Với x ≥ 0, xét hàm số \[y = 2,5\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2\]

                                      \[ = - 2,5\sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2\pi x} \right) + 2\]

                                      \[ = - 2,5\cos \left( {2\pi x} \right) + 2\]

Khi đó h = |y| = |‒2,5cos2πx + 2|.

Vậy khoảng cách h phụ thuộc vào thời gian quay x theo công thức h = |‒2,5cos2πx + 2|.

Xét hàm số f(x) = x².

• Với x ∈ ℝ, ta có: f(‒x) = (‒x)² = x².

Do đó f(‒x) = f(x).

• Trục đối xứng của (P) là đường thẳng x = 0, hay chính là trục Oy.

Xét hàm số g(x) = x.

• Với x ∈ ℝ, ta có: g(‒x) = ‒x và ‒g(x) = ‒x.

Do đó g(‒x) = ‒g(x).

• Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của đường thẳng d.

Xét hàm số g(x) = x³ có tập xác định D = ℝ.

∀x ∈ ℝ thì ‒x ∈ ℝ, ta có: g(‒x) = (‒x)³ = ‒x³ = ‒g(x).

Do đó hàm số g(x) = x³ là hàm số lẻ.

Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

f(x) = x² + x; g(x) = 2x³ – 3x²; …

Ta có f(x₀ + T) = f(x₀);

              f(x₀ − T) = f(x₀).

Ví dụ về hàm số tuần hoàn:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

Ta thấy, hàm số xác định trên ℝ. Xét một số thực tùy ý.

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.

Giả sử tung độ của điểm M là y.

Thay từng giá trị của x vào hàm số y = sinx ta có bảng sau:

Lấy thêm một số điểm (x; sinx) với x ∈ [‒π; π] trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] (hình vẽ).

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên ℝ được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Tập giá trị của hàm số y = sinx là [‒1; 1].

Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = sinx trên ℝ.

‒ Xét hàm số f(x) = y = sinx trên ℝ, với T = 2π và x ∈ ℝ ta có:

   • x + 2π ∈ ℝ và x – 2π ∈ ℝ;

   • f(x + 2π) = f(x)

Do đó hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right);\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right);...\)

Ta có: \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} - 2\pi ;\frac{\pi }{2} - 2\pi } \right)\);

            \[\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} + 2\pi ;\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right)\];

             …

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) với k ∈ ℤ.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{2}} \right);\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right);\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right);...\)

Ta có: \[\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right) = \left( {\frac{\pi }{2} - 2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} - 2\pi } \right)\];

             …

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\) với k ∈ ℤ.

Do \(\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{2}} \right) = \left( {\frac{\pi }{2} - 4\pi ;\frac{{3\pi }}{2} - 4\pi } \right) = \left( {\frac{\pi }{2} + \left( { - 2} \right).2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + \left( { - 2} \right).2\pi } \right)\) nên hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{2}} \right)\).

Giả sử hoành độ của điểm M là y.

Khi đó ta có cosx = y.

Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cosx ta có bảng sau:

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Tập giá trị của hàm số y = cosx là [‒1; 1].

Trục tung là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ.

‒ Xét hàm số f(x) = y = cosx trên ℝ, với T = 2π và x ∈ ℝ ta có:

   • x + 2π ∈ ℝ và x – 2π ∈ ℝ;

   • f(x + 2π) = f(x)

Do đó hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

Quan sát đồ thị hàm số y = cosx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (‒3π; ‒2π); (‒π; 0); (π; 2π); …

Ta có: (‒3π; ‒2π) = (‒π ‒ 2π; 0 ‒ 2π);

             (π; 2π) = (‒π + 2π; 0 + 2π);

             …

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (‒π + k2π; k2π) với k ∈ ℤ.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (‒2π; ‒π); (0; π); (2π; 3π); …

Ta có: (‒2π; ‒π) = (0 ‒ 2π; π ‒ 2π);

             (2π; 3π) = (0 + 2π; π + 2π);

             …

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ∈ ℤ.

Do (‒2π; ‒π) = (0 – 2π; π – 2π) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒2π; ‒π).

Nếu cosx ≠ 0, tức \[x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\] hay x ∈ D thì ta có: \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).

Thay từng giá trị của x vào hàm số y = tanx ta có bảng sau:

Lấy thêm một số điểm (x; tanx) với \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) (hình vẽ).

 

Làm tương tự như trên đối với các \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\], …, ta có đồ thị hàm số y = tanx trên D được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Tập giá trị của hàm số y = tanx là ℝ.

Gốc toạ độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = tanx.

Do đó hàm số y = tanx là hàm số lẻ.

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).

 Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = tanx trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

‒ Xét hàm số f(x) = y = tanx trên \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\], với T = π và x ∈ D ta có:

   • x + π ∈ D và x – π ∈ D;

   • f(x + π) = f(x)

Do đó hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π.

Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29, ta thấy: đồ thị hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right);\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right);...\)

Ta có: \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} - \pi ;\frac{\pi }{2} - \pi } \right);\)

            \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} + \pi ;\frac{\pi }{2} + \pi } \right);\)

            …

Do đó ta có thể viết đồ thị hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) với k ∈ ℤ.

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) (hình vẽ).

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ∈ ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là 1.

Nếu sinx ≠ 0, tức x ∈ ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ} hay x ∈ E thì ta có: \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).

Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cotx ta có bảng sau:

Làm tương tự như trên đối với các \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\], …, ta có đồ thị hàm số y = cotx trên D được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Tập giá trị của hàm số y = cotx là ℝ.

Gốc toạ độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = cotx.

Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (π; 2π).

 Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = cotx trên ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

‒ Xét hàm số f(x) = y = cotx trên D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}, với T = π và x ∈ D ta có:

   • x + π ∈ D và x – π ∈ D;

   • f(x + π) = f(x)

Do đó hàm số y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π.

Quan sát đồ thị hàm số y = cotx ở Hình 31, ta thấy: đồ thị hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (‒2π; ‒π); (‒π; 0); (0; π); (π; 2π); …

Ta có: (‒2π; ‒π) = (0 ‒ 2π; π – 2π);

           (‒π; 0) = (0 – π; π ‒ π);

           (π; 2π) = (0 + π; π + π);

            …

Do đó ta có thể viết đồ thị hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ ℤ.

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) (hình vẽ).

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ∈ ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) là 1.

Đồ thị hàm số y = sinx:

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1 tại \(x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right\}\).

Đồ thị hàm số y = sinx:

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0 tại x ∈ {‒2π; ‒π; 0; π; 2π}.

Đồ thị hàm số y = cosx:

Quan sát đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = cosx nhận giá trị bằng ‒1 tại x ∈ {‒π; π}.

Đồ thị hàm số y = cosx:

Quan sát hai đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0 tại \(x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\).

Xét đồ thị hàm số y = ‒1 và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\):

Quan sát đồ thị của hai hàm số, ta thấy hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nhận giá trị bằng ‒1 tại \[x \in \left\{ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right\}\].

Xét đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\):

Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nhận giá trị bằng 0 tại x ∈ {0; π}.

Xét đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\):

Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số y = cotx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nhận giá trị bằng 0 tại \[x \in \left\{ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right\}\].

Xét hàm số y = cosx:

Do (‒20π; ‒19π) = (0 ‒ 20π; π ‒ 20π) nên hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng (‒20π; ‒19π).

Do (‒9π; ‒8π) = (‒π – 8π; 0 ‒ 8π) nên hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng (‒9π; ‒8π).

Xét đồ thị hàm số y = m (m ∈ [‒1;1]) và đồ thị hàm số y = cosx trên [0; π]:

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ∈ [‒1;1] thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy m ∈ [‒1;1] sẽ có 1 giá trị α ∈ [0; π] sao cho cosα = m.

Xét đồ thị hàm số y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = tanx trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\):

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ∈ ℝ thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m ∈ ℝ sẽ có 1 giá trị \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho tanα = m.

Xét đồ thị hàm số y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = cotx trên (0; π):

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ∈ ℝ thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m ∈ ℝ sẽ có 1 giá trị α ∈ (0; π) sao cho cotα = m.

a) Xét hàm số f(x) = y = sinx cosx có tập xác định D = ℝ:

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = sin(‒x) . cos(‒x) = ‒sinx cosx = ‒f(x).

Do đó hàm số y = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Xét hàm số f(x) = y = tanx + cotx có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\):

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = tan(‒x) + cot(‒x) = (‒tanx) + (‒cotx) = ‒(tanx + cotx) = ‒f(x).

Do đó hàm số y = tanx + cotx là hàm số lẻ.

c) Xét hàm số f(x) = y = sin²x có tập xác định D = ℝ:

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = sin²(‒x) = (‒sinx)² = sin²x = f(x).

Do đó hàm số y = sin²x là hàm số chẵn.

Từ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) ta có \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\).

Khi đó ta có phương trình li độ là \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\).

Từ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) ta có \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\).

Khi đó ta có phương trình li độ là \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\).

* Với A = 3 và φ = 0 thay vào phương trình li độ \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\) ta có:

\(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\).

• t = 0 thì x = 3cos0 = 3;

• \(t = \frac{T}{4}\) thì \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{4}} \right) = 3\cos \frac{\pi }{2} = 0\);

• \(t = \frac{T}{2}\) thì \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2}} \right) = 3\cos \pi = - 3\)

• \(t = \frac{{3T}}{4}\) thì \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{{3T}}{4}} \right) = 3\cos \frac{{3\pi }}{2} = 0\);

• t = T thì \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.T} \right) = 3\cos 2\pi = 3\)  

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T]:

Xét hàm số \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) có chu kì là T.

Ta vẽ đồ thị hàm số \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; T] theo bảng sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T] như sau:

* Với A = 3 và \(\varphi = - \frac{\pi }{2}\) thay vào phương trình li độ \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\) ta có:

\(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t - \frac{\pi }{2}} \right)\)\[ = 3\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi }}{T}.t} \right) = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\]

• t = 0 thì \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.0} \right) = 3\sin 0 = 0\)

• \(t = \frac{T}{4}\) thì \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{4}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{2} = 3\);

• \(t = \frac{T}{2}\) thì \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2}} \right) = 3\sin \pi = 0\);

• \(t = \frac{{3T}}{4}\) thì \[x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{{3T}}{4}} \right) = 3\sin \frac{{3\pi }}{2} = - 3\];

• t = T thì \[x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.T} \right) = 3\sin 2\pi = 0\].

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T]:

Xét hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) có chu kì là T.

Ta vẽ đồ thị hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; T] theo bảng sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T] như sau:

* Với A = 3 và \(\varphi = \frac{\pi }{2}\) thay vào phương trình li độ \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\) ta có:

\[x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \frac{\pi }{2}} \right) = - 3\cos \left[ {\pi - \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\]

    \( = - 3\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi }}{T}.t} \right) = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\).

• t = 0 thì \(x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.0} \right) = - 3\sin 0 = 0\)

• \(t = \frac{T}{4}\) thì \[x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{4}} \right) = - 3\sin \frac{\pi }{2} = - 3\];              

• \(t = \frac{T}{2}\) thì \(x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2}} \right) = - 3\sin \pi = 0\);

• \(t = \frac{{3T}}{4}\) thì \[x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{{3T}}{4}} \right) = - 3\sin \frac{{3\pi }}{2} = 3\];

• t = T thì \[x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.T} \right) = - 3\sin 2\pi = 0\].

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T]:

Đồ thị hàm số \(x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) là hình đối xứng với đồ thị hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) qua trục hoành:

Để ống đựng nước cách mặt nước 2 m thì h = |y| = 2

\( \Leftrightarrow \left| {2,5\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - 2,5\cos \left( {2\pi x} \right) + 2} \right| = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2,5\cos \left( {2\pi x} \right) + 2 = 2\\ - 2,5\cos \left( {2\pi x} \right) + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {2\pi x} \right) = 0\\\cos \left( {2\pi x} \right) = \frac{8}{5}\end{array} \right.\)                                                        

Ta loại trường hợp \[{\rm{cos}}\left( {2\pi x} \right) = \frac{8}{5} > 1\] vì ‒1 ≤ cos(2πx) ≤ 1 với mọi x.

Do đó ta có cos(2πx) = 0.

Ta đã biết cosα = 0 tại những giá trị \[\alpha = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Suy ra cos(2πx) = 0 \( \Leftrightarrow 2\pi x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Khi k = 0 thì \(x = \frac{1}{4}\) (phút);

Khi k = 1 thì \(x = \frac{1}{4} + \frac{1}{1} = \frac{5}{4}\) (phút);

Khi k = 2 thì \(x = \frac{1}{4} + \frac{2}{1} = \frac{9}{4}\) (phút);

…

Vậy khi guồng quay được \(\frac{1}{4}\) phút; \(\frac{5}{4}\) phút; \(\frac{9}{4}\) phút; … thì ống đựng nước cách mặt nước 2 m.