20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Phương trình thuần nhất

Câu 1:

Giải phương trình:

sin2x+2cos2x=1+sinx-4cosx

Xem đáp án

Ta có $\sin 2 x + 2 c o s 2 x = 1 + \sin x - 4 \cos x$

$\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x + 2 (2 \cos^{2} x - 1) - 1 - \sin x + 4 \cos x = 0$

$\Leftrightarrow \sin x (2 \cos x - 1) + 4 \cos^{2} x + 4 \cos x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \sin x (2 \cos x - 1) + (2 \cos x - 1) (2 \cos x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (2 \cos x - 1) (2 \sin x + 2 \cos x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π (k \in ℤ) \\ 2 \sin x + 2 \cos x = - 3 \end{array}$

Xét phương trình $2 \sin x + 2 \cos x = - 3;$ có $2^{2} + 2^{2} = 8 < {(- 3)}^{2}$ nên vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 2:

Giải phương trình

$3 \sin 3 x - \sqrt{3} c o s 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x .$

Xem đáp án

Ta có $3 \sin 3 x - \sqrt{3} c o s 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x . \Leftrightarrow (3 \sin 3 x - 4 \sin^{3} 3 x) - \sqrt{3} c o s 9 x = 1$

$\Leftrightarrow \sin 9 x - \sqrt{3} c o s 9 x = 1 \Leftrightarrow \sin (9 x - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{54} + k \frac{2 π}{9} \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{9}, x = \frac{7 π}{54} + k \frac{2 π}{9} (k \in ℤ) .$

Câu 3:

Phương trình $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 1$ có nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} x = - π + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = - \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = π + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

D.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{6}) = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{6} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x - \frac{π}{6} = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = π + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 4:

Phương trình $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$ có nghiệm âm lớn nhất bằng

A.

\frac{- π}{3} .

B.

\frac{- π}{6} .

C.

\frac{- 5 π}{6} .

D. $\frac{- 5 π}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{π}{3} = k π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{3} + k π .$

Vậy phương trình có nghiệm âm lớn nhất $x = - \frac{π}{3}$ là với $k = 0.$

Câu 5:

Nghiệm của phương trình sinx+cosx=1 là

A.

x = k 2 π (k \in ℤ) .

B.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .

C. $x = \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ) .$

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin x + \cos x = 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 6:

Điều kiện để phương trình 3sinx+mcosx=5 vô nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array} .

B.

m > 4.

C.

m < - 4.

D.

- 4 < m < 4.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $3 \sin x + m \cos x = 5$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Điều kiện để phương trình có nghiệm $3^{2} + m^{2} \geq 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array} .$

Vậy phương trình vô nghiệm khi $- 4 < m < 4.$

Câu 7:

Điều kiện để phương trình msinx-3cosx=5 có nghiệm là

A.

m \geq 4.

B.

- 4 \leq m \leq 4.

C.

m \geq \sqrt{34} .

D. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $m . \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Điều kiện để phương trình có nghiệm $m^{2} + {(- 3)}^{2} \geq 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array} .$

Câu 8:

Phương trình

\sqrt{3} \sin 3 x + c o s 3 x = - 1

tương đương với phương trình nào sau đây?

A.

\sin (3 x - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2} .

B.

\sin (3 x + \frac{π}{6}) = - \frac{π}{6} .

C.

\sin (3 x + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2} .

D. $\sin (3 x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sqrt{3} \sin 3 x + c o s 3 x = - 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sqrt{3} \sin 3 x + c o s 3 x = - 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3 x + \frac{1}{2} c o s 3 x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (3 x + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2} .$

Câu 9:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

A.

\sqrt{3} \sin x = 2.

B.

\frac{1}{4} c o s 4 x = \frac{1}{2} .

C.

2 \sin x + 3 \cos x = 1.

D. $\cot^{2} x - \cot x + 5 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$ Ta có $2^{2} + 3^{2} - 1^{2} = 12 > 0.$

Vậy phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có nghiệm.

Câu 10:

Cho phương trình

\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}

trên đoạn

[0; π]

. Chọn câu trả lời đúng

A. Phương trình có nghiệm

x = \frac{π}{4}; x = \frac{3 π}{4} .

B. Phương trình có nghiệm $x = \frac{5 π}{12} .$

C. Phương trình có nghiệm

x = \frac{3 π}{7}; x = \frac{4 π}{7} .

D. Phương trình có nghiệm $x = \frac{2 π}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Vì $x \in [0; π]$ nên $x = \frac{5 π}{12} .$

Câu 11:

Phương trình $\sin 8 x - c o s 6 x = \sqrt{3} (\sin 6 x + c o s 8 x)$ có nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k \frac{π}{2} \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{5} + k π \\ x = \frac{π}{7} + k \frac{π}{2} \end{array}, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{12} + k \frac{π}{7} \end{array}, k \in ℤ .

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{8} + k π \\ x = \frac{π}{9} + k \frac{π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin 8 x - c o s 6 x = \sqrt{3} (\sin 6 x + c o s 8 x)$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 8 x - c o s 6 x = \sqrt{3} (\sin 6 x + c o s 8 x) \Leftrightarrow \sin 8 x - \sqrt{3} c o s 8 x = c o s 6 x + \sqrt{3} \sin 6 x$

$\frac{1}{2} \sin 8 x - \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 8 x = \frac{1}{2} c o s 6 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6 x \Leftrightarrow \sin (8 x - \frac{π}{3}) = \sin (6 x + \frac{π}{6})$

$\sin (8 x - \frac{π}{3}) = \sin (6 x + \frac{π}{6}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 8 x - \frac{π}{3} = 6 x + \frac{π}{6} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π \\ 8 x - \frac{π}{3} = π - 6 x - \frac{π}{6} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{7} \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 12:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A.

\sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x = 2.

B.

3 \sin x - 4 \cos x = 5.

C.

\sin x = c o s \frac{π}{4} .

D. $\sqrt{3} \sin x - \cos x = - 3.$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\sqrt{3} \sin x - \cos x = - 3$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Để phương trình có nghiệm thì ${(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2} \geq {(- 3)}^{2} \Leftrightarrow 4 \geq 9$ (vô lí).

Vậy phương trình $\sqrt{3} \sin x - \cos x = - 3$ vô nghiệm.

Câu 13:

Số nghiệm của phương trình sin2x-2cosx=0 thuộc đoạn

[- \frac{5 π}{2}; \frac{π}{2}]

là

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin 2 x - 2 \cos x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x - 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x - 2 \cos x = 0$

$\Leftrightarrow 2 \cos x (\sin x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + k π \\ \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} \Rightarrow x = \frac{π}{2} + k π .$

Vì $x \in [- \frac{5 π}{2}; \frac{π}{2}]$ nên $x = - \frac{5 π}{12}; x = - \frac{3 π}{2}; x = - \frac{π}{2}; x = \frac{π}{2} .$

Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 14:

Phương trình $c o s 7 x - \sqrt{3} \sin 7 x = - \sqrt{2}$ có các họ nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} x = \frac{5 π}{84} + k \frac{2 π}{7} \\ x = \frac{11 π}{84} + k \frac{2 π}{7} \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{- 5 π}{84} + k \frac{2 π}{7} \\ x = \frac{11 π}{84} + k \frac{2 π}{7} \end{array}, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{- π}{84} + k \frac{2 π}{7} \\ x = \frac{π}{84} + k \frac{2 π}{7} \end{array}, k \in ℤ .

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{- 5 π}{84} + k \frac{2 π}{7} \\ x = \frac{- 11 π}{84} + k \frac{2 π}{7} \end{array}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $c o s 7 x - \sqrt{3} \sin 7 x = - \sqrt{2}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $c o s 7 x - \sqrt{3} \sin 7 x = - \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} c o s 7 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 7 x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 7 x - \frac{1}{2} c o s 7 x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sin (7 x - \frac{π}{6}) = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 7 x - \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + k 2 π \Rightarrow x = \frac{5 π}{84} + \frac{k 2 π}{7} \\ 7 x - \frac{π}{6} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \Rightarrow x = \frac{11 π}{84} + \frac{k 2 π}{7} \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 15:

Phương trình $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$ có nghiệm dương nhỏ nhất bằng

A.

\frac{2 π}{3} .

B.

\frac{5 π}{6} .

C.

π .

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{π}{3} = k π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{3} + k π .$

Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{2 π}{3}$ với $k = 1.$

Câu 16:

Nghiệm của phương trình $\sin x + \cos x = - 1$ với $k \in ℤ$ là

A.

x = k 2 π .

B.

[\begin{array}{l} x = π + k 2 π \\ x = - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} .

C.

x = \frac{π}{4} + k 2 π .

D. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin x + \cos x = - 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{- π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = π + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 17:

Để phương trình $2 \sin^{2} x - \sin x \cos x - \cos^{2} x = m$ có nghiệm thì giá trị của m là

A.

m \leq \frac{1 - \sqrt{10}}{2} .

B.

m = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{2} .

C.

m \geq \frac{1 + \sqrt{10}}{2} .

D.

\frac{1 - \sqrt{10}}{2} \leq m \leq \frac{1 + \sqrt{10}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $2 \sin^{2} x - \sin x \cos x - \cos^{2} x = m$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 \sin^{2} x - \sin x \cos x - \cos^{2} x = m \Leftrightarrow (1 - c o s 2 x) - \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} (1 + c o s 2 x) = m$

$\Leftrightarrow \sin 2 x + 3 c o s 2 x = - 2 m + 1. (1)$

Để phương trình (1) có nghiệm thì ${(1 - 2 m)}^{2} \leq 1 + 9 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 m - 9 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{10}}{2} \leq m \leq \frac{1 + \sqrt{10}}{2} .$

Câu 18:

Phương trình $\cos 2 x + \sin x - 1 = 0$ có số họ nghiệm là

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $c o s 2 x + \sin x - 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $c o s 2 x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin^{2} x - \frac{1}{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow {(\sin x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} (1) \\ \sin x - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = 0 (2) \end{array} .$

Giải (1) ta có $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} .$

Giải (2) ta có $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π, k \in ℤ .$

Câu 19:

Phương trình có các họ nghiệm là

\tan x - \sin 2 x - c o s 2 x + 2 (2 \cos x - \frac{1}{\cos x}) = 0

A.

x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ .

B.

x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

C.

x = - \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ .

D.

x = - \frac{π}{6} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình có nghĩa $\Leftrightarrow \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π\} .$

Ta có $\tan x - \sin 2 x - c o s 2 x + 2 (2 \cos x - \frac{1}{\cos x}) = 0 \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x} - \sin 2 x - c o s 2 x + 4 \cos x - \frac{2}{\cos x} = 0$

$\Leftrightarrow \sin x - 2 \sin x \cos^{2} x - c o s 2 x \cos x + 2 (2 \cos^{2} x - 1) = 0 \Leftrightarrow \sin x (1 - 2 \cos^{2} x) - c o s 2 x \cos x + 2 c o s 2 x = 0$