50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải - đề 24

Câu 1:

Số cạnh của một khối chóp bất kì luôn là

A. Một số lẻ.

B. Một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 5

C. Một số chẵn lớn hơn hoặc bằng 4

D. Một số chẵn lớn hơn hoặc bằng 6

Xem đáp án

Đáp án là D.

Câu 2:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} - 5.$ Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 0) v à (1; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1) .$

C. Hàm số đồng biến với mọi x

D. Hàm số nghịch biến với mọi x

Xem đáp án

Đáp án là A.

• $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$

• Xét dấu y'

Từ bảng xét dấu. Chọn A

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ \ \{0\}$ và có bảng biến thiên như hình dưới đây

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $f (- 5) > f (- 4)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2

D. Đường thẳng x=2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Xem đáp án

Đáp án là A.

• Từ Bảng biến thiên, ta thấy B,C,D là đáp án sai. Chọn A.

Câu 4:

Kết quả (b,c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai $x^{2} + b x + c = 0 .$ Tính xác suất để phương trình có nghiệm.

A. $\frac{19}{36}$

B. $\frac{1}{18}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{17}{36}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

• Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = 36$ .

Gọi A là biến cố thỏa yêu cầu bài toán.

Phương trình $x^{2} + b x + c = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $Δ = b^{2} - 4 c \geq 0 \Leftrightarrow b^{2} \geq 4 c$ .

Xét bảng kết quả (L – loại, không thỏa ; N – nhận, thỏa yêu cầu đề bài)

Dựa vào bảng kết quả trên ta thấy số kết quả thuận lợi cho A là 19.

Vậy xác suất của biến cố A là : $P (A) = \frac{19}{36}$ .

Câu 5:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

B. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

D. $y = \frac{1 - 2 x}{x + 1}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Từ đồ thị, ta thấy đồ thị có

• Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt $x = - 1; y = 2.$ Loại C và D.

• Điểm $(0; - 1) \in (C)$ nên loại B.

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ và đáy là hình vuông. Từ A kẻ $A M ⊥ S B$ . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $A M ⊥ (S A D)$

B. $A M ⊥ (S B C)$

C. $S B ⊥ (M A C)$

D. $A M ⊥ (S B D)$

Xem đáp án

Đáp án là B.

$\{\begin{cases} A M ⊥ S B \\ A M ⊥ B C (do B C ⊥ (S A B)) \end{cases} \Rightarrow A M ⊥ (S B C) .$

Câu 7:

Cho hàm số $y = \frac{3 x - 1}{3 x + 2} .$ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là:

A.x=3

B.y=1

C.x=1

D. y=3

Xem đáp án

Đáp án là B.

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x - 1}{3 x + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{2}{x}} = 1.$

Câu 8:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 5$ trên đoạn $[0; 2] .$

A. $\underset{[0; 2]}{maxy} = 3$

B. $\underset{[0; 2]}{maxy} = 5$

C. $\underset{[0; 2]}{maxy} = 0$

D. $\underset{[0; 2]}{maxy} = 7$

Xem đáp án

Đáp án là D.

$y^{'} = 3 x^{2} - 3, cho y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; 2] \\ x = - 1 \notin [0; 2] \end{array}$

$y (0) = 5; y (2) = 7; y (1) = 3.$

$\max_{[0; 2]} y = y (2) = 7.$

Câu 9:

Khối chóp đều SABCD có mặt đáy là

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật.

C. Hình thoi

D. Hình vuông

Xem đáp án

Đáp án là D

Câu 10:

Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh a các đoạn bằng $x, (0 < x < \frac{a}{2})$ phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

A. $x = \frac{a}{3}$

B. $x = \frac{a}{4}$

C. $x = \frac{a}{5}$

D. $x = \frac{a}{6}$

Xem đáp án

Đáp án là D.

$M I = \frac{x \sqrt{3}}{3}; S_{t g} = \frac{{(a - 2 x)}^{2} \sqrt{3}}{4} .$

$V_{l t} = M I . S_{t g} = \frac{a^{2} x - 4 a x^{2} + 4 x^{3}}{4}; (0 < x < \frac{a}{2}) .$

xét hàm số

$f (x) = 4 x^{3} - 4 a x^{2} + a^{2} x \Rightarrow f^{'} (x) = 12 x^{2} - 8 a x + a^{2}, cho f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{a}{6} \\ x = \frac{a}{2} (l o a i) \end{array}$

Thể tích đạt GTLN khi $x = \frac{a}{6} .$

Câu 11:

Công thức số tổ hợp là

A. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

B. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

C. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

D. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Câu 12:

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp SABCD bằng $\frac{4 a^{3}}{3} .$ Khi đó, độ dài SC bằng

A. 3a

B. $\sqrt{6} a$

C. 2a

D. 6a

Xem đáp án

Đáp án là A.

$V_{S . A B C D} = \frac{4 a^{3}}{3} = \frac{1}{3} .4 a^{2} . S H$

$S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{S H^{2} + B H^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{6} .$

Câu 13:

Hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 3 {(m - 1)}^{2} x .$ Hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành độ x=1 khi:

A.m=2

B.m=1

C.m=0;m=1

D. m=0;m=4

Xem đáp án

Đáp án là A.

• $y^{'} = 3 x^{2} - 6 (m + 1) x + 3 {(m - 1)}^{2}; {y^{'}}^{'} = 6 x - 6 (m + 1)$

• Hàm số đạt cực trị tại điểm x=1 thì

$\{\begin{cases} y^{'} (1) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 4 m = 0 \\ m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 4 \end{array} \\ m \neq 0 \end{cases} \Rightarrow m = 4.$

* Ghi chú: Không có đáp án, sửa lại đáp A thành

Câu 14:

Tìm a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4} k h i x > 4 \\ \frac{(a + 2) x}{4} k h i x \leq 4 \end{cases}$ liên tục trên tập xác định

A. a=3

B. a=2

C. $a = - \frac{11}{6}$

D. a= $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

• Txđ: $D = ℝ$

Với $x < 4$ ta có $f (x) = \frac{(a + 2) x}{4}$ $\Rightarrow f (x)$ liên tục trên $(- \infty; 4)$

Với $x > 4$ ta có : $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4} \Rightarrow f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4}$ liên tục trên $(4; + \infty)$

• Tại x >4 ta có: $f (4) = a + 2$

Ta có $\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{-}} \frac{(a + 2) x}{4} = a + 2$

$\lim_{x \to 4^{+}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} \frac{\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4} = \lim_{x \to 4^{+}} \frac{1}{\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{x + 5}} = \frac{1}{6}$

Để hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ$ khi hàm số $f (x)$ liên tục tại $x = 4$ thì

$\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} f (x) = f (4) \Leftrightarrow a + 2 = \frac{1}{6} \Leftrightarrow a = - \frac{11}{6}$

Câu 15:

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên R và đồ thị của hàm số f'(x) trên đoạn [ -2;6] như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $\underset{[- 2; 6]}{maxf (x)} = f (- 1)$

B. $\underset{[- 2; 6]}{maxf (x)} = f (- 2)$

C. $\underset{[- 2; 6]}{maxf (x)} = f (6)$

D. $\underset{[- 2; 6]}{maxf (x)} = m ax \{f (- 1), f (6)\}$

Xem đáp án

Đáp án là D

Đồ thị $f^{'} (x)$ có bảng biến thiên:

$\max_{[- 2; 6]} f (x) = \max {f (- 1), f (6)} .$

Câu 16:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ bên. Hàm số có mấy điểm cực trị?

A.1

B.2

C.3

D.4

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta có: đồ thị hàm số $f^{'} (x)$ cắt trục tại 4 điểm phân biệt tức phương trình $f^{'} (x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt. Tuy nhiên, nhìn vào đồ thị ta thấy dấu của $f^{'} (x)$ chỉ đổi khi qua nghiệm đầu. Vậy hàm số $f^{'} (x)$ có 3 cực trị.

Câu 17:

Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc m cắt đồ thị $(C) : y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2$ tại ba điểm phân biệt A,B,C Gọi B',C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C lên trục tung. Tìm giá trị dương của m để hình thang BB'C'C có diện tích

A. m=1

B. $m = \frac{1}{2}$

C.m=2

D. $m = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Không mất tính tổng quát, giả sử

$x_{C} > x_{B}$ .

Ta có: d có phương trình

$y = m (x - 2)$ .

Phương trình hoành độ giao điểm:

$m (x - 2) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{2} - 4 x + 1 + m = 0 \end{array}$

Để tồn tại A, B, thì phương trình $x^{2} - 4 x + m + 1 = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow m < 3$ $\Rightarrow x_{A} = 2; x_{B} + x_{C} = 4; x_{B} x_{C} = m + 1$ ; $y_{C} - y_{B} = m (x_{C} - x_{B})$ .

Trường hợp 1: $\Rightarrow x_{B} x_{C} = m + 1 > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 3 (*)$ .

Ta có .

$S_{B B^{'} C^{'} C} = \frac{(B B^{'} + C C^{'}) . B^{'} C^{'}}{2} = \frac{(x_{B} + x_{C}) . m (x_{C} - x_{B})}{2} = 8 \Leftrightarrow \frac{4 m \sqrt{16 - 4 (m + 1)}}{2} = 8$

.

Đối chiếu điều kiện (*) ta được m=2.

Trường hợp 2:

$x_{C} > 0 > x_{B}$ $\Rightarrow x_{B} x_{C} = m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1 < 0$

(Loại vì $m > 0$ ).

Câu 18:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.Phương trình $|f (x - 2) - 2| = π$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt

A.6

B.3

C.2

D.4

Xem đáp án

Đáp án là C.

Số nghiệm của phương trình $|f (x - 2) - 2| = π$ bằng số giao điểm của đường thẳng $y = π$ và đồ thị hàm số $y = |f (x - 2) - 2|$ .Ta có đồ thị hàm số $y = |f (x - 2) - 2|$ như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $|f (x - 2) - 2| = π$ có hai nghiệm thực phân biệt.

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} {-ax}^{2} - 3 a x + 4$ với a là tham số. Biết $a_{0}$ là giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{{x_{1}}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{{x_{2}}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a} = 2.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a_{0} \in (- 10; - 7)$

B. $a_{0} \in (7; 10)$

C. $a_{0} \in (- 7; - 3)$

D. $a_{0} \in (1; 7)$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta có $y^{'} = x^{2} - 2 a x - 3 a$ .

Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow x^{2} - 2 a x - 3 a = 0$ (*) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow a^{2} + 3 a > 0 \Leftrightarrow a \in (- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$ (1).

Khi đó hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}$ , $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (*).

Ta có $x_{1}^{2} - 2 a x_{1} - 3 a = 0 \Rightarrow x_{1}^{2} = 2 a x_{1} + 3 a$ ; tương tự $x_{2}^{2} = 2 a x_{2} + 3 a$ .

$\frac{x_{1}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{x_{2}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{2 a x_{1} + 3 a + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{2 a x_{2} + 3 a + 2 a x_{1} + 9 a} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{2 a (x_{1} + x_{2}) + 12 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{2 a (x_{1} + x_{2}) + 12 a} = 2$ $\Leftrightarrow \frac{4 a^{2} + 12 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{4 a^{2} + 12 a} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{4 a + 12}{a} + \frac{a}{4 a + 12} = 2$

$\Leftrightarrow {(4 a + 12)}^{2} + a^{2} = 2 a (4 a + 12) \Leftrightarrow 9 a^{2} + 72 a + 144 = 0$

$\Leftrightarrow a = - 4$ (thỏa mãn điều kiện (1)).

Vậy $a_{0} = - 4$

Câu 20:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. $S A ⊥ (A B C)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp SABC là

A. $\frac{3 a^{3}}{6}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{8}$

D. $\frac{3 a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4} .$

Câu 21:

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = 3^{n} .$ Tính $u_{n + 1} ?$

A. $u_{n + 1} = {3.3}^{n}$

B. $u_{n + 1} = 3^{n} + 1$

C. $u_{n + 1} = 3^{n} + 3$

D. $u_{n + 1} = 3 (n + 1)$

Xem đáp án

Đáp án là A

Câu 22:

Cho hình chóp tam giác đều SABC Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,SM Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. Gọi $V_{2}$ là thể tích của khối chóp $S . A B E v à V_{1}$ là thể tích khối chóp SABC Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $V_{2} = \frac{1}{8} V_{1}$

B. $V_{2} = \frac{1}{4} V_{1}$

C. $V_{2} = \frac{1}{3} V_{1}$

D. $V_{2} = \frac{1}{6} V_{1}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

• Gọi I là trung điểm của EC.

Ta có $I M // B E$ hay $I M // N E$ .

Xét $Δ S M I$ có $N E // M I$ và N là trung điểm của SM suy ra E là trung điểm của SI .

Do đó $S E = E I = I C \Rightarrow \frac{S E}{S C} = \frac{1}{3}$ .

Ta có $\frac{V_{S A B E}}{V_{S A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S B}{S B} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{3}$

.

Câu 23:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3

A.5880

B.2942

C.7440

D.3204

Xem đáp án

Đáp án là C.

• Sắp xếp bộ ba số 1, 2, 3 sao cho 2 đứng giữa 1,3 có 2 cách.

Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 kể cả trường hợp số 0 đứng đầu là: $2. C_{7}^{4} .5!$ số.

Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3, có số 0 đứng đầu là: $2. C_{6}^{3} .4!$ số.

Suy ra số số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là $2. C_{7}^{4} .5! - 2. C_{6}^{3} .4! = 7440$

Câu 24:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - (m^{2} - 3 m + 2) x + 5$ đồng biến trên $(0; 2) ?$

A.2

B.3

C.1

D.4

Xem đáp án

Đáp án là D.

• Hàm số $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - (m^{2} - 3 m + 2) x + 5$ đồng biến trên $(0; 2)$ khi $f^{'} (x) \geq 0 \forall x \in (0; 2)$ ( $f^{'} (x) = 0$ tại hữu hạn điểm)

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - (m^{2} - 3 m + 2)$

. $f^{'} (x) \geq 0 \forall x \in (0; 2) \Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x - (m^{2} - 3 m + 2) \geq 0 \forall x \in (0; 2)$

$Δ_{f^{'} (x)} = 3 m^{2} - 9 m + 15 > 0 \forall m$

Vậy $f^{'} (x) = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ .

Yêu cầu bài toán $[\begin{array}{l} 2 \leq x_{1} < x_{2} (1) \\ x_{1} < x_{2} \leq 0 (2) \end{array}$

(1) Vô nghiệm.

(2) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} S < 0 \\ P \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - m^{2} + 3 m + 2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \leq m \leq \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 25:

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A;B với BC là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác SAB đều có cạnh là 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $S C = a \sqrt{5}$ và khoảng cách từ D tới mặt phẳng (SHC) là $2 a \sqrt{2}$ (H là trung điểm của AB). Thể tích khối chóp S.ABCDlà:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3}}{3}$

C. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{4 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là C

ta có $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

mà $\{\begin{cases} D I ⊥ C H \\ D I ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow D I ⊥ (S H C) \Rightarrow d (D, (S H C)) = D I = 2 a \sqrt{2}$

ta có

$Δ B H C = Δ A H E \Rightarrow S_{Δ B H C} = S_{Δ A H E}; H E = H C$

mà

$S_{A B C D} = S_{A H C D} + S_{Δ B H C} = S_{A H C D} + S_{Δ A H E} = S_{Δ D C E}$

Tam giác SAB đều nên . $S H = a \sqrt{3}$

Tam giác SHC có

$H C = \sqrt{S C^{2} - S H^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow E C = 2 H C = 2 a \sqrt{2}$ .

Khi đó $S_{A B C D} = S_{Δ D C E} = \frac{1}{2} D I . E C = 4 a^{2}$ .

Vậy $V_{A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} a \sqrt{3} .4 a^{2} = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 26:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = s i n^{4} x + c o s^{2} x + 2 .$

A. $\min y = 3$

B. $\min y = \frac{11}{2}$

C. $\min y = - 3$

D. $\min y = \frac{11}{4}$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Ta có:

$\begin{array}{l} y = \sin^{4} x + \cos^{2} x + 2 \\ y = \sin^{4} x - \sin^{2} x + 3 \end{array}$

Đăt $t = \sin^{2} x, t \in [0; 1]$

$\begin{array}{l} f (t) = t^{4} - t^{2} + 3 \\ \Rightarrow f' (t) = 4 t^{3} - 2 t \\ \Rightarrow f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \in [0; 1] \\ t = \frac{\sqrt{2}}{2} \in [0; 1] \\ t = \frac{- \sqrt{2}}{2} \notin [0; 1] \end{array} \\ \Rightarrow f (0) = 3; f (1) = 3; f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{11}{4} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là: $\frac{11}{4}$

Câu 27:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 3 x^{3} - x^{2} - 7 x + 1$ tại điểm $A (0; 1)$ là

A. $y = 1$

B. $y = - 7 x + 1$

C. $y = 0$

D. $y = x + 1$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Đạo hàm: $y^{'} = 9 x^{2} - 2 x - 7$ .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ là : $y = k (x - x_{0}) + y_{0}$ .

Hệ số góc $k = y^{'} (0) = - 7$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm tại điểm $A (0; 1)$ là: $y = - 7 (x - 0) + 1 \Leftrightarrow y = - 7 x + 1$

Câu 28:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' cạnh đáy a=4 biết diện tích tam giác A'BC bằng 8. Thể tích khối lăng trụ ABC A'B'C' bằng

A. $4 \sqrt{3}$

B. $8 \sqrt{3}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. $10 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Gọi I là trung điểm BC.

Ta có $Δ A B C$ đều nên $A I = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$ .

$\{\begin{cases} A I ⊥ B C \\ A A^{'} ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A^{'} I ⊥ B C$

$S_{A' B C} = \frac{1}{2} B C . A' I \Rightarrow A' I = \frac{2 S_{A' B C}}{B C} = 4$

$A A' ⊥ (A B C) \Rightarrow A A' ⊥ A I$ .

Xét $Δ A^{'} A I$ vuông tại $\Rightarrow A A^{'} = \sqrt{A^{'} I^{2} - A I^{2}} = 2$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} .2 = 8 \sqrt{3}$

Câu 29:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{m^{2} x^{2} + m - 1}}$ có bốn đường tiệm cận.

A. m < 1 hoặc m>1

B. với mọi giá trị m

C. m > 0

D. m < 1 và $m \neq 0$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình $m^{2} x^{2} + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác -1 $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} \neq 0 \\ - m^{2} (m - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ m < 1 \end{cases}$ .

Câu 30:

Tìm m để hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của chúng

A. m > -1

B. m < 1

C. $m \geq 1$

D. $m \geq - 1$

Xem đáp án

Đáp án là A.

TXĐ: $D = ℝ \ \{- 1\}$ .

Ta có: $y' = \frac{1 + m}{{(x + 1)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên 2 khoảng xác định $\Leftrightarrow 1 + m > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Câu 31:

Trên đoạn $[- 2 π; \frac{5 π}{2}]$ , đồ thị hai hàm số $y = s inx$ và $y = \cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm?

A.2

B.4

C.3

D.5

Xem đáp án

Đáp án là D.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\sin x = \cos x \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 (*)$

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số chính là số nghiệm của phương trình (*) trên $[- 2 π; \frac{5 π}{2}]$ .

Khi đó ta có $\sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$ .

Mà $x \in [- 2 π; \frac{5 π}{2}]$ nên ta có $- 2 π \leq \frac{π}{4} + k π \leq \frac{5 π}{2}$ $- 2 π \leq \frac{π}{4} + k π \leq \frac{5 π}{2}$ .

Hay ta có $k \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2\}$ .

Câu 32:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ có đồ thị (C) Gọi $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}, y_{B})$ với $x_{A} > x_{B}$ là các điểm thuộc (C) sao cho các tiếp tuyến tại A,B song song với nhau và $A B = 6 \sqrt{37} .$ tính $S = 2 x_{A} - 3 x_{B}$

A. S=90

B. S=-45

C. S=15

D. S=-9

Xem đáp án

Đáp án là C.

$y^{'} = 3 x^{2} - 3$ ;

$y^{'} (x_{A}) = 3 x_{A}^{2} - 3$ ;

$y^{'} (x_{B}) = 3 x_{B}^{2} - 3$

Tiếp tuyến tại A,B song song nên $y^{'} (x_{A}) = y^{'} (x_{B}) \Leftrightarrow 3 x_{A}^{2} - 3 = 3 x_{B}^{2} - 3$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{A} = x_{B} (lo¹i do x_{A} > x_{B}) \\ x_{A} = - x_{B} (chän) \end{array}$

Ta có :

$A B^{2} = {(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} = {(x_{B} - x_{A})}^{2} + {[x_{B}^{3} - 3 x_{B} + 1 - (x_{A}^{3} - 3 x_{A} + 1)]}^{2}$

$= 4 x_{B}^{6} - 24 x_{B}^{4} + 40 x_{B}^{2}$

Giả thiết $A B = 6 \sqrt{37}$

$\Leftrightarrow 4 x_{B}^{6} - 24 x_{B}^{4} + 40 x_{B}^{2} = 36.37 \Leftrightarrow {(x_{B}^{2})}^{3} - 6 {(x_{B}^{2})}^{2} + 10 (x_{B}^{2}) - 333 = 0$

$\Leftrightarrow x_{B}^{2} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{B} = 3 \Rightarrow x_{A} = - 3 (lo¹i) \\ x_{B} = - 3 \Rightarrow x_{A} = 3 (chän) \end{array}$

Vậy $S = 2 x_{A} - 3 x_{B} = 2.3 - 3 (- 3) = 15$ .

Câu 33:

Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển ${(3 - 2 x)}^{15}$

A. $- C_{15}^{7} 3^{7} {.2}^{8}$

B. $- C_{15}^{7} 3^{8} {.2}^{7}$

C. $C_{15}^{7} 3^{8} {.2}^{7}$

D. $C_{15}^{7} 3^{7} {.2}^{8}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

• Ta có

${(3 - 2 x)}^{15} = \sum_{k = 0}^{15} C_{15}^{k} 3^{15 - k} {(- 2 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{15} {(- 2)}^{k} 3^{15 - k} C_{15}^{k} x^{k}$ .

Hệ số của $x_{}^{7}$ ứng với $\{\begin{cases} 0 \leq k \leq 15, k \in ℕ \\ k = 7 \end{cases} \Leftrightarrow k = 7$ .

Vậy ${(- 2)}^{7} 3^{8} C_{15}^{7} = - C_{15}^{7} {.3}^{8} {.2}^{7}$ là hệ số cần tìm

Câu 34:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - x} - \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2 x + 3}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $- \frac{1}{2}$

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án là A.

• Ta có $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - x} - \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2 x + 3} = \lim_{x \to - \infty} \frac{|x| (\sqrt{1 - \frac{1}{x}} - \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}})}{x (2 + \frac{3}{x})}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{- (\sqrt{1 - \frac{1}{x}} - \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}})}{(2 + \frac{3}{x})}$ $= \frac{1}{2}$

Câu 35:

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x=4

B. Hàm số đạt cực đại tại x=3

C. Hàm số đạt cực đại tại x=-2

D. Hàm số đạt cực đại tại x=2

Xem đáp án

Đáp án là D.

Câu 36:

Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lí và 6 cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ môn.

A. $\frac{661}{715}$

B. $\frac{660}{713}$

C. $\frac{6}{7}$

D. $\frac{5}{9}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

• Ta tìm số cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn.

Có 3 trường hợp :

• 7 cuốn còn lại gồm 2 môn toán lý : có $C_{9}^{7}$ cách

• 7 cuốn còn lại gồm 2 môn lý hóa : có $C_{11}^{7}$ cách

• 7 cuốn còn lại gồm 2 môn toán hóa : có $C_{10}^{7}$ cách

Suy ra có $C_{9}^{7} + C_{11}^{7} + C_{10}^{7} = 486$ cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn. Do đó số cách chọn 8 cuốn sao cho 7 cuốn còn lại có đủ 3 môn là $C_{15}^{7} - 486 = 5949$ cách.

Xác suất cần tìm là $P = \frac{5949}{C_{15}^{7}} = \frac{661}{715} .$

Câu 37:

Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và DBC vuông cân và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, $A B = A C = D B = D C = 2 a$ . Tính khoảng cách từ B đến mp (ACD)

A. $a \sqrt{6}$

B. $\frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

$B C = A B \sqrt{2} = 2 a \sqrt{2}$ .Gọi H là trung điểm BC ta có:

$\{\begin{cases} A H ⊥ B C \\ B C = (A B C) \cap (D B C) \\ (A B C) ⊥ (D B C) \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (D B C)$

kẻ $H E ⊥ D C$ , $H K ⊥ A E$ (1)

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} D C ⊥ H E \\ D C ⊥ A H (d o A H ⊥ (D B C) \subset D C) \end{cases} \\ \Rightarrow D C ⊥ (A H E) \Rightarrow D C ⊥ H K (2) \end{array}$

từ $(1) & (2)$ $H K ⊥ (A D C) \Rightarrow d (H; (A D C)) = H K$

$d (B; (A D C)) = 2 d (H; (A D C)) = \frac{2 A H . H E}{\sqrt{A H^{2} + H E^{2}}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

$A H = \frac{B C}{2}, H E = \frac{A B}{2}$ ; $A H = \frac{B C}{2} = a \sqrt{2}, H E = \frac{B C}{2} = a$

Câu 38:

Cho cấp số cộng $(u_{n}) : 2, a,6, b .$ Tích a.b bằng:

A.32

B.22

C.40

D.12

Xem đáp án

Đáp án là A.

Theo tính chất của cấp số cộng $\{\begin{cases} 2 + 6 = 2 a \\ a + b = 12 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = 8 \end{cases} \Rightarrow a . b = 32$

Câu 39:

Một vật chuyển động theo quy luật $s (t) = - \frac{1}{2} t^{3} + 12 t^{2}, t (s)$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động, $s (m é t)$ là quãng đường vật chuyển động trong giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 10 (g i â y) .$

A. 100m/s

B. 80m/s

c.70m/s

D. 90m/s

Xem đáp án

Đáp án là D

Vận tốc tức thời của vật trong khoảng thời gian nghiên cứu bằng

$v_{t t}^{} = {s^{'} (t)|}_{10}^{} = {(- \frac{3}{2} t^{2} + 24 t)|}_{10}^{} = 90 m/s$

Câu 40:

Đặt $f (n) = {(n^{2} + n + 1)}^{2} + 1.$ Xét dãy số $(u_{n})$ sao cho $u_{n} = \frac{f (1) . f (3) . f (5) ... f (2 n - 1)}{f (2) . f (4) . f (6) ... f (2 n)}$ . $\lim n \sqrt{u_{n}} .$

A. $\lim n \sqrt{u_{n}} = \sqrt{2}$

B. $\lim n \sqrt{u_{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $\lim n \sqrt{u_{n}} = \sqrt{3}$

D. $\lim n \sqrt{u_{n}} \frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Ta có

$f (n) = {[(n^{2} + 1) + n]}^{2} + 1 = {(n^{2} + 1)}^{2} + 2 n . (n^{2} + 1) + n^{2} + 1 = (n^{2} + 1) [n^{2} + 1 + 2 n + 1]$

$= (n^{2} + 1) [{(n + 1)}^{2} + 1]$

Do đó: $\frac{f (2 n - 1)}{f (2 n)} = \frac{[{(2 n - 1)}^{2} + 1] [{(2 n)}^{2} + 1]}{[{(2 n)}^{2} + 1] [{(2 n + 1)}^{2} + 1]} = \frac{{(2 n - 1)}^{2} + 1}{{(2 n + 1)}^{2} + 1}$

Suy ra

$u_{n} = \frac{f (1) . f (3) . f (5) ... f (2 n - 1)}{f (2) . f (4) . f (6) ... f (2 n)} = \frac{f (1)}{f (2)} \cdot \frac{f (3)}{f (4)} \cdot \frac{f (5)}{f (6)} \cdot \cdot \cdot \frac{f (2 n - 1)}{f (2 n)}$

$= \frac{1^{2} + 1}{3^{2} + 1} \cdot \frac{3^{2} + 1}{5^{2} + 1} \cdot \frac{5^{2} + 1}{7^{2} + 1} \cdot \cdot \cdot \frac{{(2 n - 1)}^{2} + 1}{{(2 n + 1)}^{2} + 1} = \frac{2}{{(2 n + 1)}^{2} + 1} = \frac{1}{2 n^{2} + 2 n + 1}$

$\Rightarrow n \sqrt{u_{n}} = n . \sqrt{\frac{1}{2 n^{2} + 2 n + 1}}$

$\Rightarrow \lim n \sqrt{u_{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Câu 41:

Trong các tam giác vuông có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền là $a (a > 0)$ , tam giác có diện tích lớn nhất là

A. $\frac{a^{2}}{6 \sqrt{3}}$

B. $\frac{a^{2}}{5 \sqrt{6}}$

C. $\frac{a^{2}}{6 \sqrt{5}}$

D. $\frac{a^{2}}{3 \sqrt{6}}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Gọi x $(0 < x < a)$ là độ dài của một cạnh góc vuông.

Độ dài cạnh góc vuông còn lại là: $\sqrt{{(a - x)}^{2} - x^{2}} = \sqrt{a^{2} - 2 a x}$ .

Diện tích của tam giác là: $S = \frac{1}{2} x \sqrt{a^{2} - 2 a x}$ .

Ta có $S^{'} = \frac{1}{2} \frac{a^{2} - 3 a x}{\sqrt{a^{2} - 2 a x}}$ ; $\Rightarrow S^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{3}$ .

Bảng biến thiên:

vậy $S_{\max} = \frac{a^{2}}{6 \sqrt{3}}$

Câu 42:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 s i n 3 x + c o s 2 x$

A. $y' = 2 c os 3 x - \sin 2 x$

B. $y' = 2 c os 3 x + \sin 2 x$

C. $y' = 6 c os 3 x - 2 \sin 2 x$

D. $y' = - 6 c os 3 x + 2 \sin 2 x$

Xem đáp án

Đáp án là C

$y^{'} = 6 \cos 3 x - 2 \sin 2 x .$

Câu 43:

Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của một khối hộp chữ nhật lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tương ứng sẽ:

A. tăng 4 lần

B. tăng 8 lần

C. tăng 6 lần

D. tăng 2 lần

Xem đáp án

Đáp án là B.

+/Gọi khối hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là: a,b,c Khi đó thể tích khối hộp là: V=a.b.c

+/ Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của khối hộp chữ nhật lên gấp đôi thì khối hộp tương ứng có các kích thước lần lượt là: 2a,2b,2c nên thể tích của khối hộp tương ứng là: V'=2a.2b.2c=8abc=8V

Vậy thể tích của khối hộp tương ứng tăng lên 8 lần.

Câu 44:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=4cm Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) .M thuộc SC sao cho $C M = 2 M S$ . Khoảng cách giữa hai đường $A C v à B M$ là ?

A. $\frac{4 \sqrt{21}}{21} c m$

B. $\frac{8 \sqrt{21}}{21} c m$

C. $\frac{2 \sqrt{21}}{3} c m$

D. $\frac{4 \sqrt{21}}{7} c m$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Gọi I là điểm thuộc SA sao cho $\frac{S I}{S A} = \frac{1}{3} \Rightarrow I M // A C$ .

Gọi H là trung điểm của .AB $\begin{array}{l} (S A B) ⊥ (A B C) \\ (S A B) \cap (A B C) = A B \\ S H ⊥ A B \end{array}\} \Rightarrow S H ⊥ (A B C)$

$\begin{array}{l} A C ⊥ A B \\ A C ⊥ S H \end{array}\} \Rightarrow A C ⊥ (S A B) \Rightarrow I M ⊥ (S A B) \Rightarrow I M ⊥ B I \Rightarrow Δ B I M$

$\frac{V_{S B A M}}{V_{S B A C}} = \frac{S M}{S C} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S B A M} = \frac{1}{3} V_{S B A C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} S H . S_{△ A B C} = \frac{1}{9} . \frac{4 \sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} A B . A C = \frac{4 \sqrt{3}}{9} A C$

$\frac{V_{A B I M}}{V_{A B S M}} = \frac{A I}{A S} = \frac{2}{3} \Rightarrow V_{A B I M} = \frac{2}{3} V_{A B S M} = \frac{2}{3} . \frac{4 \sqrt{3}}{9} A C = \frac{8 \sqrt{3}}{27} A C$

$B I^{2} = A B^{2} + A I^{2} - 2 A B . A I . c os 60^{0} = 4^{2} + {(\frac{8}{3})}^{2} - 2.4. \frac{8}{3} . c os 60^{0} = \frac{112}{9} \Rightarrow B I = \frac{4 \sqrt{7}}{3}$

$S_{Δ B I M} = \frac{1}{2} B I . I M = \frac{1}{2} . \frac{4 \sqrt{7}}{3} . \frac{1}{3} A C = \frac{2 \sqrt{7}}{9} A C$

$V_{A B I M} = \frac{1}{3} S_{△ B I M} . d (A, (B I M)) \Rightarrow d (A, (B I M)) = \frac{3 V_{A B I M}}{S_{△ B I M}} = \frac{3. \frac{8 \sqrt{3}}{27} A C}{\frac{2 \sqrt{7}}{9} A C} = \frac{4 \sqrt{21}}{7}$

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B,SA vuông góc với đáy ABC Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $S A ⊥ B C$

B. $S B ⊥ A C$

C. $S A ⊥ A B$

D. $S B ⊥ B C$

Xem đáp án

Đáp án là B.

ta có $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow$ $\{\begin{cases} S A ⊥ A B \\ S A ⊥ A C \\ S A ⊥ B C \end{cases}$ Suy ra các phương án B, D đều đúng.

Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow$ $B C ⊥ S B$ . Suy ra phương án C đúng

Ta có $\{\begin{cases} S \notin A C \\ S A ⊥ A C \end{cases}$ nên chỉ có đường thẳng SA vuông góc với AC . Do đó không tồn tại $S B ⊥ A C$ . Phương án A sai.

Câu 46:

Cho lăng trụ đều ABC A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a Tính góc giữa hai mp $(A B C) v à (A' B' C') .$

A. $\frac{π}{6}$

B. $ar c \sin \frac{\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{π}{3}$

D. $ar c c os \frac{\sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Gọi H là trung điểm của đoạn B'C' ta có ABC A'B'C' là lăng trụ đều

$\Rightarrow \{\begin{cases} A H ⊥ B^{'} C^{'} \\ A^{'} H ⊥ B^{'} C^{'} \end{cases} \Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (A'B'C') là AHA'.

$Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ đều cạnh 2a $\Rightarrow A^{'} H = a \sqrt{3}$

$Δ A A^{'} H$ vuông tại A'

$\Rightarrow \tan \hat{A H A^{'}} = \frac{A A^{'}}{A^{'} H} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \hat{A H A^{'}} = \frac{π}{6}$

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B $A B = B C = a, A D = 2 a .$ SAvuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và CD Tính cosin góc giữa $M N v à (S A C) .$

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

B. $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

C. $\frac{\sqrt{55}}{10}$

D. $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta dễ chứng minh được tam giácACD vuông tại C, từ đó chứng minh được CN vuông góc với mặt phẳng (SAC) hay C là hình chiếu vuông góc của N trên (SAC). Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (SAC) tại J xác định như hình vẽ. Suy ra góc giữa MN và (SAC) là góc NJC .

IN là đương trung bình trong tam giác ACD suy ra IN=a, IH là đường trung bình trong tam giác ABC suy ra $I H = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$ . Dựa vào định lí Talet trong tam giác MHN ta được $I J = \frac{2}{3} M H = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} S A = \frac{1}{3} S A = \frac{a}{3}$ . Dựa vào tam giác JIC vuông tại I tính được $J C = \frac{\sqrt{22}}{6}$ .

Ta dễ tính được $C N = \frac{a \sqrt{2}}{2}, J N = \frac{a \sqrt{10}}{3}$ .

Tam giác NJC vuông tại C nên $cos \hat{N J C} = \frac{J C}{J N} = \frac{\sqrt{55}}{10}$ .

Câu 48:

Cho hàm số $y = x^{4} - 6 x^{2} + 3$ có đồ thị là (C) . Parabol $P : y = - x^{2} - 1$ cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt. Tổng bình phương các hoành độ giao điểm của P và (C)bằng:

A.5

B.10

C.8

D.4

Xem đáp án

Đáp án là B.

Phương trình hoành độ giao điểm của P và (C):

$x^{4} - 6 x^{2} + 3 = - x^{2} - 1$ $\Leftrightarrow x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{array}$

Vậy ta có tổng bình phương các hoành độ giao điểm của P và (C): ${(- 1)}^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2} = 10$

Câu 49:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{4 - x^{2}}$ là:

A.3

B.2

C.4

D.1

Xem đáp án

Đáp án là B.

• Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = - 1$ nên đồ thị có một tiệm cận ngang là y=-1

Ngoài ra : + $\lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1) (x - 2)}{(2 - x) (2 + x)} = \lim_{x \to 2} \frac{1 - x}{x + 2} = - \frac{1}{4}$ ;

$\lim_{x \to - 2^{-}} y = \lim_{x \to - 2^{-}} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{4 - x^{2}} = - \infty$

nên đồ thị có thêm một tiệm cận đứng.

Câu 50:

Phương trình $\tan (x + \frac{π}{3}) = 0$ có nghiệm là:

A. $- \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

B. $\frac{π}{3} + k π, k \in ℤ$

C. $- \frac{π}{3} + k π, k \in ℤ$

D. $- \frac{π}{3} + k 2 π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta có

$\tan (x + \frac{π}{3}) = 0 \Rightarrow x + \frac{π}{3} = k π, k \in ℤ \Leftrightarrow x = - \frac{π}{3} + k π, k \in ℤ$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải

Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải - đề 24

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan