Giải SBT Toán 11 Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
Giải SBT Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
-
2841 lượt thi
-
8 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Xem đáp án
Ta có:
(Vì G là trọng tâm của tam giác ABCD nên 
Câu 2:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ . Chứng minh rằng AB ⊥ CD.
Xem đáp án
Ta cần chứng minh 
Theo giả thiết ta có:
Câu 3:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = . Tính góc giữa hai vectơ và .
Xem đáp án
Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ và . Ta có
Theo giả thiết ta suy ra hình chóp có các tam giác đều là SAB, SAC và các tam giác vuông là ABC vuông tại A và SBC vuông tại S.
Vậy góc giữa hai vectơ và bằng .
Câu 4:
Cho hình chóp A.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Xem đáp án
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB. AC. Để tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB, ta cần tính .
Ta có:
Mặt khác:
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng .
Câu 5:
Chứng minh rằng một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Xem đáp án
Giả sử a // b và c ⊥ a. Lấy điểm O bất kì trên c, kẻ a′ // a qua O suy ra = . Dễ thấy a′ // b nên chính là góc giữa hai đường thằng c và b, do đó c⊥b.
Câu 6:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau ( hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng AC ⊥ B'D'
Xem đáp án
Từ giả thiết suy ra tứ giác ABCD là hình thoi, do đó AC ⊥ BD
Dễ thấy mặt chéo BDD'B' của hình hộp đã cho là hình bình hành, do đó BD // B′D′. Từ đó, theo bài 3.12 suy ra AC ⊥ B'D'.
Câu 7:
Cho hình hộp thoi ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và . Chứng minh tứ giác A'B'CD là hình vuông.
Xem đáp án
Trước hết dễ thấy tứ giác A'B'CD là hình bình hành, ngoài ra B′C = a = CD nên nó là hình thoi. Ta chứng minh hình thoi A'B'CD là hình vuông. Ta có:
Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông.
