Vì sin 3x ∈ [− 1; 1] nên 1 + sin 3x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó biểu thức \(\sqrt {1 + \sin 3x} \) có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {1 + \sin 3x} \) là D = ℝ.

Vì cos x ∈ [− 1; 1] nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Nên biểu thức \(\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 - \cos x} }}\) có nghĩa khi 1 – cos x ≠ 0 hay cos x ≠ 1, tức là x ≠ k2π, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 - \cos x} }}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Biểu thức \(\frac{{\sqrt {1 + \cos 2x} }}{{\sin x}}\) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos 2x \ge 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right.\).

Mà cos 2x ∈ [− 1; 1] nên 1 + cos 2x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Và sin x ≠ 0 khi \(x \ne k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 + \cos 2x} }}{{\sin x}}\) là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

Biểu thức \(\frac{1}{{\sin x + \cos x}}\) có nghĩa khi sin x + cos x ≠ 0

⇔ sin x ≠ – cos x ⇔ tan x ≠ – 1.

Mà tan x ≠ – 1 khi \(x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có: 1 + sin x cos x = \(1 + \frac{{\sin 2x}}{2}\).

Vì – 1 ≤ sin 2x ≤ 1 nên \(\frac{1}{2} \le 1 + \frac{{\sin 2x}}{2} \le \frac{3}{2}\) với mọi x ∈ ℝ.

Do đó 1 + sin x cos x > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Khi đó biểu thức \(\frac{1}{{1 + \sin x\cos x}}\) có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{1 + \sin x\cos x}}\) là D = ℝ.

Biểu thức \(\sqrt {\cos x - 1} \) có nghĩa khi cos x – 1 ≥ 0 hay cos x ≥ 1.

Mà cos x ∈ [− 1; 1] với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, biểu thức \(\sqrt {\cos x - 1} \) có nghĩa khi cos x = 1, tức là x = k2π, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\cos x - 1} \) là D = {k2π| k ∈ ℤ}.

Hàm số y = sin 2x có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = sin(– 2x) = – sin 2x = – f(x).

Do đó, hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ.

Hàm số y = |sin x| có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = |sin(– x)| = |– sin x| = |sin x| = f(x).

Do đó, hàm số y = |sin x| là hàm số chẵn.

Hàm số y = tan² x có:

+ Tập xác định: D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

+ Với x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = tan² (– x) = (– tan x)² = tan² x = f(x).

Do đó, hàm số y = tan² x là hàm số chẵn.

Vì cos x ∈ [− 1; 1] nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Hàm số \(y = \sqrt {1 - \cos x} \) có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và \(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - \cos \left( { - x} \right)} = \sqrt {1 - \cos x} = f\left( x \right)\).

Do đó, hàm số \(y = \sqrt {1 - \cos x} \) là hàm số chẵn.

Hàm số y = tan x + cot x có:

+ Tập xác định: D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

+ Với x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = tan(– x) + cot(– x) = – tan x – cot x = – (tan x + cot x) = – f(x).

Do đó, hàm số y = tan x + cot x là hàm số lẻ.

Hàm số y = sin x . cos 3x có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = sin(– x) . cos(– 3x) = – sin x . cos 3x = – f(x).

Do đó, hàm số y = sin x . cos 3x là hàm số lẻ.

y = 3sin x + 5

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 2 ≤ 3sin x + 5 ≤ 8.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi sin x = 1 hay \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi sin x = − 1 hay \(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(y = \sqrt {1 + \cos 2x} + 3\)

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 0 ≤ 1 + cos 2x ≤ 2. (*)

Do đó, tập xác định của hàm số là ℝ.

Từ (*) suy ra \(0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \) ∀x ∈ ℝ. Do đó \(3 \le \sqrt {1 + \cos 2x} + 3 \le 3 + \sqrt 2 \) ∀x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(3 + \sqrt 2 \) khi cos 2x = 1 hay x = kπ (k ∈ ℤ); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi cos 2x = − 1 hay \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có: y = 4 – 2sin x cos x = 4 – sin 2x.

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin 2x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin 2x ≤ 5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi sin 2x = − 1 hay \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi sin 2x = 1 hay \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(y = \frac{1}{{4 - \sin x}}\)

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin x ≤ 5. Suy ra \(\frac{1}{3} \ge \frac{1}{{4 - \sin x}} \ge \frac{1}{5}\).

Khi đó \(\frac{1}{5} \le y \le \frac{1}{3}\) ∀x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{3}\) khi sin x = 1 hay \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{5}\) khi sin x = − 1 hay \(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Ta có: \(\left( { - \frac{{19\pi }}{2};\, - \frac{{17\pi }}{2}} \right)\)\( = \left( {\frac{\pi }{2} - 10\pi ;\,\frac{{3\pi }}{2} - 10\pi } \right)\).

Do hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên hàm số đó cũng nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{{19\pi }}{2};\, - \frac{{17\pi }}{2}} \right)\).

+ Ta có: \(\,\left( { - \frac{{13\pi }}{2};\, - \frac{{11\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} - 6\pi ;\,\frac{\pi }{2} - 6\pi } \right)\).

Do hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng \(\,\left( { - \frac{{13\pi }}{2};\, - \frac{{11\pi }}{2}} \right)\).

+ Ta có: (19π; 20π) = (– π + 20π; 0 + 20π).

Do hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng (19π; 20π).

+ Ta có: (– 30π; – 29π) = (0 – 30π; π – 30π).

Do hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (0; π) nên hàm số đó cũng nghịch biến trên khoảng (– 30π; – 29π).

Xét đồ thị hàm số y = cos x:

Trên đoạn [ – 5π; 0], hàm số y = cos x nhận giá trị bằng 1 với x ∈ {– 4π; – 2π; 0}.

Vậy có 3 giá trị của x trên đoạn [ – 5π; 0] để cos x = 1.

Xét đồ thị hàm số y = cos x:

Trên khoảng \(\left( { - \frac{{9\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\), hàm số y = cos x nhận giá trị bằng 0 với \(x \in \left\{ { - \frac{{7\pi }}{2};\, - \frac{{5\pi }}{2}} \right\}.\)

Vậy có 2 giá trị của x trên khoảng \(\left( { - \frac{{9\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) để cos x = 0.

Xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = \(\frac{1}{2}\).

Giá trị của x để sin x = \(\frac{1}{2}\) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = \(\frac{1}{2}\).

Dựa vào đồ thị, ta có sin x = \(\frac{1}{2}\) khi \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \) và \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) với k ∈ ℤ.

Xét đồ thị hàm số y = sin x:

Hàm số y = sin x nhận giá trị dương tương ứng với phần đồ thị hàm số đó nằm phía trên trục hoành. Dựa vào đồ thị ở hình vẽ trên, ta suy ra hàm số y = sin x nhận giá trị dương khi x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ ℤ.

Vì vòng quay trò chơi quay mỗi vòng hết 15 phút nên chu kì của hàm số h(t) bằng 15 phút.

Khi t = 0 thì \(h\left( 0 \right) = 57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}.0 - \frac{\pi }{2}} \right) + 57,5 = 57\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 57,5 = 0,5\) (m).

Vậy khi đó khoảng cách từ cabin đến mặt đất bằng 0,5 m.

+ Khi quay một vòng, cabin ở vị trí cao nhất khi h(t) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \(h\left( t \right) = 57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + 57,5\)

Với mọi t ≥ 0 thì \( - 1 \le \sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) \le 1\), do đó h(t) đạt giá trị lớn nhất khi \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 1\) hay t = 7,5 (phút).

Vậy khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm t = 0 (phút), tại thời điểm t = 7,5 phút thì cabin ở vị trí cao nhất.

+ Ta có cabin đạt được chiều cao là 86 m khi h(t) = 86 hay \(57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + 57,5 = 86\), tức là \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\) hay t = 5 (phút).

Vậy cabin đạt được chiều cao là 86 m lần đầu tiên khi t = 5 (phút).