Ta có: 3cosx + 2 = 0

      $\Leftrightarrow \cos x = - \frac{2}{3}$.

Đường thẳng $y = - \frac{2}{3}$ và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng $y = - \frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ tại 4 điểm A, B, C, D.

Vậy phương trình 3cosx + 2 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$.

\(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi + \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi$ và $x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi$ với k ∈ ℤ

$\cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} = - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}$ và $x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}$ với k ∈ ℤ

sin3x – cos5x = 0

Û sin3x = cos5x

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos 5x$

$\Leftrightarrow \cos 5x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}$ và $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ với k ∈ ℤ

${\cos ^2}x = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi$ với k ∈ ℤ

$\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0$

 $\Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0$ (do $\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$ và $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$)

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,$với k ∈ ℤ

sinx + cosx = 0

Û cosx = ‒sinx

Û cosx = sin(‒x)

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( { - x} \right)} \right]$

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ với k ∈ ℤ.

Để độ sâu của mực nước là 15 m thì:

$h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 15$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow t = - \frac{6}{\pi }\,\, + 12k\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do 0 ≤ t < 24 nên $0 \le - \frac{6}{\pi }\,\, + 12k\, < 24$

                           $\Leftrightarrow \frac{6}{\pi } \le 12k < 24 + \frac{6}{\pi }$

                           $\Leftrightarrow \frac{1}{{2\pi }} \le k < 2 + \frac{1}{{2\pi }}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì $t = - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 10,09$ (giờ);

Với k = 2 thì $t = - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 22,09$ (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

$h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 9$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do 0 ≤ t < 24 nên $0 \le 6 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24$

                           $\Leftrightarrow - 6 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 18 + \frac{6}{\pi }$

                           $\Leftrightarrow - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{3}{2} + \frac{1}{{2\pi }}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì $t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12.0 \approx 4,09$ (giờ);

Với k = 1 thì $t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 16,09$ (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

Để độ sâu của mực nước là 10,5 m thì:

$h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 10,5$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\,\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (1) ta có: $0 \le 4 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24$

                                            $\Leftrightarrow - 4 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 20 + \frac{6}{\pi }$

                                           $\Leftrightarrow - \frac{1}{3} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{5}{3} + \frac{1}{{2\pi }}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì $t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12.0 \approx 2,09$ (giờ);

Với k = 1 thì $t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 14,09$ (giờ).

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (2) ta có: $0 \le - 4 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24$

                                            $\Leftrightarrow 4 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 28 + \frac{6}{\pi }$

                                           $\Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{7}{3} + \frac{1}{{2\pi }}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì $t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 6,09$ (giờ);

Với k = 2 thì $t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 18,09$ (giờ).

Hai vị trí O và A là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có: y = 0

$\Leftrightarrow 4,8.\sin \frac{x}{9} = 0$

$\Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{9} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = 9k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số $y = 4,8.\sin \frac{x}{9}$ cắt trục hoành tại điểm O và A liên tiếp nhau với x ≥ 0.

Xét k = 0, ta có x₁ = 0;

Xét k = 1, ta có x₂ = 9π.

Mà x₁ = 0 nên đây là hoành độ của O, do đó x₂ = 9π là hoành độ của điểm A.

Khi đó OA = 9π ≈ 28,3.

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

Do sà lan có độ cao 3,6 m so với mực nước sông nên khi sà lan đi qua gầm cầu thì ứng với y = 3,6.

$\Leftrightarrow 4,8.\sin \frac{x}{9} = 3,6$

$\Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{9} \approx 0,848 + k2\pi \\\frac{x}{9} \approx \pi - 0,848 + k2\pi \end{array} \right.$

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp  ta được kết quả gần đúng là 0,848)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 7,632 + 18k\pi \\x \approx 9\pi - 7,632 + 18k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Xét k = 0, ta có x₁ ≈ 7,632; x₂ ≈ 20,642.

Ta biểu diễn các giá trị x vừa tìm được trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số $y = 4,8.\sin \frac{x}{9}$ như sau:

Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng BC trên hình vẽ.

Mà BC ≈ 20,642 – 7,632 = 13,01 (m) < 13,1 (m).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:

Khi đó QP = 9; OA = 28,3 và OQ = PA.

Mà OQ + QP + PA = OA

Þ OQ + 9 + OQ ≈ 28,3

Þ OQ ≈ 9,65

Khi đó ${y_M} = 4,8.\sin \frac{{{x_M}}}{9} = 4,8.\sin \frac{{OQ}}{9} \approx 4,8.\sin \frac{{9,65}}{9} \approx 4,22$ (m) < 4,3 (m).

Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.