đó ta chọn 5 chữ số từ các chữ số 1, 2, …., 9 thì có cách. Có 2 cách sắp xếp các chữ số này theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Suy ra trường hợp này có số.
· TH2: Số tự nhiên đó có chữ số 0. Khi đó 0 phải ở vị trí cuối cùng và các chữ số sẽ theo thứ tự giảm dần. Suy ra trường hợp này có . Như vậy có tất cả là số
Câu 46:
Giả sử là một nghiệm ( phức ) của phương trình trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Thế thì nhỏ nhất bằng
Chọn B.
Đặt
Điều này chứng tỏ z là một nghiệm (phức) của phương trình
Từ đó suy ra
Câu 47:
Điều kiện của tham số m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm là
Chọn C.
Đặt
phương trình trở thành
Bằng cách lập bảng biên thiên của hàm trên khoảng chúng ta dễ dàng thấy rằng phương trình có nhiều hơn một nghiệm (chính xác hơn là có hai nghiệm) khi và chỉ khi
Câu 48:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và bằng
Chọn C.
Gọi S là diện tích của miền cần tính. Từ hình vẽ và do tính đối xứng ta có
Câu 49:
Số các giá trị nguyên dương của k thỏa mãn có 100 chữ số khi viết trong hệ thập phân là
Chọn C.
Vì có 100 chữ số nên
Tức là có 4 giá trị nguyên dương của k thỏa mãn.