50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải - đề 14

Câu 1:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = - 2$ và công sai d=3 Tìm số hạng $u_{10} .$

A. $u_{10} = - {2.3}^{9}$

B. $u_{10} = 25$

C. $u_{10} = 28$

D. $u_{10} = - 29$

Xem đáp án

Đáp án B

$u_{10} = u_{1} + 9 d = - 2 + 9.3 = 25$

Câu 2:

Cho các số thực dương x,y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{4 x y^{2}}{{(x + \sqrt{x^{2} + 4 y^{2}})}^{3}}$

A. $max P=1$

B. $max P= \frac{1}{10}$

C. $max P= \frac{1}{8}$

D. $max P= \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} P = \frac{4 x y^{2}}{(x + \sqrt{x^{2} + 4 y^{2}})} \\ P = \frac{4 {(\frac{y}{x})}^{2}}{{(1 + \sqrt{1 + 4 {(\frac{y}{x})}^{2}})}^{3}} \end{array}$

Đặt $\sqrt{1 + 4 {(\frac{y}{x})}^{2}} = t, t \geq 1$ $\Rightarrow 4 {(\frac{y}{x})}^{2} = t^{2} - 1$

Ta được hàm:

$\begin{array}{l} f (t) = \frac{t^{2} - 1}{{(1 + t)}^{3}} = \frac{t - 1}{{(1 + t)}^{2}}, t \geq 1 \\ f' (t) = \frac{- t^{2} + 2 t + 3}{{(1 + t)}^{4}} \\ f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 (L) \\ t = 3 \end{array} \end{array}$

Vậy $\max P = \max_{[1; + \infty)} f (t) = \frac{1}{8}$

Câu 3:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng V, thể tích của khối đa diện có đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD bằng V' Tính tỉ số $\frac{V'}{V} .$

A. $\frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$

B. $\frac{V'}{V} = \frac{1}{8}$

C. $\frac{V'}{V} = \frac{1}{4}$

D. $\frac{V'}{V} = \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 4:

Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 5:

Gọi (P) là đường Parabol qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - m x^{2} + m^{2} .$ Gọi $m_{0}$ là giá trị để (P) đi qua $A (2; 24) .$ Hỏi $m_{0}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(10; 15)$

B. $(- 6; 1)$

C. $(- 2; 10)$

D. $(- 8; 2)$

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{4} x^{4} - m x^{2} + m^{2} \\ y' = x^{3} - 2 m x = x (x^{2} - 2 m) \end{array}$

Để hàm số có 2 cực trị $\Leftrightarrow x^{2} - 2 m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 m > 0 \\ \Leftrightarrow m > 0 \end{array}$

$D (0; m^{2}), B (- \sqrt{2 m}; 0); C (\sqrt{2 m}; 0)$

Gọi $(P) : y = a x^{2} + b x + c, (a \neq 0)$ là parabol đi qua 3 điểm cực trị D, B và C.

Suy ra $\{\begin{cases} c = m^{2} \\ 2 m a - \sqrt{2 m} b + m^{2} = 0 \\ 2 m a + \sqrt{2 m} b + m^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = m^{2} \\ a = \frac{- m}{2} \\ b = 0 \end{cases}$

Do đó $(P) : y = - \frac{m}{2} x^{2} + m^{2}$

Vì $A (2; 24) \in (P)$ nên

$\begin{array}{l} 24 = - \frac{m}{2} .4 + m^{2} \\ \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 24 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 4 (L) \\ m = 6 \end{array} \end{array}$

Câu 6:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m tham số để hàm số $y = {|x|}^{3} - 6 x^{2} + m |x| - 1$ có 5 điểm cực trị.

A. 11

B. 15

C.6

D.8

Xem đáp án

Đáp án A

$y = {|x|}^{3} - 6 x^{2} + m |x| - 1$ ( 1) là hàm chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung.

Đặt $|x| = t, t \geq 0$ . Khi đó :

$y = t^{3} - 6 t^{2} + m t - 1$ (*)

Để hàm số (1) có 5 cực trị <=> hàm số (*) có 2 cực trị dương

$\Leftrightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow 3 t^{2} - 12 t + m = 0$ có 2 nghiệm dương phân biết

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = 36 - 3 m > 0 \\ \frac{12}{2.3} > 0 \\ 3. m > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow 0 < m < 12 \end{array}$

Câu 7:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số nào dưới đây.

A. $y = - x^{4} - 2 x^{2} - 3$

B. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3$

C. $y = x^{4} - x^{2} - 3$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Từ đồ thị hàm số thì đây là hàm bậc 4 với hệ số a>0 nên loại đáp án A. Hàm số có 3 cực trị nên hệ số b<0 loại đáp án B. Lại thấy

$\begin{array}{l} y = x^{4} - x^{2} - 3 \\ y' = 4 x^{3} - 2 x \\ x_{C T} = \frac{1}{\sqrt{2}}, y_{C T} = - 3,25 \end{array}$ thỏa mãn với đồ thị hàm cần tìm.

Câu 8:

Cho lăng trụ tam giác đều ABCDA'B'C'D' có cạnh đáy bằng a góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng đáy bằng $60 °$ Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A'B'C'D' theo a .

A. $\frac{3 a^{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3}}{12}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} (A' C; (A' B' C') = (A' C; A' C') = ∠ C A' C' = 60^{0} \\ C C' = A' C' . \tan 60^{0} = a \sqrt{3} \\ V_{A B C . A' B' C'} = C C' . S_{A' B' C'} = a \sqrt{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3}}{4} \end{array}$

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ B đến (SCD)

A.1

B. $\frac{\sqrt{21}}{3}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{\sqrt{21}}{7}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 10:

Giải phương trình $\sin \frac{x}{2} = 1.$

A. $x = π + k 4 π, k \in ℤ$

B. $x = k 2 π, k \in ℤ$

C. $x = π + k 2 π, k \in ℤ$

D. $x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{π}{2} + k 2 π \\ \Leftrightarrow x = π + k 4 π \end{array}$

Câu 11:

Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện

A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.

B. Mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh

C. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt.

D. Hai mặt bất kì luôn có ít nhất một điểm chung

Xem đáp án

Đáp án D

Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.

Câu 12:

Có 10 tấm bìa ghi chữ “NƠI”, “NÀO”, “CÓ”, “Ý”, “CHÍ”, “NƠI”, “ĐÓ”, “CÓ”, “CON”, “ĐƯỜNG”. Một người phụ nữ xếp ngẫu nhiên 10 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa được dòng chữ “ NƠI NÀO CÓ Ý CHÍ NƠI ĐÓ CÓ CON ĐƯỜNG”.

A. $\frac{1}{40320}$

B. $\frac{1}{10}$

C. $\frac{1}{3628800}$

D. $\frac{1}{907200}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} n (Ω) = 10! \\ n (A) = 1 \\ P (A) = \frac{1}{10!} = \frac{1}{3628800} \end{array}$

Câu 13:

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số $y = \frac{m}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 1) x - 2$ nghịch biến trên tập xác định của nó.

A. $m \leq 0$

B. $m > - 1$

C. $m \leq 2$

D. $m \geq 0$

Xem đáp án

Đáp án A

$y = \frac{m}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 1) x - 2$ txd $D = R$

$y' = m x^{2} - 2 m x + 2 m - 1$

Để hàm số nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' \leq 0 \forall x \in R$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ \{\begin{cases} m < 0 \\ Δ' = m^{2} - 2 m^{2} + m \leq 0 \end{cases} \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ \{\begin{cases} m < 0 \\ m \in (- \infty; 0] \cup [1; + \infty) \end{cases} \end{array} \\ \Leftrightarrow m \leq 0 \end{array}$

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 3 x + a - 1 k h i x \leq 0 \\ \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1 k h i x > 0}{x} \end{cases} .$ Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên i

A. a=1

B. a=3

C. a=2

D. a=4

Xem đáp án

Đáp án C

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x - 1}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\sqrt{1 + 2 x} + 1} = 1$

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (3 x + a - 1) = a - 1$

Để hàm số liên tục tên R <=> hàm số liên tục tại x=0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a - 1 = 1 \\ \Leftrightarrow a = 2 \end{array}$

Câu 15:

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x^{2} + 1} .$

A. 0

B.2

C.1

D.3

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} y = \frac{2 x - 1}{x^{2} + 1} \\ \lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 1}{x^{2} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 0 \end{array}$

y=0 là TCN của đồ thị hàm số.

Câu 16:

Tìm số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trình $\sin^{2} 2 x - c os 2 x + 1 = 0$ trên đường tròn lượng giác.

A.1

B.3

C.2

D.4

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} \sin^{2} 2 x - \cos 2 x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow 1 - \cos^{2} 2 x - \cos 2 x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \cos^{2} 2 x + \cos 2 x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos 2 x = 1 \\ \cos 2 x = - 2 (L) \end{array} \\ \Leftrightarrow 2 x = k 2 π \\ \Leftrightarrow x = k π \end{array}$

Câu 17:

Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = 1 - s inx$

B. $y = |s inx|$

C. $y = c os (x + \frac{π}{3})$

D. $y = s inx+ \cos x$

Xem đáp án

Đáp án C

Vì hàm $y = \cos x$ là hàm chẵn.

Câu 18:

Cho tứ diện ABCD và các điểm M,N xác định bởi $\vec{A M} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{A C};$ $\vec{D N} = \vec{D B} + x \vec{D C} .$ Tìm x để ba véc tơ $\vec{A D}, \vec{B C}, \vec{M N}$ đồng phẳng

A.x= -1

B. x= -3

C. x= -2

D. x= 2

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} \vec{A M} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{A C} \\ \vec{D N} = \vec{D B} + x \vec{D C} = \vec{A B} - \vec{A D} + x (\vec{A C} - \vec{A D}) \\ = \vec{A B} + x \vec{A C} - (x + 1) \vec{A D} \\ \vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \vec{A D} + \vec{D N} - \vec{A M} \\ = - \vec{A B} + (x + 3) \vec{A C} - x \vec{A D} \\ \vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B} \end{array}$

Để 3 vectơ $\vec{A D}, \vec{B C}, \vec{M N}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists m, n \in R$ sao cho :

$\begin{array}{l} \vec{A M} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{A C} \\ \vec{D N} = \vec{D B} + x \vec{D C} \\ = \vec{A B} - \vec{A D} + x (\vec{A C} - \vec{A D}) \\ = \vec{A B} + x \vec{A C} - (x + 1) \vec{A D} \\ \vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \vec{A D} + \vec{D N} - \vec{A M} \\ = - \vec{A B} + (x + 3) \vec{A C} - x \vec{A D} \\ \vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B} \\ \vec{M N} = m . \vec{A D} + n \vec{B C} \\ \Leftrightarrow - \vec{A B} + (x + 3) \vec{A C} - x \vec{A D} \\ = m \vec{A D} + n (\vec{A C} - \vec{A B}) \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} n - 1 = 0 \\ x + 3 - n = 0 \\ x + m = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} n = 1 \\ x = - 2 \\ m = 2 \end{cases} \end{array}$

Câu 19:

Cho khối chóp tam giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a, S A = \sqrt{3} .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{\sqrt{35} a^{3}}{24}$

B. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

C. $V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

D. $V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC $\Rightarrow S H ⊥ (A B C)$

$\begin{array}{l} A H = \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \\ S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{2 \sqrt{6} a}{3} \\ V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C} = \frac{1}{3} \frac{2 \sqrt{6} a}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} \end{array}$

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại Avới AB=a, BC =2a .Điểm H thuộc cạnh CH sao cho $C H = \frac{1}{3} C A, S H$ là đường cao hình chóp S.ABCD và $S H = \frac{a \sqrt{6}}{3} .$ Gọi I là trung điểm BC.Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC với mặt phẳng đi qua H và vuông góc với AI

A. $\frac{2 \sqrt{2} a^{2}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2} a^{2}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 21:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $y = f' (x)$ cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a,b,c như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

A. $f (a) > f (b) > f (c)$

B. $f (b) > f (a) > f (c)$

C. $f (c) > f (a) > f (b)$

D. $f (c) > f (b) > f (a)$

Xem đáp án

Câu 22:

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1(m) như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x(m) Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. $x = \frac{\sqrt{2}}{4}$

B. $x = \frac{\sqrt{2}}{3}$

C. $x = \frac{2 \sqrt{2}}{5}$

D. $x = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} S A = \sqrt{{(\frac{1 - x \sqrt{2}}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} \\ = \sqrt{\frac{1 - x \sqrt{2} + x^{2}}{2}} \\ A O = \frac{x \sqrt{2}}{2}, S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} \\ = \sqrt{\frac{1 - x \sqrt{2} + x^{2} - x^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - x \sqrt{2}}{2}} \\ V = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} x^{2} \sqrt{\frac{1 - x \sqrt{2}}{2}} \\ f (x) = x^{2} \sqrt{\frac{1 - x \sqrt{2}}{2}}, x \in (0; 1) \\ f' (x) = \frac{4 x - 5 \sqrt{2} x^{2}}{4 \sqrt{\frac{1 - x \sqrt{2}}{2}}} \\ f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (L) \\ x = \frac{2 \sqrt{2}}{5} \end{array} \end{array}$

Câu 23:

Cho hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 1.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

B. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

C. Hàm số có 1 điểm cực trị.

D. Hàm số có hai điểm cực trị

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} y = x^{4} - x^{2} + 1 \\ y' = 4 x^{3} - 2 x = 2 x (2 x^{2} - 1) \\ y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \end{array}$

Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

Câu 24:

Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.

A. $\frac{135}{988}$

B. $\frac{3}{247}$

C. $\frac{244}{247}$

D. $\frac{15}{26}$

Xem đáp án

Đáp án C

$n (Ω) = C_{40}^{3}$

A : ‘ 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm tốt ‘

$\bar{A}$ : ‘3 sản phẩm lấy ra không có sản phẩm tốt ‘

$\begin{array}{l} n (\bar{A}) = C_{10}^{3} \\ P (A) = 1 - P (\bar{A}) = 1 - \frac{C_{10}^{3}}{C_{40}^{3}} = \frac{244}{247} \end{array}$

Câu 25:

Đa diện đều loại $\{5,3\}$ có tên gọi nào dưới đây?

A. Tứ diện đều

B. Lập phương

C. Hai mươi mặt đều

D. Mười hai mặt đều

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 26:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty) .$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1) .$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} y = x^{3} - 3 x \\ y' = 3 x^{2} - 3 \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

Câu 27:

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ 2 (n + 1) u_{n + 1} = n u_{n} + n + 2 \end{cases} .$ Tính $\lim u_{n} .$

A. $\lim u_{n} = 1$

B. $\lim u_{n} = 4$

C. $\lim u_{n} = 3$

D. $\lim u_{n} = 0$

Xem đáp án

$u_{n + 1} = \frac{n u_{n} + 1}{2 (n + 1)} + \frac{1}{2} \leq \frac{n (1 + \frac{1}{2 n})}{2 (n + 1)} + \frac{1}{2} \leq 1 + \frac{1}{4 (n + 1)} \leq 1 + \frac{1}{2 n}$

suy ra $\lim u_{n} = 1$

Câu 28:

Tìm giá trị nhỏ nhât của hàm số $y = 2 c os \frac{x}{2} + s inx + 1.$

A. $1 - 2 \sqrt{3}$

B. $\frac{2 - 5 \sqrt{3}}{2}$

C. -1

D. $\frac{2 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} y = 2 \cos \frac{x}{2} + s i nx + 1 \\ y' = - \sin \frac{x}{2} + \cos x = - 2 \sin^{2} \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + 1 \\ y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} = - 1 \\ \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{x}{2} = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ \frac{x}{2} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ \frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - π + k 4 π \\ x = \frac{π}{3} + k 4 π \\ x = \frac{5 π}{3} + k 4 π \end{array} \\ y (- π) = 1 \\ y (0) = 3 \\ y (\frac{π}{3}) = \frac{2 + 3 \sqrt{3}}{2} \\ y (\frac{5 π}{3}) = \frac{2 - 3 \sqrt{3}}{2} \\ y (π) = 1 \\ \Rightarrow \min y = \frac{2 - 3 \sqrt{3}}{2} \end{array}$

Câu 29:

Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý thì có bao nhiêu cách.

A.120

B. 90

C.80

D.220

Xem đáp án

Đáp án B

Th1 : Số cách chọn ra 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam : $5.3.4 = 60$

Th2 : Số cách chọn ra 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam : $C_{3}^{2} C_{4}^{1} = 12$

Th3 : Số cách chọn ra 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý nam : $C_{3}^{1} C_{4}^{2} = 18$

Vậy có số cách chọn là : 90

Câu 30:

Cho hàm số $y = x (1 - x) (x^{2} + 1)$ có đồ thị (C) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. (C)cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

B. (C) không cắt trục hoành

C. ( C) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

D. (C) cắt trục hoành tại 1 điểm

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} y = x (1 - x) (x^{2} + 1) \\ y = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array} \end{array}$

Câu 31:

Trong Với $n \in ℕ, n \geq 2$ và thỏa mãn $\frac{1}{C_{2}^{2}} + \frac{1}{C_{3}^{2}} + \frac{1}{C_{4}^{2}} + ... + \frac{1}{C_{n}^{2}} = \frac{9}{5} .$ Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{C_{n}^{5} + C_{n + 2}^{3}}{(n - 4)!} .$

A. $\frac{61}{90}$

B. $\frac{59}{90}$

C. $\frac{29}{45}$

D. $\frac{53}{92}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\begin{array}{l} \frac{1}{C_{2}^{2}} + \frac{1}{C_{3}^{2}} + \frac{1}{C_{4}^{2}} + . . . + \frac{1}{C_{n}^{2}} = \frac{9}{5} \\ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + ... + \frac{2}{n (n - 1)} = \frac{9}{5} \\ \Leftrightarrow \frac{2}{2.3} + \frac{2}{3.4} + ... + \frac{2}{n (n - 1)} = \frac{4}{5} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} = \frac{2}{5} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{1}{n} = \frac{2}{5} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{n} = \frac{1}{10} \\ \Leftrightarrow n = 10 \end{array}$

Câu 32:

Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A.2

B.3

C.6

D.9

Xem đáp án

Đáp án C

Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng nối trung điểm của môt cạnh với cạnh đối của nó.

Câu 33:

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ biết $f' (x) = x (x^{2} - 1) {(x + 2)}^{2018} .$

A.2

B.3

C.4

D.1

Xem đáp án

Đáp án B

$\begin{array}{l} y = f (x) \\ f' (x) = x (x^{2} - 1) {(x + 2)}^{2018} \\ f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = - 2 \end{array} \end{array}$

Câu 34:

Cho đồ thị hàm số $(C) : y = \frac{- 2 x + 3}{x - 1} .$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại

giao điểm của (C) và đường thẳng $y = x - 3 .$

A. $y = - x + 3 v à y = - x - 1$

B. $y = - x - 3 v à y = - x + 1$

C. $y = x - 3 v à y = x + 1$

D. $y = - x + 3 v à y = - x + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng $y = x - 3$ là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y = \frac{- 2 x + 3}{x - 1} \\ y = x - 3 \end{cases} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 0 \\ y = - 3 \end{cases} \end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} A (2; - 1) \\ B (0; - 3) \end{cases} \end{array}$

$y' = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại $A (2; - 1)$ là:

$y = \frac{- 1}{{(2 - 1)}^{2}} (x - 2) - 1 = - x + 1$

Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại $B (0; - 3)$ là:

$y = \frac{- 1}{{(0 - 1)}^{2}} (x - 0) - 3 = - x - 3$

Câu 35:

Gọi K là tập hợp tât cả các giá trị của tham số m để phương trình $\sin 2 x + \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) - 2 = m$ có đúng hai nghiệm thuộc khoảng $(0; \frac{3 π}{4}) .$ Hỏi K là tập con của tập hợp nào dưới đây?

A. $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

B. $(1 - \sqrt{2}; \sqrt{2})$

C. $(- \sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

D. $(- \frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}]$

Xem đáp án

Đáp án B

$\begin{array}{l} \sin 2 x + \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) - 2 = m (*) \\ \Leftrightarrow {[\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})]}^{2} \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = m + 3 \end{array}$

Đặt $t = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ . Vì $x \in (0; \frac{3 π}{4})$ nên $t \in (0; \sqrt{2})$ .

Khi đó phương trình (*) trở thành:

$t^{2} + t - m - 3 = 0 (1)$

Để phương trình (*) có đúng hai nghiệm thuộc khoảng $(0; \frac{3 π}{4})$ phương trình (1) có đúng một nghiệm thuộc khoảng $(0; \sqrt{2})$

TH1

$\{\begin{cases} Δ = 0 \\ 0 < \frac{- b}{2 a} < \sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m + 4 = 0 \\ 0 < \frac{- 1}{2} < \sqrt{2} (V L) \end{cases}$

TH2

$\{\begin{cases} Δ > 0 \\ f (0) f (\sqrt{2}) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m + 4 > 0 \\ (- m - 3) (\sqrt{2} - 1 - m) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \in (- 1; \sqrt{2} - 1)$

Câu 36:

Cho lăng trụ ABCA'B'C' có các mặt bên là hình vuông cạnh a. Gọị D,E lần lượt là trung điểm các cạnh BC,A'C' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' ;DE theo a

A. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 37:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{6}$ trong khai triển $x^{3} {(1 - x)}^{8}$

A. -28

B.70

C.-56

D.56

Xem đáp án

Đáp án C

$x^{3} {(1 - x)}^{8} = x^{3} . \sum_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} {(- x)}^{8 - k} = \sum_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} {(- 1)}^{8 - k} x^{11 - k}$

Ta có phương trình : $11 - k = 6 \Leftrightarrow k = 5$

Vậy hệ số của $x^{5}$ trong khai triển là : $C_{8}^{5} {(- 1)}^{3} - 56$

Câu 38:

Các thành phố A,B,C được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C mà qua thành phố B chỉ một lần?

A.8

B.12

C.6

D.4

Xem đáp án

Đáp án A

Số cách là: 4.2=8

Câu 39:

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{4 \sqrt{3 x + 1} - 3 x - 5}$

A.3

B.0

C.1

D.2

Xem đáp án

Đáp án D

$y = \frac{x - 1}{4 \sqrt{3 x + 1} - 3 x - 5}$ TXD $D = [- \frac{1}{3}; + \infty) \ \{1\}$

$\lim_{x \to + \infty} \frac{x - 1}{4 \sqrt{3 x + 1} - 3 x - 5} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{4 \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 3 - \frac{5}{x}} = - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow y = - \frac{1}{3}$ lad TCN của đồ thị hàm số

$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{4 \sqrt{3 x + 1} - 3 x - 5} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (4 \sqrt{3 x + 1} + 3 x + 5)}{- 9 (x^{2} - 2 x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(4 \sqrt{3 x + 1} + 3 x + 5)}{- 9 (x - 1)} = \frac{16}{0} = \infty$

$\Rightarrow x = 1$ là TCĐ của đồ thị hàm số

Câu 40:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - \frac{1}{x}$ trên [1;3]

A.9

B.2

C. $\sqrt{28}$

D.0

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} y = x - \frac{1}{x}, x \in [1; 3] \\ y' = 1 + \frac{1}{x^{2}} > 0 \forall x \in [1; 3] \\ \Rightarrow \min_{[1; 3]} y = y (1) = 0 \end{array}$

Câu 41:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa mặt phẳng(SBC) ; ( ABCD) bằng $45 °$ .Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AD Tính thể tích khối chóp SCDMN theo a

A. $\frac{5 a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3}}{8}$

C. $\frac{5 a^{3}}{24}$

D. $\frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Hạ $A H ⊥ S B \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$

$\begin{array}{l} ((S B C); (A B C D)) = (A H; S A) = ∠ S A H = 45^{0} \\ \Rightarrow S A = A B = a \\ S_{C D M N} = S_{A B C D} - S_{A N M} - S_{B N M} \\ = a^{2} - \frac{1}{2} \frac{a}{2} \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \frac{a}{2} a = \frac{5 a^{2}}{8} \\ V_{S . C D M N} = \frac{1}{3} S A . S_{C D M N} \\ = \frac{1}{3} a \frac{5 a^{2}}{8} = \frac{5 a^{3}}{24} \end{array}$

Câu 42:

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 2 x}{x - 1}$

A. $y = - 2 x - 2$

B. $y = 2 x + 2$

C. $y = 2 x - 2$

D. $y = - 2 x + 2$

Xem đáp án

Đáp án B

$y = \frac{x^{2} + 2 x}{x - 1}$

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$y = \frac{{(x^{2} + 2 x)}^{'}}{{(x - 1)}^{'}} = 2 x + 2$

Câu 43:

Tìm cực đại của hàm số $y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

A. $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

B. $\frac{- 1}{\sqrt[]{2}}$

C. $- \frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$ TXD $D = [- 1; 1]$

$\begin{array}{l} y' = \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{1 - 2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}$

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ với giá trị cực đại là $y = \frac{1}{2}$ .

Câu 44:

Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 6 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

A. $\frac{5}{36}$

B. $\frac{5}{9}$

C. $\frac{5}{54}$

D. $\frac{1}{36}$

Xem đáp án

Đáp án B

A: ‘trong 3 lần quay, chiếc kim của bánh xe lần lượt dừng lại ở 3 vị trí khác nhau .’

$\begin{array}{l} n (Ω) = 6^{3} \\ n (A) = 6.5.4 = 120 \\ P (A) = \frac{120}{6^{3}} = \frac{5}{9} \end{array}$

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA=x còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 2. Tính thể tích Vlớn nhất của khối chóp S.ABCD

A. $V = 1$

B. $V = \frac{1}{2}$

C. $V = 3$

D. $V = 2$

Xem đáp án

Đáp án D

$V_{S . A B C D} = V_{S . A B C} + V_{S . A D C} = 2 V_{S . A B C} = 2. \frac{1}{3} d (B; (S A C)) S_{S A C} = \frac{2}{3} x B O$

$\begin{array}{l} O C = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \sqrt{S A^{2} + S C^{2}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 4} \\ B O = \sqrt{B C^{2} - O C^{2}} \\ = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4} - 1} = \sqrt{3 - \frac{x^{2}}{4}} \\ V_{S . A B C D} = \frac{2}{3} x \sqrt{3 - \frac{x^{2}}{4}} \end{array}$

Đặt $f (x) = x \sqrt{3 - \frac{x^{2}}{4}}, x \in (0; 2 \sqrt{3}]$

$\begin{array}{l} f'(x)= \sqrt{3 - \frac{x^{2}}{4}} + x \frac{- \frac{x}{2}}{2 \sqrt{3 - \frac{x^{2}}{4}}} \\ = \frac{6 - x^{2}}{2 \sqrt{3 - \frac{x^{2}}{4}}} \\ f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{6} \end{array}$

Bảng biến thiên

Vậy $V_{\max} = \frac{2}{3} . \max_{(0; 2 \sqrt{3}]} f (x) = \frac{2}{3} 3 = 2$

Câu 46:

Giải phương trình $\frac{\cos x - \sqrt{3} s inx}{2 \sin x - 1} = 0.$

A. $x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$

B. $x = - \frac{5 π}{6} + k π, k \in ℤ$

C. $x = \frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$

D. $x = \frac{π}{6} + k π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án D

$\frac{\cos x - \sqrt{3} s i nx}{2 \sin x - 1} = 0$ dk $\{\begin{cases} x \neq \frac{π}{6} + k 2 π \\ x \neq \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos x - \sqrt{3} s i nx = 0 \\ \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{3}) = 0 \\ \Leftrightarrow x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k π \\ \Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k π \end{array}$

Kết hợp với điều kiện suy ra $x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π$ là nghiệm của phương trình.

Câu 47:

Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C', đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AA' hợp với B'C một góc $60 °$ và khoảng cách giữa chúng bằng a,B'C=2a. Thể tích của khối lăng trụ ABC A'B'C' theo a

A. $\frac{a^{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\begin{array}{l} B B' = \frac{1}{2} B' C = a \\ B C = \sqrt{B' C^{2} - B B'^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3} \\ V_{A B C . A' B' C'} = B B' . S_{A B C} = a . \frac{1}{2} a . a \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} \end{array}$

Câu 48:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác SAB vuông cân tại S . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B