Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°.

Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung gốc O có số đo là 60° (hình vẽ).

Ta có: \(18^\circ = 18.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10}}\); \(72^\circ = 72.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{2\pi }}{5}\);

            \[\frac{{2\pi }}{9} = {\left( {\frac{{2\pi }}{9}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^o} = 40^\circ \]; \[\frac{{5\pi }}{6} = {\left( {\frac{{5\pi }}{6}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^o} = 150^\circ \]

Ta có bảng chuyển đổi như sau:

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu Oz và tia cuối Ot.

Chiều quay của kim đồng hồ cùng chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc 360°.

Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là \(3\frac{1}{4}\) vòng) thì tia đó quét nên một góc là \(3\frac{1}{4}.360^\circ = 1\,\,170^\circ \).

Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc là ‒360°.

Ta có: \( - \frac{{5\pi }}{4} = - \pi + \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\).

Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo \( - \frac{{5\pi }}{4}\) được biểu diễn ở hình vẽ dưới đây:

Quan sát Hình 7 ta thấy:

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7b) là 90°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7c) là 360° + 90° = 450°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7d) là – (360° – 90°) = 90° – 360° = 270°.

Do tia Oy nằm trong góc xOz nên \(\widehat {xOz} = \widehat {xOy} + \widehat {yOz}\).

Theo hệ thức Chasles, ta có:

(Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) + k2π

                \( = \frac{{3\pi }}{4} - \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right) + k2\pi = \frac{{7\pi }}{2} + k2\pi \) (k ∈ ℤ).

Đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 (hình vẽ):

Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

Ta có (OA, ON) = \( - \frac{\pi }{3}\) là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một góc \(\frac{\pi }{3}\).

Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = \( - \frac{\pi }{3}\) được biểu diễn như hình dưới đây:

Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 60°.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = ‒ 30°.

Điểm M được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khi đó ta có x_M > 0 và y_M < 0

Suy ra cosα > 0 và sinα < 0

Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} < 0\) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} < 0\).

Do \(\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên \(\sin \frac{{5\pi }}{6} > 0 & ;\,\,cos\frac{{5\pi }}{6} < 0;\,\,\tan \frac{{5\pi }}{6} < 0;\,\,\cot \frac{{5\pi }}{6} < 0\).

Ta có \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\], \(\cot \alpha = \frac{{cos\alpha }}{{\sin \alpha }}\) (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)

Suy ra \(\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\).

Với cosα ≠ 0, ta có:

\[1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\] (do cos²α + sin²α = 1).

Với sinα ≠ 0, ta có:

\[1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\] (do cos²α + sin²α = 1).

Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên cosα < 0.

Áp dụng công thức cos²α + sin²α = 1, ta có: \[co{s^2}\alpha + {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = 1\]

Suy ra \[co{s^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\]

Do đó \[cos\alpha = - \frac{3}{5}\] (do cosα < 0).

Ta có:

\(Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + cos\frac{\pi }{2}\)

     \( = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = 3 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{9}{2}\).

a) Nhận xét: x_M = x_M’ và y_M = ‒y_M’.

b) Do x_M = x_M’ nên cosα = cos(‒α)

Do y_M = ‒y_M’ nên sinα = ‒sin(‒α).

Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = - \tan \left( { - \alpha } \right)\);

             \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \tan \left( { - \alpha } \right)}} = - \cot \left( { - \alpha } \right)\).

Ta có:

\(co{s^2}\frac{\pi }{8} + co{s^2}\frac{{3\pi }}{8} = co{s^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3\pi }}{8}} \right)\)

\( = co{s^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = 1\).

tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°

= (tan1° . tan89°) . (tan2° . tan88°) . tan45°

= (tan1° . cot1°) . (tan2° . cot2°) . tan45°

= 1 . 1 . 1 = 1.

a) Chuyển máy tính về chế độ “độ”:

b) Ta có: \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{1}{{\tan \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)}}\)

Chuyển máy tính về chế độ “radian”.

Phép tính	Nút ấn	Kết quả
\(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)\)		– 1.37638192

 

Vậy \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) = - 1,37638192\).

• Ta có \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha = \frac{\pi }{2}\) là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc \(\frac{\pi }{2}\), khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha = \frac{\pi }{2}\) được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có \[\left( {OA,ON} \right) = \beta = \frac{{7\pi }}{6} = \pi + \frac{\pi }{6}\] là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc \[\frac{{7\pi }}{6}\].

• Ta có \[\left( {OA,OP} \right) = \gamma = - \frac{\pi }{6}\] là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc \[\frac{\pi }{6}\].

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

           sin225° = sin(45° + 180°) = ‒sin45° = \( = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

           tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

           cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

           sin(‒225°) = ‒sin225° = \[ - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\];

           tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

           cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(‒3 . 360° + 45°) = cos45° = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

           sin(‒1 035°) = sin(‒3 . 360° + 45°) = sin45° = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

            tan(‒1 035°) = tan(‒3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

            cot(‒1 035°) = cot(‒3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc \(\frac{{5\pi }}{3}\):

Ta có: \(cos\frac{{5\pi }}{3} = cos\left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = - cos\frac{{2\pi }}{3} = - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\);

            \[\sin \frac{{5\pi }}{3} = \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = - \sin \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\];

            \[\tan \frac{{5\pi }}{3} = \tan \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = \tan \frac{{2\pi }}{3} = - \sqrt 3 \];

            \[\cot \frac{{5\pi }}{3} = \cot \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = \cot \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].

‒ Các giá trị lượng giác của góc \(\frac{{19\pi }}{2}\):

Ta có: \(cos\frac{{19\pi }}{2} = cos\left( {9\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = c{\rm{os}}\left( {\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = - cos\frac{\pi }{2} = 0\);

           \(\sin \frac{{19\pi }}{2} = \sin \left( {9\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \frac{\pi }{2} = - 1\);

           Do \(cos\frac{{19\pi }}{2} = 0\) nên \(\tan \frac{{19\pi }}{2}\) không xác định;

           \(\cot \frac{{19\pi }}{2} = \cot \left( {9\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = \cot \left( {\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = \cot \frac{\pi }{2} = 0\).

‒ Các giá trị lượng giác của góc \( - \frac{{159\pi }}{4}\):

Ta có: \[cos\left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = cos\left( { - 40\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\];

            \[\sin \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \sin \left( { - 40\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = {\rm{sin}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\];

            \[\tan \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \tan \left( { - 40\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \frac{\pi }{4} = 1\];

            \[\cot \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \cot \left( { - 40\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = \cot \frac{\pi }{4} = 1\].

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\):

• \(cos\left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = cos\frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\);

• \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

• \(\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \);

• \(\cot \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\):

• \(cos\left[ {\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{3} + \pi + 2k\pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right) = - cos\frac{\pi }{3} = - \frac{1}{2}\);

• \(\sin \left[ {\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \pi + 2k\pi } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

• \(\tan \left[ {\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \);

• \(\tan \left[ {\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

   • sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

   • tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

   • sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

   • tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

        cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

   • \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = cos\left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \,} \right) = cos\frac{\pi }{2} = 0\);

   • \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \,} \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1\);

   • Do \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\) nên \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right)\) không xác định;

   • \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \,} \right) = \cot \frac{\pi }{2} = 0\).

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

   • \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = cos\left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \, + \pi } \right) = cos\left( {\frac{\pi }{2}\, + \pi } \right) = - cos\frac{\pi }{2} = 0\);

   • \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \, + \pi } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{2} = - 1\];

   • Do \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\) nên \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right)\) không xác định;

   • \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \, + \pi } \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2}\, + \pi } \right) = \cot \frac{\pi }{2} = 0\).

Vậy với k ∈ ℤ thì \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\); \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\);

                              \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right)\) không xác định;

                              \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 1\] khi k là số chẵn và \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = - 1\] khi k là số lẻ.

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

\[{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2} + co{s^2}\alpha = 1\]

\[ \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2} = 1 - \frac{{15}}{{16}} = \frac{1}{{16}}\]

\[ \Rightarrow cos\alpha = - \frac{1}{4}\] (do cosα < 0).

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}}{{ - \frac{1}{4}}} = - \sqrt {15} \);

            \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \sqrt {15} }} = - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).

Vậy \[cos\alpha = - \frac{1}{4}\]; \(\tan \alpha = - \sqrt {15} \) và \(\cot \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).

Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

\[{\sin ^2}\alpha + {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = 1\]

\[ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\].

\( \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) (do sinα < 0).

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}}\)\( = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\);

            \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\); \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) và \(\cot \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha < 0\), cosα < 0 khi \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\).

Mà tanα = 3 > 0, do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} > 0\), từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).

Áp dụng công thức \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\), ta có:

\(1 + {3^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) hay \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 10\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\) (do cosα < 0).

Áp dụng công thức \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\), ta có:

\(1 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) hay \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{10}}{9}\)

 \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{10}} \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{3}{{\sqrt {10} }} = - \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\) (do sinα < 0).

Vậy \(\sin \alpha = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\); \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\); \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\).

cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{ - 2}} = - \frac{1}{2}\).

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} < 0\), suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\), ta có:

\(1 + {\left( { - 2} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) hay \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 5\)

 \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) (do sinα > 0).

Ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = \left( { - 2} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{5} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18 000π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: \[\frac{{18\,000\pi }}{2}.1 = 9000\pi \,\,\,\left( {km} \right)\].

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: \[\frac{{18000\pi }}{2}.3 = 27000\pi \,\,\,\left( {km} \right)\].

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: \[\frac{{18000\pi }}{2}.5 = 45000\pi \,\,\,\left( {km} \right)\].

Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9000π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là:

\(\frac{{200\,\,000}}{{9000\pi }} \approx 7\) (giờ).