50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 2

Câu 1:

Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại $y_{C D}$ và giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x$ là:

A. $y_{C D} + y_{C T} = 0$

B. $y_{C T} = 2 y_{C D}$

C. $y_{C T} = y_{C D}$

D. $2 y_{C T} = 3 y_{C D}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hàm số $y = x^{3} - 2 x$ , ta có $y' = 3 x^{2} - 2; y'' = 6 x$

Phương trình

$y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \{\begin{array}{l} y_{C T} = - \frac{4 \sqrt{6}}{9} \\ y_{C D} = \frac{4 \sqrt{6}}{9} \end{array} \Rightarrow y_{C T} + y_{C D} = 0$

Câu 2:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tỉ số thể tích giữa khối chóp S.ABCD và S.AOB là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{A O B} = \frac{1}{4} S_{A B C D}$

Do đó $\frac{V_{S . A B C D}}{V_{S . A O B}} = \frac{S_{A B C D} . S H}{S_{A O B} . S H} = 4$

Câu 3:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${(\frac{1}{3})}^{x + 1} - 3 > 0$

A. $S = (- \infty; - 2)$

B. $S = (- 1; + \infty)$

C. $S = (1; + \infty)$

D. $S = (- 2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

$3^{- x - 1} > 3^{1} \overset{3 > 1}{\to} - x - 1 > 1 \Leftrightarrow x < - 2$

Câu 4:

Cho hàm số $y = x^{4} - x^{2} - 12$ có đồ thị (C). Tìm số giao điểm của (C) và trục hoành

A. 0

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

$x^{4} - x^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 4 \\ x^{2} = 3 (V N) \end{array} \to 2$ nghiệm ứng với 2 giao điểm.

Câu 5:

Tìm tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x + 1) = 2$

A. $S = \{- 2; 3\}$

B. $S = \{3\}$

C. $S = \{\frac{1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\}$

D. $S = \emptyset$

Xem đáp án

Đáp án B

$l o g_{2} (x - 2) + \log_{2} (x + 1) = 2 \Leftrightarrow \log_{2} [(x - 2) (x + 1)] = \log_{2} 4 \Leftrightarrow x^{2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 2 \end{array}$

Câu 6:

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;-1). Ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 có tọa độ là:

A. $A' (4; 2)$

B. $A' (4; - 2)$

C. $A' (2; 1)$

D. $A' (- 4; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $V_{(O; k = 2)} (A) = A' \Rightarrow \vec{O A'} = 2 \vec{O A} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A'} = 4 \\ y_{A'} = - 2 \end{cases}$ . Vậy $A' (4; - 2)$

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. IJ//AB

B. IJ//DC

C. IJ//BD

D. IJ//AC

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của AB

Tam giác ABC có trọng tâm I suy ra $\frac{M I}{M C} = \frac{1}{3}$

Tam giác ABC có trọng tâm J suy ra $\frac{M J}{M D} = \frac{1}{3}$

Khi đó $\frac{M I}{M C} = \frac{M J}{M D} \Rightarrow I J / / C D$ (định lí Talet)

Câu 8:

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2a và độ dài đường sinh $l = \frac{5 a}{2}$ . Diện tích toàn phần của hình nón bằng

A. $10 {πa}^{2}$

B. $11 {πa}^{2}$

C. $3 {πa}^{2}$

D. $9 {πa}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

$S_{t p} = S_{x q} + S_{d a y} = π . R . l + π . R^{2} = π (5 a^{2} + 4 a^{2}) = 9 {πa}^{2}$

Câu 9:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số tiệm cận đứng x = -2

Câu 10:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , SD tạo với mặt phẳng (SAC) một góc bằng $30 °$ . Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{6}$

B. $V = \frac{a^{3}}{3}$

C. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{2}$

D. $V = \frac{a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow \hat{(S D; (S A C))} = \hat{(S D; S O)} = \hat{D S O} = 30 °$

Ta có $O D = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{6}}{2} \Rightarrow V = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABC có M,N lần lượt là trung điểm của SA,SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (SBC) là:

A. CN

B. SC

C. MN

D. CM

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} C N \subset (C M N) \\ C N \subset (S B C) \end{cases} \Rightarrow (C M N) \cap (S B C) = C N$ .

Câu 12:

Hàm số $y = \frac{2 \sin x + 1}{1 - c o s x}$ xác định khi:

A. $x \neq \frac{π}{2} + k 2 π$

B. $x \neq \frac{π}{2} + k π$

C. $x \neq k 2 π$

D. $x \neq k π$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện $1 - c o s x \neq 0 \Leftrightarrow c o s x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 π$

Câu 13:

Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được lập thành từ 6 chữ số đó?

A. 36

B. 18

C. 216

D. 256

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi số có 3 chữ số cần tìm là $a b c$ , trong đó $a, b, c \in \{2; 3; 4; 5; 6; 7\}$

Chọn a có 6 cách, chọn b có 6 cách, chọn c có 6 cách

Số các số có 3 chữ số được lập thành là 6.6.6 = 216 (số)

Câu 14:

Phương trình $s i n x - m = 0$ vô nghiệm khi m là:

A. $- 1 \leq m \leq 1$

B. $[\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 1 \end{array}$

C. m < -1

D. m > 1

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình đã cho $\Leftrightarrow \sin x = m$ . Để phương trình đã cho có nghiệm thì $- 1 \leq m \leq 1$

Câu 15:

Cho hai mặt phẳng (P)và (Q)song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $d \subset (P)$ và $d' \subset (Q)$ thì $d / / d'$

B. Mọi đường thẳng đi qua điểm $A \in (P)$ và song song với (Q) đều nằm trong (P)

C. Nếu đường thẳng $a \subset (Q)$ thì a // (P)

D. Nếu đường thẳng $∆$ cắt (P) thì $∆$ cũng cắt (Q)

Xem đáp án

Đáp án A

Hai đường thẳng d và d’ có thể chéo nhau.

Câu 16:

Phương trình $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có nghiệm thỏa mãn $0 \leq x \leq π$ là:

A. $x = \frac{π}{3} + k 2 π$

B. $x = \frac{π}{6} + k 2 π$

C. $x = \frac{π}{3}$

D. $x = \frac{π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\Leftrightarrow c o s x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$ . Vì $0 \leq x \leq π$ nên $x = \frac{π}{6}$ .

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, SA vuông góc với đáy ABC. Khẳng định nào dưới đây sai?

A. $S A ⊥ B C$

B. $S B ⊥ A C$

C. $S A ⊥ A B$

D. $S B ⊥ B C$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$ mà $A B ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$

Câu 18:

Điều kiện để phương trình $3 \sin x + m \cos x = 5$ vô nghiệm là:

A. m > 4

B. m < -4

C. -4 < m < 4

D. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án C

Để phương trình vô nghiệm thì $3^{2} + m^{2} < 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} < 16 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 4 .$

Câu 19:

Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = a. Mặt cầu đi qua các đỉnh có bán kính r bằng:

A. $\frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

B. $2 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

C. $\frac{2 (a + b + c)}{3}$

D. $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là trung điểm cạnh BC. Ta có:

$r = \frac{B C}{2} = \frac{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}{2} \Rightarrow R = \sqrt{{(\frac{S A}{2})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2} + c^{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Câu 20:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 2}$ có đồ thị (C) và đường thẳng d ; y = x + m. Với giá trị nào của tham số m thì d cắt (C) tại hai điểm phân biệt?

A. m < -2

B. m < 2 hoặc m > 6

C. 2 < m < 6

D. m < -6

Xem đáp án

Đáp án B

$\frac{2 x + 3}{x + 2} = x + m \Leftrightarrow 2 x + 3 = x^{2} + m x + 2 x + 2 m \Leftrightarrow f (x) = x^{2} + m x + 2 m - 3 = 0 (1)$

Rõ ràng $f (- 2) \neq 0, \forall m$ nên ta cần có $∆ > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 (2 m - 3) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 6 \\ m < 2 \end{array}$ .

Câu 21:

Tìm tất cả các giá trị của a sao cho $l i m \frac{a . 2^{n} - 3}{a + 2^{n + 1}} = 1$

A. a = 1

B. a = 2

C. a = -3

D. $a \neq 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $l i m \frac{a . 2^{n} - 3}{a + 2^{n + 1}} = l i m \frac{a . 2^{n} - 3}{a + 2 . 2^{n}} = l i m \frac{a - \frac{3}{2^{n}}}{2 + \frac{a}{2^{n}}} = \frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = 2$

Câu 22:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau

B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau

C. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau

D. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 23:

Tập giá trị của hàm số $y = \sin 2 x + 3$ là:

A. [2;3]

B. [-2;3]

C. [2;4]

D. [0;1]

Xem đáp án

Đáp án C

Vì $- 1 \leq \sin 2 x \leq 1 \Rightarrow - 1 + 3 \leq \sin 2 x + 3 \leq 1 + 3 \Leftrightarrow 2 \leq y \leq 4$ . Vậy tập giá trị là [2;4]

Câu 24:

Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = cot 4x

B. y = cos 3x

C. y = tan 5x

D. y = sin 2x

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số y = cot 4x

TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{k π}{4}\} \Rightarrow - x \in D$ Hơn nữa: $c o t (- 4 x) = \frac{\cos (- 4 x)}{\sin (- 4 x)} = \frac{\cos 4 x}{- \sin 4 x} = - c o t 4 x \Rightarrow$ hàm lẻ.

Xét hàm số y = cos 3x

TXĐ: $D = ℝ \Rightarrow - x \in D$ . Hơn nữa $\cos (- 3 x) = c o s 3 x \Rightarrow$ hàm số chẵn.

Xét hàm số y = tan 5x. Ta có $\tan (- 5 x) = - \tan 5 x \Rightarrow$ hàm số không chẵn.

Xét hàm số y = sin 2x. Ta có $\sin (- 2 x) = - \sin 2 x \Rightarrow$ hàm số không chẵn.

Câu 25:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;-2). Tọa độ ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} (3; - 2)$ là:

A. M'(-2;4)

B. M'(4;-4)

C. M'(4;4)

D. M'(-2;0)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $T_{\vec{v}} (M) = M' = \vec{M M'} = \vec{v} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M'} - 1 = 3 \\ y_{M'} + 2 = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M'} = 4 \\ y_{M'} = - 4 \end{cases}$ . Vậy M'(4;-4)

Câu 26:

Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối chóp đó theo a:

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{10}}{6}$

D. $V = \frac{a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{d} = a^{2}$ đường cao $h = \sqrt{3 a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2} \Rightarrow V = \frac{1}{3} S_{d} . h = \frac{a^{3} \sqrt{10}}{6}$

Câu 27:

Một hộp chứa 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:

A. $\frac{2}{10}$

B. $\frac{4}{10}$

C. $\frac{5}{10}$

D. $\frac{3}{10}$

Xem đáp án

Đáp án D

Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu trong 5 quả cầu có $C_{5}^{2} = 10$ cách.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = 10$

Gọi X là biến cố “lấy được cả hai quả cầu trắng”

Lấy 2 quả cầu trắng trong 3 quả cầu trắng có $C_{3}^{2}$ cách $\Rightarrow n (X) = C_{3}^{2} = 3$

Vậy xác suất cần tính là $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{3}{10}$ .

Câu 28:

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1, \sqrt{a} \neq b$ và $\log_{a} b = \sqrt{2}$ . Tính $P = \log_{\frac{b}{\sqrt{a}}} \sqrt{\frac{a}{b}}$ .

A. $P = \frac{1 - \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1}$

B. $P = \frac{1 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + 1}$

C. $P = \frac{1 - \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + 1}$

D. $P = \frac{1 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $P = \frac{1}{2} . \frac{1 - \log_{a} b}{\log_{a} b - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1}$ .

Câu 29:

Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y = \frac{1}{3} (m - 2) x^{3} + (m - 2) x^{2} - 2 x + 4$ nghịch biến trên khoảng ?

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = (m - 2) x^{2} + 2 (m - 2) x - 2$ . Với $m = 2 \Rightarrow y' = - 2 < 0$ nên thỏa mãn.

Với $m \neq 2$ ta có để $y' \leq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 2 > 0 \\ ∆' < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 \\ {(m - 2)}^{2} + 2 (m - 2) < 0 \end{cases} \Rightarrow 0 < m < 2$

Hợp hai trường hợp suy ra $0 < m \leq 2 \Rightarrow m = 1; m = 2$ .

Câu 30:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là điểm trên đường chéo CA' sao cho $\vec{M C} = - 3 \vec{M A'}$ . Tính tỉ số giữa thể tích $V_{1}$ của khối chóp M.ABCD và thể tích $V_{2}$ của khối lập phương.

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{3}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{4}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{9}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $V_{1} = \frac{1}{3} . \frac{3 a}{4} . a^{2} = \frac{a^{3}}{4}; V_{2} = a^{3} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$ .

Câu 31:

Cho $\log_{b} a = x; \log_{b} c = y$ . Hãy biểu diễn $\log_{a^{2}} (\sqrt[3]{b^{5} c^{4}})$ theo x và y:

A. $\frac{5 + 4 y}{6 x}$

B. $\frac{20 y}{3 x}$

C. $\frac{5 + 3 y^{4}}{3 x^{2}}$

D. $2 x + \frac{20 y}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\log_{a^{2}} (\sqrt[3]{b^{5} c^{4}}) = \frac{1}{2} \log_{a} {(b^{5} c^{4})}^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \log_{a} (b^{\frac{5}{3}} c^{\frac{4}{3}}) = \frac{1}{2} \log_{a} b^{\frac{5}{3}} + \frac{1}{2} \log_{a} c^{\frac{4}{3}} = \frac{5}{6} \log_{a} b + \frac{4}{6} \log_{a} c$

$= \frac{5}{6} . \frac{1}{\log_{b} a} + \frac{4 \log_{b} c}{6 \log_{b} a} = \frac{5}{6 x} + \frac{4 y}{6 x} = \frac{5 + 4 y}{6 x}$

Câu 32:

Cho khối tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng $60 °$ . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD theo a:

A. $V = \frac{a^{3}}{8}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{16}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{8}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC khi đó $\{\begin{cases} D M ⊥ B C \\ A M ⊥ B C \end{cases}$

Suy ra $B C ⊥ (D M A) \Rightarrow \hat{(D B C; A B C)} = 60 °$

Lại có $D M = A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Dựng $D H ⊥ A M \Rightarrow D H ⊥ (A B C)$

Khi đó $V_{A B C D} = \frac{1}{3} D H . S_{A B C} = \frac{1}{3} D M . \sin 60 ° . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{16}$ .

Câu 33:

Cho các số thực a,b thỏa mãn a > b > 1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\log_{a} b > \log_{b} a$

B. $\log_{a} b < \log_{b} a$

C. $\ln a > \ln b$

D. $\log_{\frac{1}{2}} (a b) < 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Cho a = 4; b = 2 ta có: $\log_{a} b = \frac{1}{2}; \log_{b} a = 2$ nên A sai.

Câu 34:

Các thành phố A,B,C,D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

A. 10

B. 9

C. 24

D. 18

Xem đáp án

Đáp án C

Số cách đi từ A đến B là 4, số cách đi từ B đến C là 2, số cách đi từ C đến D là 3.

Số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là: 4.2.3 = 24 (cách)

Câu 35:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Gọi M là trung điểm A'B' là trung điểm. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN

A. $V = \frac{a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{a^{3}}{12}$

C. $V = \frac{a^{3}}{6}$

D. $V = \frac{a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{N A D} = \frac{1}{2} d (N; A D) . A D = \frac{1}{2} a^{2}$

$d (M; (A B C D)) = A A' = a$

Do đó $V_{M . A D N} = \frac{1}{3} . A A' . S_{N A D} = \frac{a^{3}}{6}$ .

Câu 36:

Xét một phép thử có không gian mẫu $Ω$ và A là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai?

A. P(A) = 0 khi và chỉ khi A là chắc chắn

B. $0 \leq P (A) \leq 1$

C. Xác suất của biến cố A là số $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)}$

D. $P (A) = 1 - P (A)$

Xem đáp án

Đáp án A

Các phát biểu B, C và D là đúng; phát biểu A là sai

Câu 37:

Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB,AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I. Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sau đây:

A. (ACD)

B. (CMN)

C. (BCD)

D. (ABD)

Xem đáp án

Đáp án A

Điểm I không thuộc mặt phẳng (ACD) (hình vẽ)

Câu 38:

Hàm số $y = 2 \cos x + \sin (x + \frac{π}{4})$ đạt giá trị lớn nhất là

A. $5 + 2 \sqrt{2}$

B. $5 - 2 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{5 - 2 \sqrt{2}}$

D. $\sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y = 2 \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sqrt{2}}{2} . \sin x + \frac{4 + \sqrt{2}}{2} . \cos x$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có

${(\frac{\sqrt{2}}{2} . \sin x + \frac{4 + \sqrt{2}}{2} . \cos x)}^{2} \leq [{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{4 + \sqrt{2}}{2})}^{2}] . (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = 5 + 2 \sqrt{2}$

Suy ra $y^{2} \leq 5 + 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow y \leq \sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ . Vậy $y_{m a x} = \sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ .

Câu 39:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có cạnh đáy AB và CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. G là trọng tâm của tam giác SAB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (IJG) là một tứ giác. Tìm điều kiện của AB,CD để thiết diện đó là hình bình hành?

A. AB = 3CD

B. AB = 2CD

C. CD = 2AB

D. CD = 3AB

Xem đáp án

Đáp án A

Qua G kẻ đường thẳng d song song với AB và cắt SA, SB lần lượt tại hai điểm Q, P. Vì MN là đường trung bình của ABCD $\Rightarrow$ MN//AB

Do đó MN//PQ. Vậy giao tuyến của mặt phẳng (MNG) và (SAB) là PQ.

Mặt phẳng (MNG) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác MNPQ

Vì MN//PQ suy ra MNPQ là hình thang

Để MNPQ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ MN=PQ (1)

Gọi I là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác $S A B \Rightarrow \frac{S G}{S I} = \frac{2}{3}$

Tam giác SAB có $P Q / / A B \Rightarrow \frac{P Q}{A B} = \frac{S G}{S I} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow P Q = \frac{2}{3} A B$ (2)

Mà MN là đường trung bình hình thang $A B C D \Rightarrow M N = \frac{A B + C D}{2}$ (3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra $\frac{2}{3} A B = \frac{A B + C D}{2} \Leftrightarrow 4 A B = 3 A B + 3 C D \Leftrightarrow A B = 3 C D$ .

Câu 40:

Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu bán kính R và có đường cao bằng bán kính mặt cầu. Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng

A. $\frac{(3 + 2 \sqrt{3}) {πR}^{2}}{3}$

B. $\frac{(3 + 2 \sqrt{3}) {πR}^{2}}{2}$

C. $\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) {πR}^{2}}{2}$

D. $\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) {πR}^{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của hình trụ.

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình trụ là $R^{2} = r^{2} + \frac{h^{2}}{4}$

Theo bài ra, ta có h = R nên suy ra $R^{2} = r^{2} + \frac{h^{2}}{4} \Leftrightarrow r^{2} = \frac{3 R^{2}}{4} \Leftrightarrow r = \frac{R \sqrt{3}}{2}$

Diện tích toàn phần hình trụ là:

$S_{t p} = 2 {πr}^{2} + 2 πrh = 2 πr (r + h) = 2 π . \frac{R \sqrt{3}}{2} . (\frac{R \sqrt{3}}{2} + R) = \frac{(3 + 2 \sqrt{3}) {πR}^{2}}{2}$ .

Câu 41:

Khi tính giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - x} + 2 x}{3 - 4 |x|}$ ta được kết quả là một phân số tối giản $\frac{a}{b}, a \in ℤ, b \in ℤ, b \neq 0$ . Tính a + b?

A. a + b = 5

B. a + b = 7

C. a + b = -1

D. a + b = -3

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $x = - t \Rightarrow L = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{t^{2} + t} - 2 t}{3 - 4 t} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{t} - 2}}{\frac{3}{t} - 4} = \frac{\sqrt{1} - 2}{- 4} = \frac{1}{4}$

Câu 42:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x - 1} + x k h i x \geq 1 \\ (m^{3} - 3 m + 3) x k h i x < 1 \end{cases}$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên $ℝ$ ?

A. $m = 1; m = - 2$

B. $m = 1; m = 2$

C. $m = - 1; m = - 2$

D. $m = 1; m = 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\sqrt{x - 1} + x) \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (m^{3} - 3 m + 3) x = m^{3} - 3 m + 3 \end{cases} \Rightarrow m^{3} - 3 m + 3 = 1 \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$ .

Câu 43:

Cho hàm số f(x) xác định trên $ℝ$ và có đồ thị hàm số y = f '(x) là đường cong trong vẽ dưới đây.Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. f(x) đồng biến trên khoảng (1;2)

B. f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)

C. f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1)

D. f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số f ' (x) ta thấy $f' (x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 2 \\ 0 < x < 2 \end{array}$ và $f' (x) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ - 2 < x < 0 \end{array}$ .

Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)

Câu 44:

Gọi a, b, c là ba số thực khác 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện $3^{a} = 5^{b} = 15^{- c}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 (a + b + c)$

A. $- 3 - \log_{5} 3$

B. -4

C. $- 2 - \sqrt{3}$

D. $- 2 - \log_{5} 3$

Xem đáp án

Đáp án B

$3^{a} = 5^{b} = \frac{1}{3^{c} 5^{c}} \Leftrightarrow \frac{a}{\log_{3} 15} = \frac{b}{\log_{3} 15} = - c \log_{15} 15 \Leftrightarrow \frac{a}{1 + \log_{3} 5} = \frac{b}{1 + \log_{5} 3} = - c$

Đặt $t = \log_{3} 5 \Rightarrow \{\begin{array}{l} a = - c (1 + t) \\ b = - c (1 + \frac{1}{t}) = \frac{a}{t} \end{array} \Rightarrow a = - c (1 + \frac{a}{b}) \Leftrightarrow a b + b c + c a = 0$

$\Rightarrow P = {(a + b + c)}^{2} - 4 (a + b + c) \geq - 4$ . Dấu bằng khi $\{\begin{cases} a + b + c = 2 \\ a b + b c + c a = 0 \end{cases}$ , chẳng hạn a = 2,b = c = 0.

Câu 45:

Cho tam giác ABC có AB = 3,BC = 5,CA = 7. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra là do hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AB:

A. $50 π$

B. $\frac{75 π}{4}$

C. $\frac{275 π}{8}$

D. $\frac{125 π}{8}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\cos \overset{⏜}{A B C} = \frac{B A^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 B A . B C} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \overset{⏜}{A B C} = 120 ° \Rightarrow \overset{⏜}{C B H} = 60 °$

Suy ra $C H = B C \sin 60 ° = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

Khi quay tam giác quay AB ta được khối có thể tích là

$V = V_{(N_{1})} - V_{(N_{2})} = \frac{1}{3} {πCH}^{2} . AH - \frac{1}{3} {πCH}^{2} . BH$

(Trong đó $V_{(N_{1})}; V_{(N_{2})}$ lần lượt là thể tích khối nón tạo thành khi quay các tam giác CBH và CAH quanh AB)

$\frac{1}{3} {πCH}^{2} . (AH - BH) = \frac{1}{3} {πCH}^{2} . AB = \frac{75}{4} π t = 2^{x} > 1$ .

Câu 46:

Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $(3 m + 1) . 12^{x} + (2 - m) 6^{x} + 3^{x} < 0$ có nghiệm đúng với mọi x > 0 là:

A. m > -2

B. m < -2

C. $m < \frac{1}{3}$

D. $- 2 < m < \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = 2^{x} > 1$

PT $\Leftrightarrow (3 m + 1) . 4^{x} + (2 - m) 2^{x} + 1 < 0 \Leftrightarrow m (3 t^{2} - t) + {(t + 1)}^{2} < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{t^{2} + 2 t + 1}{3 t^{2} - t} = f (t)$

Xét hàm $f (x) = - \frac{t^{2} + 2 t + 1}{3 t^{2} - t}$ trên khoảng $(1; + \infty) \Rightarrow f' (t) = \frac{(t + 1) (1 - 7 t)}{{(3 t^{2} - t)}^{2}} > 0$ với $t \in (1; + \infty)$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra m < -2.

Câu 47:

Cho khối hộpABCD.A'B'C'D' Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB'D') chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

A. $\frac{5}{12}$

B. $\frac{7}{17}$

C. $\frac{7}{24}$

D. $\frac{5}{17}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựng MN//BD//B'D'

Chia thể tích khối A'B'D'.AMN thành 3 khối chóp

Ta có: $V_{A' B' D' . A M N} = V_{N . A' B' D'} + V_{N . A' B' M'} + V_{A' . A M N}$

$= \frac{1}{2} V_{N . A' B' C' D'} + \frac{1}{2} V_{D . A' B' M} + \frac{1}{4} V_{A' . A B D}$

$= \frac{1}{6} V + \frac{1}{2} V_{D' . A' B' M} + \frac{1}{24} V = \frac{1}{6} V + \frac{1}{12} V + \frac{1}{24} V = \frac{7}{24} V$

Do đó tỷ số thể tích 2 phần là $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{7}{17}$

Câu 48:

Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức $S = A . e^{N r}$ (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2020 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào?

A. (1.281.600;1.281.700)

B. (1.281.800;1.281.900)

C. (1.281.900;1.282.000)

D. (1.281.700;1.281.800)

Xem đáp án

Đáp án D

Từ 2010 đến đầu năm 2015 ta có $1.153.600 = 1.038.229 \times e^{5 r} \Rightarrow r = 0, 021$

Từ 2010 đến đầu năm 2020, số dân tương ứng: $1.038.229 \times e^{10 r} = 1.281.791$ .

Câu 49:

Phần không gian bên trong của chai rượu có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng R = 4,5 cm bán kính cổ r = 1,5cm,AB = 4,5 cm, BC = 6,5cm, CD = 20cm. Thể tích phần không gian bên trong của chai rượu đó bằng:

A. $\frac{3321 π}{8} c m^{3}$

B. $\frac{7695 π}{16} c m^{3}$

C. $\frac{957 π}{2} c m^{3}$

D. $478 π c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi V là thể tích phần không gian bên trong của chai rượu.

Ta có: $V_{1} = π . r^{2} . AB = π . 1, 5^{2} . 4, 5 = \frac{81}{8} π$

$V_{2} = \frac{π . BC}{3} (R^{2} + r^{2} + R r) = \frac{π . 6, 5}{3} . (4, 5^{2} + 1, 5^{2} + 4, 5.1, 5) = \frac{507}{8} π$

$V_{3} = {πR}^{2} . CD = π . 4, 5^{2} . 20 = 405 π \Rightarrow V = V_{1} + V_{2} + V_{3} = \frac{957 π}{2}$

Câu 50:

Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Ông A gửi số tiền ban đầu là 10 triệu đồng với lãi suất 0,5%/tháng, chưa đầy nửa năm thì lãi suất tăng lên 1%/tháng trong vòng một quý (3 tháng) và sau đó lãi suất lại thay đổi xuống còn 0,8%/tháng. Ông A tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa rồi rút cả vốn lẫn lãi được 10937826,46912 đồng (chưa làm tròn). Hỏi ông A đã gửi tổng là bao nhiêu tháng? ( Biết rằng kỳ hạn là một tháng, lãi suất nếu có thay đổi chỉ thay đổi sau khi hết tháng và trong quá trình gửi ông A không rút đồng nào, tiền lãi của mỗi tháng được cộng vào tiền gốc của tháng sau).

A. 12 tháng

B. 13 tháng

C. 9 tháng

D. 10 tháng

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,5%/tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,8%/tháng.

Khi đó tổng số tháng mà ông A gửi tiền vào ngân hàng là a + x + 3 tháng.

Suy ra số tiền ông A rút được cả vốn lẫn lãi là

$10 000 000 \times 1, 005^{a} \times 1, 01^{3} \times 1, 008^{x} = 10 937 826, 469$

$\Leftrightarrow 1, 008^{x} = \frac{10 937 826, 469}{10 000 000 \times 1, 005^{a} \times 1, 01^{3}} \Leftrightarrow x = \log_{1, 008} \frac{10 937 826, 469}{10 000 000 \times 1, 005^{a} \times 1, 01^{3}}$

Chọn $a = 1 \to 6$ ta thấy tại a = 4 thì x = 5. Vậy số tháng mà ông A phải gửi 4 + 3 +5 = 12 tháng.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 2

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan