33 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm.

Câu 1:

Cho hàm số $y = - 3 x^{3} + 25 x - 20$ .

Giải phương trình $y^{'} = 0$ .

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = - 9 x^{2} + 25.$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 9 x^{2} + 25 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{5}{3}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = - \frac{5}{3}$ và $x = \frac{5}{3}$

Câu 2:

Tính $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 - x} - 1}{x}$ .

Xem đáp án

Đặt $f (x) = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{{(1 - x)}^{2}}}$ và $f (0) = 1$ .

Suy ra $A = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = f^{'} (0) = - \frac{1}{3}$ .

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ . Chứng minh rằng $2 \sqrt{1 + x^{2}} . y^{'} = y$ .

Xem đáp án

$y^{'} = {(\sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . {(x + \sqrt{1 + x^{2}})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

$= \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . \frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{\sqrt{\sqrt{1 + x^{2}} + x}}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{y}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} \Rightarrow 2 \sqrt{1 + x^{2}} . y^{'} = y .$

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x}$ . Giải bất phương trình $f^{'} (x) \leq f (x)$ .

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}}$ . Khi đó $f^{'} (x) \leq f (x) \Leftrightarrow \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} \leq \sqrt{x^{2} - 2 x} (1)$

Điều kiện xác định: $x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

$(1) \Rightarrow x - 1 \leq x^{2} - 2 x \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Kết hợp với điều kiện trên suy ra $x < 0$ hoặc $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} + (m + 2) x - 7$ . Tìm giá trị của tham số m để $f^{'} (x) \geq 0$ với mọi $x \in ℝ$ .

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = x^{2} - 2 m x + m + 2$

$f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m + 2 \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ^{'} = m^{2} - (m + 2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 2$

Vậy $- 1 \leq m \leq 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6:

Giải phương trình f'(x) trong các trường hợp sau

f(x)= sin3x-3sinx+7

Xem đáp án

$f (x) = \sin 3 x - 3 \sin x + 7 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 \cos 3 x - 3 \cos x$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 \cos 3 x - 3 \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos 3 x = \cos x$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = x + k 2 π \\ 3 x = - x + k 2 π \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{k π}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$

Câu 7:

Giải phương trình trong các trường hợp sau

f(x)=cos2x+2sinx-1

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 2 \sin 2 x + 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x (- 2 \sin x + 1) = 0$

Xem đáp án

$f (x) = \cos 2 x + 2 \sin x - 1 \Rightarrow f^{'} (x) = - 2 \sin 2 x + 2 \cos x$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 2 \sin 2 x + 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x (- 2 \sin x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Câu 8:

Tính giới hạn sau: $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}}{1 - \cos x}$

Xem đáp án

Ta có: $A = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt{1 + 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}}{x^{2}}}{\frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{\frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}}$

Mà $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} {(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})}^{2} = \frac{1}{2}$ .

Đặt $t = x^{2}$ , sử dụng phương pháp liên hợp ta có

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 t} - \sqrt[3]{1 + 3 t}}{t} = 0$ .

Vậy $A = 0.$

Câu 9:

Cho hàm số $y = \sqrt[3]{1 - x}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

3 y^{'} y^{2} + 1 = 0

.

B.

y^{'} y^{2} + 1 = 0

C.

3 y^{'} y^{2} - 1 = 0

D.

y^{'} y^{2} - 1 = 0

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow y^{3} = 1 - x \Rightarrow 3 y^{2} y^{'} = - 1 \Rightarrow 3 y^{'} y^{2} + 1 = 0$

Câu 10:

Cho hàm số

f (x) = \frac{x^{3}}{x - 1}

. Tập nghiệm của phương trình f'(x)=0 là

A.

\{0; \frac{2}{3}\} .

B.

\{0; - \frac{2}{3}\} .

C.

\{0; \frac{3}{2}\} .

D.

\{0; - \frac{3}{2}\} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = \frac{3 x^{2} (x - 1) - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ . Xét phương trình $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 2 x^{3} - 3 x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \end{array}$ (thỏa mãn)

Câu 11:

Cho hàm số $y = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

y \sqrt{1 + x^{2}} - y^{'} = 0.

B.

y^{'} \sqrt{1 + x^{2}} - y = 0.

C.

y \sqrt{1 + x^{2}} + y^{'} = 0.

D.

y^{'} \sqrt{1 + x^{2}} + y = 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y^{'} \sqrt{1 + x^{2}} = y \Rightarrow y^{'} \sqrt{1 + x^{2}} - y = 0$

Câu 12:

Cho $f (x) = (m - 1) x^{3} + 2 (m - 1) x^{2} + m x$ . Tập hợp các giá trị của m để $f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ$ là

A.

(1; 4]

.

B.

(1; 4)

.

C.

[1; 4]

.

D.

[1; 4)

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f^{'} (x) = 3 (m - 1) x^{2} + 4 (m - 1) x + m$

Với $m = 1 : f^{'} (x) = 1 > 0, \forall x \in ℝ$ nên $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m \neq 1 : f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ^{'} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 1 > 0 \\ m^{2} - 5 m + 4 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ 1 < m < 4 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 4$

Vậy $m \in [1; 4)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = k \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} (k \in ℝ)$ . Giá trị của k để $f^{'} (1) = \frac{3}{2}$ là

A.

k = 1.

B.

k = - 3.

C. k=3

D.

k = \frac{9}{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f (x) = k \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} \Rightarrow f^{'} (x) = {(k \sqrt[3]{x} + \sqrt{x})}^{'} = k {(\sqrt[3]{x})}^{'} + {(\sqrt{x})}^{'}$

Đặt $y = \sqrt[3]{x} \Rightarrow y^{3} = x \Rightarrow 3 y^{2} y^{'} = 1 \Rightarrow y^{'} = \frac{1}{3 y^{2}} = \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

$f^{'} (x) = k {(\sqrt[3]{x})}^{'} + {(\sqrt{x})}^{'} = \frac{k}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ . Vậy để $f^{'} (1) = \frac{3}{2}$ thì $\frac{k}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow k = 3$ .

Câu 14:

Cho hàm số

y = \sqrt{2 x - x^{2}}

. Khi đó y.y' bằng

A. $\frac{1}{2} .$

B.

2 - 2 x .

C.

1 - x .

D.

\frac{2 x - x^{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9$ . Xét phương trình $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 1; x = 3$

Câu 15:

Cho hàm số

f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x - 1

. Để f'(x) thì x có giá trị thuộc tập hợp

A.

\{- 3; 2\} .

B.

\{3; - 2\} .

C.

\{- 6; 4\} .

D.

\{4; - 6\} .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = {(2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x - 1)}^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 36$

Suy ra $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 6 x^{2} + 6 x - 36 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 3 \end{array}$

Câu 16:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 3$ . Để $f^{'} (x) \leq 0$ thì x có giá trị thuộc tập hợp

A. .

[- \frac{7}{3}; 1]

B.

[- 1; \frac{7}{3}]

C.

(- \frac{7}{3}; 1)

D.

\{- \frac{7}{3}; 1\}

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = {(x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 3)}^{'} = 3 x^{2} + 4 x - 7$ , suy ra $f^{'} (x) \leq 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 4 x - 7 \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{7}{3} \leq x \leq 1$

Câu 17:

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + x - 7}{x^{2} + 3}$ . Tập nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ là

A.

\{- 1; 3\}

.

B.

\{1; 3\}

.

C.

\{- 3; 1\}

.

D.

\{- 3; - 1\}

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = \frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ . Do đó $y^{'} = 0 \Rightarrow - x^{2} + 2 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$

Câu 18:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1}$ . Tất cả các nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ là

A.

x = 0.

B.

x = 2.

C.

x = - 2.

D.

x = 0; x = - 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = {(\frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1})}^{'} = \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{'} (x + 1) - (x^{2} + 3 x + 3) {(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(2 x + 3) (x + 1) - (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Suy ra $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 2 x = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array} \\ x \neq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Câu 19:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ . Đạo hàm của hàm số $f (x)$ nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào dưới đây?

A.

(- \infty; 0) .

B.

(0; + \infty) .

C.

(- \infty; 1] \cup [1; + \infty) .

D.

[- 1; 1] .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ . Khi đó $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow 4 x < 0 \Leftrightarrow x < 0$ .

Câu 20:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 5$ . Với giá trị nào của x thì âm?

A.

- 1 < x < \frac{1}{3} .

B.

\frac{1}{3} < x < 1.

C.

- \frac{1}{3} < x < 1.

D.

- \frac{2}{3} < x < 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1$ . Khi đó $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 2 x - 1 < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < x < 1$ .

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = 2 \cos^{2} (4 x + 1) + 2 π - 2020$ . Giá trị nhỏ nhất của $f^{'} (x)$ là bao nhiêu?

A...

\min f^{'} (x) = - 8

B.

\min f^{'} (x) = 8

C.

\min f^{'} (x) = 4

D.

\min f^{'} (x) = - 4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = - 8 \sin (8 x + 2) \geq - 8, \forall x \in ℝ$

Câu 22:

Cho hàm số $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 x + 2019$ . Số nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ trên đoạn $[0; 2020 π]$ là

A. 2019.

B. 2020.

C. 1011.

D. 1010.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = {(\sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 x + 2020)}^{'} = \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \cos x - \sin x = 2 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1$

$\Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{6}) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{π}{6} = k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

$x \in [0; 2020 π] \Leftrightarrow 0 \leq - \frac{π}{6} + k 2 π \leq 2020 π \Leftrightarrow \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{12121}{12}$

Mà

k \in ℤ

nên

k \in \{1; 2; ..; 1010\}

. Vậy có 1010 nghiệm thỏa mãn yêu cầu

Câu 23:

Cho hàm số

f (x) = \sin 2 x

. Hỏi có bao nhiêu điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình

3 f (x) + 2 f^{'} (x) = 5

?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = 2 \cos 2 x$ , suy ra $3 f (x) + 2 f^{'} (x) = 5 \Leftrightarrow 3 \sin 2 x + 4 \cos 2 x = 5 \Leftrightarrow \sin (2 x + α) = 1$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} - \frac{α}{2} + k . π (k \in ℤ)$ , với là một cung thỏa mãn $\{\begin{cases} \cos α = \frac{3}{5} \\ \sin α = \frac{4}{5} \end{cases}$ .

Vậy có hai điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho các nghiệm của $3 f (x) + 2 f^{'} (x) = 5$

Câu 24:

Cho

f (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x

. Tìm x sao cho f'(x)<0 .

A.

x > \frac{4}{3}

hoặc

x < - 1

.

B.

- 1 < x < \frac{4}{3} .

C.

x \geq \frac{4}{3}

hoặc

x \leq - 1

.

D. $- 1 \leq x \leq \frac{4}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f^{'} (x) = 3 x^{3} - x - 4$ , suy ra $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow 3 x^{3} - x - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{4}{3}$

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + 8 x - 1$ . Để $f^{'} (x) = 0$ thì x có giá trị bằng

A.

- 2 \sqrt{2}

.

B.

2 \sqrt{2}

.

C. 2.

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

f^{'} (x) = {(\frac{1}{3} x^{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + 8 x - 1)}^{'} = x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 8 \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{2}

.

Câu 26:

Cho hàm số $f (x) = \frac{m x^{3}}{3} - \frac{m x^{2}}{2} + (3 - m) x - 2$ . Tìm m để $f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ$ .

A.

0 \leq m \leq \frac{12}{5}

.

B.

0 < m < \frac{12}{5}

C.

0 \leq m < \frac{12}{5}

D. $0 < m \leq \frac{12}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = m x^{2} - m x + (3 - m)$

+ Nếu $m = 0$ thì $f^{'} (x) = 3 > 0, \forall x \in ℝ$ (thỏa mãn).

+ Nếu $m \neq 0$ thì $f^{'} (x) = m x^{2} - m x + (3 - m)$ là tam thức bậc hai.

$f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ Δ = m^{2} - 4 m (3 - m) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ 5 m^{2} - 12 m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{12}{5}$

. Vậy $0 \leq m < \frac{12}{5}$

Câu 27:

Cho hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 m x^{2} - 12 x + 3$ với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để $f^{'} (x) \leq 0$ với $\forall x \in ℝ$ là

A. 1.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

$f (x) = - x^{3} + 3 m x^{2} - 12 x + 3 \Rightarrow f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 m x - 12$ .

$f^{'} (x) \leq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 6 m x - 12 \leq 0$ với $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a < 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 < 0 \\ 9 m^{2} - 36 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2\}$ . Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 28:

Giá trị của $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2018 x) - 1}{x}$ bằng

A.

2018.2019.

B. 2019

C. 2018.

D. 1009.2019.

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $f (x) = (1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2018 x)$

$f (x)$ là hàm số đa thức nên nó liên tục và có đạo hàm trên tập số thực .

Ta có $f (0) = 1$ và $f^{'} (x) = 1. (1 + 2 x) ... (1 + 2018 x) + 2 (1 + x) ... (1 + 2018 x) + ... + 2018 (1 + x) ... (1 + 2017 x)$

$\Rightarrow f^{'} (0) = 1 + 2 + 3 + ... + 2018 = 2018. \frac{2018 + 1}{2} = 1009.2019$ .

Khi đó ta có: $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2018 x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = f^{'} (0)$ .

Câu 29:

Cho $f (x) = 2 x^{3} + 3 (a + 2) x^{2} + 6 a^{2} x$ . Biết $f^{'} (x) > 0$ luôn đúng với mọi x và $f^{'} (- 1) = 6$ . Tìm a

A.

a = - 1.

B.

a = 2.

C.

a = 1.

D.

a = 3.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = 6 [x^{2} + (a + 2) x + a^{2}]$ nên $f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow x^{2} + (a + 2) x + a^{2} > 0, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow {(a + 2)}^{2} - 4 a^{2} < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a > 2 \\ a < - \frac{2}{3} \end{array}$ .

Mặt khác $f^{'} (- 1) = 6 \Leftrightarrow 6 [{(- 1)}^{2} + (a + 2) (- 1) + a^{2}] = 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = 2 \end{array}$ . Vậy $a = - 1$ .

Câu 30:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

y^{'} = f^{'} (x)

liên tục trên R và hàm số y=g(x) với

g (x) = f (4 - x^{3})

. Biết rằng tập các giá trị của x để f'(x)<0 là (-4;3) . Tập các giá trị của x để

g^{'} (x) > 0

là

A.

(1; 2) .

B.

(8; + \infty) .

C.

(- \infty; 8) .

D.

(1; 8) .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $g^{'} (x) = - 3 x^{2} . f^{'} (4 - x^{3})$ .

Ta có: $g^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} . f^{'} (4 - x^{3}) > 0 \Leftrightarrow x^{2} . f^{'} (4 - x^{3}) < 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ f^{'} (4 - x^{3}) < 0 \end{cases}$

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ - 4 < 4 - x^{3} < 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ - 8 < - x^{3} < - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ 1 < x^{3} < 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ 1 < x < 2 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < x < 2

.

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} a \sqrt{x} khi 0 < x < x_{0} \\ x^{2} + 12 khi x \geq x_{0} \end{cases}$ . Biết rằng ta luôn tìm được một số dương $x_{0}$ và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0; x_{0}) \cup (x_{0}; + \infty)$ . Tính giá trị $S = x_{0} + a$ .

A.

S = 2 (3 - 2 \sqrt{2})

.

B.

S = 2 (1 + 4 \sqrt{2})

.

C.

S = 2 (3 - 4 \sqrt{2})

D.

S = 2 (3 + 2 \sqrt{2})

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ . Tìm $\lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - x f (2)}{x - 2}$ .

A. 0.

B.

f^{'} (2) .

C.

2 f^{'} (2) - f (2)

.

D.

f (2) - 2 f^{'} (2)

Xem đáp án

Đáp án C

Do hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ suy ra $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = f^{'} (2)$ .

Ta có $I = \lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - x f (2)}{x - 2} \Leftrightarrow I = \lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - 2 f (2) + 2 f (2) - x f (2)}{x - 2} \Leftrightarrow I = \lim_{x \to 2} \frac{2 (f (x) - f (2))}{x - 2} - \lim_{x \to 2} \frac{f (2) (x - 2)}{x - 2}$

$\Leftrightarrow I = 2 f^{'} (2) - f (2)$ .

Câu 33:

Giá trị của

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + 3 x} - 1}{x}

bằng

A.

\frac{n}{3} .

B.

\frac{3}{n} .

C.

\frac{1}{n} .

D. $\sqrt[n]{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $f (x) = \sqrt[n]{1 + 3 x} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + 3 x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x} = f^{'} (0) = \frac{3}{n}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm.

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương