Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân (có đáp án)
Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3: Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (phần 3) (có đáp án)
-
2120 lượt thi
-
20 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho dãy số (un) thỏa mãn và un+1 = 10un, ∀ n ∈ R* Khi đó u2018bằng
Chọn A.
Dễ thấy un là cấp số nhân với q = 10
Ta có: u8 = 107u1; u10 = 109u1
Do đó PT
Giải PT ta được logu1 = -17 ⇔ u1 = 10-17 ⇒ u2018 = 102017 u1 = 102000
Câu 2:
Cho dãy số (un) thỏa mãn ln2u6 – ln = ln u4 – 1 và un+1 = un.e với mọi n ≥ 1 Tìm u1
Chọn D.
Vì un+1 = un.e nên dễ thấy dãy số (un) là cấp số nhân có công bội q = e
Từ giả thiết suy ra:
ln2u6 – (ln u8 +ln u4) + 1 = 0 ⇔ ln2u6 – (ln u8u4) + 1 = 0
( vì đây là cấp số nhân nên:
⇔ (ln u6 – 1)2 = 0
⇔ ln u6 = 1 ⇔ u6 = e ⇔ nên u1 = e-4
Câu 3:
Cho dãy số thỏa mãn u1 = 5; un+1 = 3un+ 4/3. Giá trị nhỏ nhất của n để u1 + u2 + … + un > 5100 - 2/3n là
Chọn D.
Ta có
Đặt
suy ra (vn) là cấp số nhân với
Suy ra u1 + u2 + … + un = (v1 + v2 + … + vn) – n.2/3
Yêu cầu bài toán:
Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán là n = 146.
Câu 4:
Cho các số x + 2; x + 14; x + 50 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó x2 + 2013 bằng:
Chọn A.
3 số lập thành cấp số nhân nên (x + 2)(x + 50) = (x + 14)2
Suy ra 24x = 96 hay x = 4.
Khi đó x2 + 2013 = 2019.
Câu 5:
Cho a, b, c là các số thực, theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Biết Tìm b.
Chọn D
Ta có
Từ đó ta có
Đặt có hệ
Vậy b2 = ac = 36 nên b = 6 hoặc b = - 6
Câu 7:
Tính tổng của
Chọn D.
Ta có:
- Có dãy số -22, 24, …, (-1)n.22n là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u1 = -4 và công bội q = -4.
Do đó
- Có dãy số là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu và công bội q = -1/4.
Câu 8:
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2; u1 – 12u2 – 6u3 đạt giá trị lớn nhất. Tìm công bội q?
Chọn C.
Gọi q là công bội của cấp số nhân
Ta có
u1 – 12 – 6u3 = 2 – 12.2q – 6.2q2 = -12q2 – 24q + 2 = -12(q + 1)2 + 14 ≤ 14 ∀ q
Do đó để u1 – 12u2 – 6u3 đạt giá trị lớn nhất thì q = -1.
Câu 9:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 – 7mx2 + 2(m2 + 6m)x – 64 = 0.
Chọn A.
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 lập thành một cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có x1.x2.x3 = 64
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x1x3 = x22. Suy ra ta có x23 = 64 ⇔ x2 = 4
Thay x = 4 vào phương trình đã cho ta được: 43 – 7m.42 + 2(m2 + 6m).4 – 64 = 0
⇔ m2 – 8m = 0
+ Điều kiện đủ: Với m = 0 thay vào phương trình đã cho ta được: x3 – 64 = 0 hay x = 4
(nghiệm kép-loại)
Với m = 8 thay vào phương trình đã cho nên ta có phương trình x3 – 56x2 + 224x – 64 = 0
Giải phương trình này, ta được 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Vậy m = 8 là giá trị cần tìm.
Câu 10:
Cho dãy số (Un) xác định bởi và . Tổng bằng
Chọn B.
Đặt
suy ra trong đó Vn là cấp số nhân với công sai q = 1/3
Do đó
Câu 11:
Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?
Chọn C.
+) Nếu số lá sen ngày đâù là 1= 30 thì số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 31; số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 32 ...số lá sen ngày thứ 10 là 39 .
Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 39 lá.
+) Nếu ngày đầu có u1 = 9 lá thì ngày thứ 2 có: 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...
Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u1 = 9, q = 3.
Số hạng thứ n là un = u1.qn-1 = 9.3n-1.
Để hồ đầy lá sen thì cần 39 lá
Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.
Câu 12:
Cho cấp số cộng (un) có công sai d = -3 và u22 + u32 + u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100 của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Chọn C.
Đặt a = u1 thì u22 + u32 + u42 = (a + d)2 + (a + 2d)2 + (a + 3d)2 = 3a2 – 36a + 126 = 3(a – 6)2 + 18 ≥ 18 với mọi a.
Dấu bằng xảy ra khi a – 6 = 0 hay a = 6.
Suy ra 6 = u1.
Ta có
Câu 13:
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x4 – 10x2 + 2m2 + 7m = 0, tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
Chọn C.
Đặt t = x2.
Khi đó ta có phương trình: t2 – 10t + 2m2 + 7m = 0.
Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt
+ Với điều kiện trên thì phương trình(*) có hai nghiệm dương phân biệt là t1, t2(t1 < t2).
Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là
Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi
Theo định lý Vi-ét ta có: t1 + t2 = 10 ; t1.t2 = 2m2 + 7m.
Suy ra ta có hệ phương trình
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.
Do đó .
Câu 14:
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3; 15u1 – 4u2 + u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.
Chọn B.
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un)
Ta có:
⇒ min(15u1 – 4u2 + u3) = 33 khi q = 2
Suy ra u13 = u1q12 = 3.212 = 12288.
Câu 15:
Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân , biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.
Chọn B.
u1 = 18, u2 = 54 ⇒ q = 3
un = 39366 ⇔ u1.qn-1 = 39366 ⇔ 18.3n-1 = 39366 ⇔ 3n-1 = 37 ⇔ n = 8.
Vậy
Câu 16:
Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.
Chọn D.
Gọi u1; u2; u3 tạo thành cấp số cộng.
Theo đề bài: u1 + 2; u2 + 3; u3 + 9 là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.
Theo đề bài:
Giải (*): (16 – u3)(u3 + 9) = 100 ⇔ -u32 + 7u3 + 44 = 0 ⇔ u3 =11 ∨ u3 = - 4
Với u3 = 11 ⇒ u1 = 3.
Với u3 = -4 ⇒ u1 = 18.
Câu 17:
Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm số lớn nhất trong 3 số đó?
Chọn C.
Gọi u1; u2; u3 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Theo đề: u1 – 1; u2; u3 – 19 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Ta có:
Lấy ⇔ 4(1 + q + q2) = 13(1 – 2q + q2)
⇔ 9q2 – 30q + 9 = 0 ⇔ q = 3 ∨ q = 1/3
Vì u1; u2; u3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn q = 3 khi đó u1 = 5
Do đó u1 = 5; u2 = 15; u3 = 45
Vậy số lớn nhất trong 3 số là 45.
Câu 18:
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?
Chọn D.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A:Ta có a2 = 3; = 3;… Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng an = 3, ∀ n ≥ 1. Do đó (an) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).
+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được bn = 1, ∀ n ≥ 1. Do đó (bn) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).
+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được cn = 2, ∀ n ≥ 1. Do đó (cn) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).
+ Phương án D: Ta có: d1 = -3 ; d2 = 3 ; d3 = 3. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số (dn) không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .
Câu 19:
Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác theo a.
Chọn C.
Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.
Chu vi của tam giác: x + y + z = 3a (1)
Tính chất của cấp số cộng có x + z = 2y (2)
Vì tam giác vuông nên có: x2 + y2 = z2 (3)
Thay (2) vào (1) được 3y = 3a hay y = a, thay y = a vào (2) được: x + z = 2a hay x = 2a - z
Thay x và y vào (3) được: (2a – z)2 + a2 = z2 ⇔ 5a2 – 4az = 0 ⇔
Độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu:
Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác là
Câu 20:
Biết rằng S = 1 + 2.3 + 3.32 + … + 11.310 = .Tính
Chọn C.
Từ giả thiết suy ra 3S = 3 + 2.32 + 3.33 + … + 11.311. Do đó
-2S = S – 3S = 1 + 3 + 32 + … + 310 – 10.311
Vì