40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 299 câu trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết(P5)

Câu 1:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức Niutơn ${(2 x - 1)}^{6}$

A. 160

B. -960

C. 960

D. -160

Xem đáp án

Chọn D

Xét khai triển nhị thức Niutơn: ${(2 x - 1)}^{6}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ứng với k = 3.

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển là: .

Câu 2:

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển ${(2 + 3 x)}^{5}$ là

A. 270

B. 810

C. 81

D. 1620

Xem đáp án

Chọn B.

${(2 + 3 x)}^{5}$ có công thức số hạng tổng quát là: .

Với k = 4, ta được số hạng .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển ${(2 + 3 x)}^{5}$ là 810.

Câu 3:

${(x + 2)}^{n + 5}, (n \in ℕ)$ Khai triển nhị thức có tất cả 2019 số hạng. Tìm n.

A. 2018

B. 2014

C. 2013

D. 2015

Xem đáp án

Chọn C

Khai triển ${(x + 2)}^{n + 5}, (n \in ℕ)$ có tất cả 2019 số hạng nên (n+5) + 1 = 2019 => n = 2013

Câu 4:

Cho biểu thức: P(x) = ${(1 + x)}^{9} + {(1 + x)}^{10} + {(1 + x)}^{11} + {(1 + x)}^{12} + {(1 + x)}^{13} + {(1 + x)}^{14} + {(1 + x)}^{15}$ . Hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong khai triển thành đa thức của P(x) là

A. 3003

B. 8000

C. 8008

D. 3000

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: .

Số hạng tổng quát của khai triển là: . Hệ số của $x^{k}$ trong khai triển là: $C_{n}^{k}$

Hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong biểu thức P(x) là:

.

Câu 5:

Số hạng không chứa z trong khai triển ${(2 x + \frac{3}{x^{2}})}^{21}$ là?

$A . 2^{14} . 3^{7}$

$B . C_{21}^{7} . 2^{7} . 3^{14}$

$C . C_{21}^{14} . 2^{7} . 3^{14}$

$D . C_{21}^{7} . 2^{14} . 3^{7}$

Xem đáp án

Chọn D

Có:

+ Số hạng không chứa x khi

+ Vậy số hạng không chứa x là .

Câu 6:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}, x \neq 0$

$A . - 2^{7} C_{21}^{7}$

$B . 2^{8} C_{21}^{8}$

$C . 2^{7} C_{21}^{7}$

$D . - 2^{8} C_{21}^{8}$

Xem đáp án

Chọn A

Số hạng tổng quát của biểu thức ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}, x \neq 0$ khi khai triển theo công thức nhị thức Newton là

Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}, x \neq 0$ là với k thỏa mãn

21-3k = 0 => k = 7

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}, x \neq 0$ là

Câu 7:

Cho khai triển ${(1 + x)}^{n}$ với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển biết $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + C_{2 n + 1}^{3} + . . . . . + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{20} - 1$ .

A. 480

B. 720

C. 240

D. 120

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

Hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ là: $C_{10}^{3}$ = 120.

Câu 8:

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển biểu thức $x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$ bằng.

A. 61268.

B. 61204.

C. 3160.

D. 3320.

Xem đáp án

Chọn D

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển biểu thức $x {(1 - 2 x)}^{5}$ là hệ số của $x^{4}$ trong khai triển biểu thức ${(1 - 2 x)}^{5}$ và bằng .

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển biểu thức $x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$ là hệ số của $x^{3}$ trong khai triển biểu thức ${(1 + 3 x)}^{10}$ và bằng .

Vậy hệ số của $x^{5}$ trong khai triển biểu thức $x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$ bằng 3240 + 80 = 3320.

Câu 9:

Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển ${(\frac{x}{2} + \frac{4}{x})}^{18} v ớ i x \neq 0$

$A . 2^{9} C_{18}^{9}$

$B . 2^{11} C_{18}^{7}$

$C . 2^{8} C_{18}^{8}$

$D . 2^{8} C_{18}^{10}$

Xem đáp án

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển ${(\frac{x}{2} + \frac{4}{x})}^{18}$ là .

Số hạng không chứa x nên 18-2k = 0 => k = 9.

Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển ${(\frac{x}{2} + \frac{4}{x})}^{18}$ là $2^{9} C_{18}^{9}$ .

Câu 10:

Trong khai triển ${(x + \frac{8}{x^{2}})}^{9}$ , số hạng không chứa x là

A. 84.

B. 43008.

C. 4308.

D. 86016.

Xem đáp án

Chọn B

Với x $\neq$ 0, ta có

Từ yêu cầu bài toán suy ra 9 - 3k = 0 => k = 3, suy ra số hạng không chứa x là .

Câu 11:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển ${(3 x - 2)}^{8}$

$A . 1944 C_{8}^{3}$

$B . 864 C_{8}^{3}$

$C . - 864 C_{8}^{3}$

$D . - 1944 C_{8}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển biểu thức là

Số hạng chứa $x^{5}$ ứng với k = 5, suy ra hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ là:

Câu 12:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${(x - \frac{2}{x^{3}})}^{12}$ là

A. -1760

B. 1760

C. 220

D. -220

Xem đáp án

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển ${(x - \frac{2}{x^{3}})}^{12}$ , x $\neq$ 0 là , . Số hạng không chứa x ứng với 12-4k = 0 => k = 3.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là -1760.

Câu 13:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{6}$ trong khai triển ${(\frac{1}{x} - 2 x^{2})}^{9}, x \neq 0$ .

$A . - C_{9}^{4} . 2^{4}$

$B . - C_{9}^{5} . 2^{5}$

$C . C_{9}^{5} . 2^{5}$

$D . C_{9}^{5} . 2^{4}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

Hệ số cuả số hạng chứa $x^{6}$ tương ứng với 6 = 3k - 9 => k = 5

Vậy hệ số cuả số hạng chứa $x^{6}$ là $C_{9}^{5} . 2^{5}$

Câu 14:

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển biểu thức P(x) = x ${(2 x - 1)}^{6} + {(3 x - 1)}^{8}$ bằng

A. -13848

B. 13368

C. 13848

D. -13368

Xem đáp án

Chọn D

Số hạng tổng quát của khai triển

Số hạng chứa $x^{5}$ trong A(x) là

Số hạng tổng quát của khai triển

Số hạng chứa $x^{5}$ trong B(x) là

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển P(x) đã cho là 240-13608 = -13368.

Câu 15:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 44$ . Hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong khai triển biểu thức ${(x^{4} - \frac{2}{x^{3}})}^{n}$ bằng

A. 14784

B. 29568

C. -1774080

D. -14784

Xem đáp án

Chọn D

Điều kiện xác định: .

Khi đó

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra n = 11

Ta có: .

Số hạng chứa $x^{9}$ ứng với k thỏa 7k - 33 = 9 => k = 6

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ là .

Câu 16:

Hệ số của $x^{4}$ trong khai triển của biểu thức ${(x + 3)}^{6}$ là

A. 1215.

B. 54.

C. 135.

D. 15.

Xem đáp án

Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức ${(x + 3)}^{6}$ là .

Do đó hệ số của $x^{4}$ (ứng với k = 2) là .

Câu 17:

Trong khai triển nhị thức ${(x^{2} - \frac{1}{x^{3}})}^{10}$ , số hạng không chứa x là:

A. -210

B. 120

C. 210

D. -120

Xem đáp án

Chọn C.

Số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng không chứa x có số k thỏa mãn: 20 - 5k = 0 => k = 4

Vậy số hạng không chứa x đó là:

Câu 18:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{12} (x \neq 0)$ bằng:

A. -459

B. 459

C. -495

D. 495

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

Vì số hạng không chứa x trong khai triển nên 24 - 3k = 0 => k = 8

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là .

Câu 19:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{15}$

$A . 2^{7} . C_{15}^{7}$

$B . 2^{10} . C_{15}^{10}$

$C . - 2^{10} . C_{15}^{10}$

$D . - 2^{7} . C_{15}^{7}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

Số hạng không chứa x tương ứng với 30 - 3k = 0 => k = 10

Khi đó số hạng cần tìm là $2^{10} . C_{15}^{10}$ .

Câu 20:

Trong khai triển Newton của biểu thức ${(2 x - 1)}^{2019}$ , số hạng chứa $x^{18}$ là.

$A . - 2^{18} . C_{2019}^{18}$

$B . - 2^{18} . C_{2019}^{18} x^{18}$

$C . 2^{18} . C_{2019}^{18} x^{18}$

$D . 2^{18} . C_{2019}^{18}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: ${(2 x - 1)}^{2019}$

Số hạng tổng quát của khai triển là .

Để có $x^{18}$ thì 2019 - k = 18 => k = 2001.

Khi đó số hạng chứa $x^{18}$ là .

Câu 21:

Cho biểu thức P = ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{10}$ với x > 0. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn P.

A. 160

B. 200

C. 210

D. -210

Xem đáp án

Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển .

Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn: .

Vậy số hạng không chứa x cần tìm: .

Câu 22:

Biết tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của ${(5 x - 1)}^{n}$ bằng $2^{100}$ . Tìm hệ số của $x^{3}$ .

A. -161700

B. -19600

C. -20212500

D. -2450000

Xem đáp án

Chọn D

Ta có, .

Tổng các hệ số trong khai triển ${(5 x - 1)}^{n}$ bằng $2^{100}$ nên ta có phương trình:

.

Vậy ${(5 x - 1)}^{n}$ .

Xét số hạng chứa $x^{3}$ thì 50 - k = 3 => k = 47.

=> Hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ là: .

Câu 23:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển ${(3 x - 2)}^{8}$ .

$A . 1944 C_{8}^{3}$

$B . - 1944 C_{8}^{3}$

$C . - 864 C_{8}^{3}$

$D . 864 C_{8}^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có ${(3 x - 2)}^{8}$ có số hạng tổng quát là .

Số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển ứng với 8 - k = 5 => k = 3

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển là .

Câu 24:

Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của biểu thức ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{10}$ bằng

A. 3124

B. 2268

C. 13440

D. 210

Xem đáp án

Chọn C

Số hạng tổng quát của khai triển:

.

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với: 20 - 3k = 2 => k = 6 (nhận).

Hệ số cần tìm là: .

Câu 25:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ , x $\neq$ 0.

A. -240

B. 15

C. 240

D. -15

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có .

Số hạng thứ k + 1 là .

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển khi: 6 - 3k = 0 => k = 2

Với k = 2 ta có số hạng không chứa x là: .

Câu 26:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${(\frac{x}{2} + \frac{4}{x})}^{20}, x \neq 0$ bằng:

$A . 2^{8} . C_{20}^{12}$

$B . 2^{9} . C_{20}^{9}$

$C . 2^{10} . C_{20}^{10}$

$D . 2^{10} . C_{20}^{11}$

Xem đáp án

Chọn C.

Phân tích: Bài toán này ta phải nhớ được kiến thức lớp 11 về Nhị thức Niu – Tơn . Trong đó a, b thuộc số thực và n thuộc số tự nhiên và n $\geq$ 1. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: .

Áp dụng vào bài toán ta có:

Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: .

+) Vì số hạng không chứa x nên: 20 - 2k = 0 => k = 10

+) Vậy số hạng không chứa x là: .

Câu 27:

Cho đa thức f(x) = ${(1 + 3 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . . + a_{n} x^{n} (n \in ℕ *)$ . Tìm hệ số $a_{3}$ , biết rằng: $a_{1} + 2 a_{2} + . . . . + n a_{n}$ = 49152n

A. $a_{3}$ = 945

B. $a_{3}$ = 252

C. $a_{3}$ = 5670

D. $a_{3}$ = 1512

Xem đáp án

Chọn D

Đạo hàm hai vế f(x)

Số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển thành đa thức của

Câu 28:

Hệ số $x^{6}$ trong khai triển đa thức P(x) = ${(5 - 3 x)}^{10}$ có giá trị bằng đại lượng nào sau đây?

$A . C_{10}^{4} . 5^{6} . 3^{4}$

$B . - C_{10}^{6} . 5^{6} . 3^{4}$

$C . - C_{10}^{4} . 5^{6} . 3^{4}$

$D . C_{10}^{6} . 5^{6} . 3^{4}$

Xem đáp án

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển là .

Số hạng này chứa $x^{6}$ khi 10 - k = 6 => k = 4.

Do đó hệ số $x^{6}$ trong khai triển là: .

Câu 29:

Tính tổng các hệ số trong khai triển ${(1 - 2 x)}^{2019}$

A. -1

B. 2019

C. -2019

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Đặt ${(1 - 2 x)}^{2019}$

Cho x = 1 ta có tổng các hệ số

Câu 30:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ là

A. 60

B. 120

C. 480

D. 240

Xem đáp án

Chọn D

Xét số hạng tổng quát

Số hạng không chứa x ứng với 6 - 3k = 0 => k = 2

Vậy số hạng không chứa x là .

Câu 31:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{8}$ trong khai triển ${(x^{3} - \frac{1}{x^{4}})}^{n}$ biết $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4 n + 6$

A. 505

B. -405

C. 495

D. -505

Xem đáp án

Chọn C

Ta có .

Xét khai triển .

Số hạng chứa $x^{8}$ tương ứng với 36 - 7k = 8 => k = 4.

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{8}$ trong khai triển ${(x^{3} - \frac{1}{x^{4}})}^{n}$ bằng .

Câu 32:

Cho số nguyên dương thỏa mãn $5 C_{n}^{n - 1} - C_{n}^{3}$ = 0. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x})}^{n}, x \neq 0$ .

$A . \frac{35}{16} x^{5}$

$B . - \frac{35}{16}$

$C . \frac{35}{2} x^{2}$

$D . - \frac{35}{16} x^{5}$

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện xác định: .

Ta có: .

.

Khi đó nhị thức Niu-tơn có số hạng tổng quát:

.

Số hạng chứa $x^{5}$ có giá trị k thỏa mãn: 14 - 3k = 5 => k = 3.

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ là: .

Câu 33:

Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3 số 0; $C_{n}^{1}; C_{n}^{2}$ theo thứ tự là số hạng đầu, số hạng thứ 3 và số hạng thứ 10 của một cấp số cộng. Hãy tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{n} ?$

A. 45

B. -45

C. 90

D. -90

Xem đáp án

Chọn A

Theo đề bài ta có: .

Lại theo tính chất của cấp số cộng có:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{10}$

Số hạng không chứa x trong khai triển trên ứng với

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển trên là

Câu 34:

Trong khai triển Newton của biểu thức ${(2 x - 1)}^{2019}$ , số hạng chứa $x^{18}$ là

$A . - 2^{18} . C_{2019}^{18} .$

$B . 2^{18} . C_{2019}^{18} .$

$C . 2^{18} . C_{2019}^{18} . x^{18} .$

$D . - 2^{18} . C_{2019}^{18} . x^{18} .$

Xem đáp án

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển ${(2 x - 1)}^{2019}$ là

Theo đề bài ta có: 2019 - k = 18 => k = 2001.

Vậy trong khai triển biểu thức đã cho, số hạng chứa $x^{18}$ là:

Câu 35:

Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện: 720 $(C_{7}^{7} + C_{8}^{7} + C_{9}^{7} + . . . + C_{n}^{7}) = \frac{1}{4032} A_{n + 1}^{10}$ . Hệ số của $x^{7}$ trong khai triển ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{n} (x \neq 0)$ bằng:

A. -120

B. -560

C. 120

D. 560

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng công thức: , ta được:

.

Do đó :

Có: .

Số hạng trong khai triển chứa $x^{7}$ ứng với 16 - 3k = 7 => k = 3

Vậy hệ số của $x^{7}$ là

Câu 36:

Cho khai triển ${(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . . + a_{n} x^{n}, n \in ℕ *$ . Hỏi có bao nhiêu giá trị của n $\leq$ 2019 sao cho tồn tại thỏa mãn $\frac{a_{k}}{a_{k + 1}} = \frac{7}{15}$ .

A. 90

B. 642

C. 21

D. 91

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là nên từ giả thiết ta có

Do đó:

Suy ra:

Thế vào (1), ta được:

Mặt khác, do

Với mỗi số nguyên dương h $\in$ [1;91] tồn tại duy nhất một số nguyên dương n sao cho tồn tại k thỏa yêu cầu bài toán. Vậy có 91 số tự nhiên n.

Câu 37:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1} + C_{n}^{2}$ = 78. Số hạng không chứa x trong khai triển ${(x + \frac{2}{x^{3}})}^{n}$ bằng

A. 3960

B. 220

C. 1760

D. 59136

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện:

( do điều kiện (1))

Khi đó,

Số hạng không chứa x tương ứng 12 - 4k = 0 => k = 3

Suy ra số hạng không chứa x là:

Câu 38:

Cho khai triển ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{n} x^{n}$ , trong đó $n \in ℤ^{+}$ . Biết các hệ số $a_{0}, a_{1}, . . ., a_{n}$ thỏa mãn hệ thức $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + . . . + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 4096$ . Hệ số $a_{8}$ bằng