Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 8
-
3427 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 2:
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho , biết cùng chiều với và có . Chọn phương án đúng?
Đáp án D.
Câu 3:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án C.
Ta có nên hàm số nghịch biến trên
Câu 7:
Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số là . Khi đó
Đáp án A.
Do không thể là cấp số nhân.
Dựa vào 4 đáp án suy ra là cấp số cộng, giả sử số hạng đầu là , công sai là d
Khi đó
.
Câu 8:
Cho tứ diện ABCD. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD
Đáp án A.
Với mỗi cách chọn ra 2 đỉnh bất kỳ của tứ diện ta được 2 vecto đối nhau.
Do đó có vecto.
Câu 9:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số và . Khẳng định nào dưới đây đúng?
Đáp án D.
Ta có mà
Câu 12:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án B.
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận, 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.
Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt thì .
Phương án D bị gián đoạn bởi tập xác định.
Phương án C sai vì đồ thị hàm số có dáng điệu tiến đến vô cùng.
Câu 13:
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d.
Đáp án C.
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì nên (P) nhận vecto chỉ phương của (d) là làm vecto pháp tuyến . Khi đó: .
Câu 14:
Biết tập nghiệm S của bất phương trình là khoảng (a;b). Tính b - a.
Đáp án A.
Ta có:
Vậy .
Câu 15:
Biết , trong đó a, b, c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính S = a + b + c.
Đáp án B.
Đặt
.
Câu 16:
Cho hàm số . Tập nghiệm của bất phương trình y' > 0 là:
Đáp án B.
Điều kiện .
Khi đó
Câu 18:
Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức.
Đáp án B.
Ta có M(2;-3) suy ra M biểu diễn cho số phức 2 - 3i.
Câu 19:
Cho hàm số . Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và là tiệm cận ngang.
Đáp án B.
Đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và là tiệm cận ngang khi
Câu 20:
Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung . Tính diện tích thiết diện ABB’A’?
Đáp án C.
Gọi R,h,l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ.
Ta có diện tích xung quanh
Giả sử AB là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung . Vì ABA’A’ là hình chữ nhật có AA' = h = l.
Xét tam giác OAB cân tại O, có .
Vậy diện tích cần tính là
Câu 21:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết rằng các cạnh SA = AC = 2. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
Đáp án C.
Thể tích của khối chóp S.ABC là
Câu 22:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: và là số thuần ảo:
Đáp án C.
Đặt z = x + yi, ta có là số thuần ảo
.
Mặt khác (2).
Từ (1),(2) suy ra có 4 số phức cần tìm.
Câu 24:
Gọi là bốn nghiệm phức của phương trình . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm của . Tính giá trị của P = OA + OB + OC + OD trong đó O là gốc tọa độ.
Đáp án D.
Phương trình
Khi đó A(2;0), B(-2;0), C(), D()
Câu 26:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án A.
Xét mặt cầu tâm I(2;-1;3) và R = 3.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là z = 0; x = 0; y = 0.
Khi đó nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).
Câu 27:
Cho hàm số . Giá trị lớn nhất của hàm số trên là:
Đáp án A.
Xét hàm số trên . Ta có:
Lại có:
Do đó
Câu 30:
Cho A, B, C là những điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn . Tìm phát biểu sai?
Đáp án D.
Ta có
Câu 31:
Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là:
Đáp án D.
Gọi h,r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón lớn.
Theo đó, chiều cao và bán kính của khối nón nhỏ lần lượt là và
Tỉ số thể tích khối nón nhỏ và khối nón lớn là:
Vậy tỉ số thêt tích của 2 phần được chia là: .
Câu 32:
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành (hình vẽ).
Diện tích của (H) bằng
Đáp án A.
Diện tích của (H) bằng
Câu 33:
Cho hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng . Tính diện tích thiết diện của trục cắt bởi mặt phẳng
Đáp án C.
Gọi thiết diện mặt cắt là hình vuông ABCD.
Xét mặt đáy tâm O như hình vẽ. Vì thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên chiều cao của hình trụ OO' = 2a = BC và OA = a.
Diện tích thiết diện cần tính: .
Câu 34:
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1;2;1) và mặt phẳng . Gọi B là điểm đối xứng với A qua (P). Độ dài đoạn AB là:
Đáp án B.
Câu 35:
Có bao nhiêu số có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Đáp án B.
Số cần lập có dạng trong đó ; trong đó d = {0;5}.
TH1: d = 0 khi đó a,b,c có cách chọn và sắp xếp.
TH2: d = 5 khi đó a,b,c có 5.5.4 cách chọn và sắp xếp.
Theo quy tắc cộng có số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 36:
Số hạng không chứa x trong khai triển với , biết n là số nguyên dương thỏa mãn là
Đáp án C.
Ta có
Khi đó
Số hạng không chứa x
Câu 37:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên và có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ bên. Xét hàm số Mệnh đề nào sau đây là sai?
Đáp án A.
Ta có
Khi đó
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng và (0;2) khẳng định A là sai.
Câu 38:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh AB và là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Diện tích thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD là
Đáp án A.
Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD
Qua N kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SC tại P.
Suy ra thiết diện của mặt phẳng và hình chóp là MNPQ.
Vì MQ là đường trung bình của hình tháng ABCD .
MN là đường trung bình của tam giác SAB.
NP là đường trung bình của tam giác SBC .
Vậy diện tích hình thang MNPQ là .
Câu 39:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3), C(4;2;5). Biết điểm M() nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho có giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tổng bằng
Đáp án C.
Gọi C là trọng tâm của tam giác ABC
Khi đó .
Suy ra M là hình chiếu của G trên mp (Oxy) .
Câu 40:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số có 5 điểm cực trị?
Đáp án B.
Đặt .
Khi đó . Phương trình
Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị có 5 nghiệm phân biệt
Mà có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt.
Dựa vào BBT hàm số f(x) để (*) có 2 nghiệm phân biệt
Kết hợp với suy ra có tất cả 27 giá trị nguyên cần tìm.
Câu 41:
Cho hàm số f(x) xác định trên và thỏa mãn . Biết f(-3) + f(3) = 0 và . Tính giá trị .
Đáp án C.
Ta có .
· Với mà .
· Với mà .
Vậy .
Câu 42:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
Đáp án B.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối .
Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tam giác SAC vuông tại A, có .
Ta có và .
Tương tự suy ra .
Mà và .
Do đó mà .
Vậy thể tích cần tính là
Câu 43:
Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5cm, chiều dài 6cm. Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6cm x 5cm x 6cm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn?
Đáp án C.
Chiều dài viên phấn bằng với chiều dài của hộp carton bằng 6cm.
Đường kính đáy của viên phấn hình trụ bằng d = 1cm.
TH1: Chiều cao của đáy hình hộp chữa nhật bằng với 5 lần đường kính đáy bằng 5cm.
Khi đó ta sẽ xếp được 4.6 = 30 viên phấn.
TH2: Chiều cao của đáy hình hộp chữ nhật bằng với 6 lần đường kính đáy bằng 6cm.
Khi đó ta cũng sẽ xếp được 6.5 = 30 viên phấn.
Vậy hộp phấn cần đẻ xếp 460 viên phấn là 16 hộp.
Câu 44:
Cho số phức thỏa mãn . Đặt . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án A.
Ta có .
Mà (*).
Đặt A = x + yi, Khi đó (*) .
Câu 45:
Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức (Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là (Ben) và (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy).
Đáp án C.
Ta có .
Trung điểm I của cạnh AB cách O một khoảng
Câu 46:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Tính giá trị của M - m.
Đáp án C.
Ta có:
Đặt .
Suy ra
Từ đó suy ra .
Câu 47:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016;0;0) tới mặt phẳng (P).
Đáp án D.
Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB). Và cắt mặt phẳng trung trực của OC tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy ra .
Ta có .
Tương tự .
Suy ra .
Vậy khoảng cách từ điểm M dến (P) bằng .
Câu 48:
Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính môđun của số phức w = M + mi ?
Đáp án B.
Đặt suy ra tập hợp các điểm M(z) = (x,y) là đường tròn (C) có tâm I(3;4) và bán kính .
Ta có
.
Ta cần tìm P sao cho đường thẳng và đường tròn (C) có điểm chung .
Do đó, .
Câu 49:
Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa và f(1) = 0. Tính .
Đáp án C.
Đặt , khi đó
.
Xét tích phân
Do đó mà .
Vậy
Câu 50:
Một công ty mỹ phẩm chiết xuất hoạt chất đặc biệt và họ sử dụng nó để sản suất ra một sản phẩm kem dưỡng da mới với thiết kế hộp là một khối cầu có đường kính bên trong hộp là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ). Để thu hút khác hàng công ty đã thiết kế khối trụ có thể tích lớn nhất để đựng kem dưỡng da. Hỏi với hoạt chất đặc biệt trên, công ty đó sản xuất được tối đa bao nhiêu hộp sản phẩm, biết rằng trong kem dưỡng da chỉ chứa 0,3% hoạt chất đặc biệt trên ?
Đáp án A.
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của khối trụ.
Vì 2 x khối trụ nội tiếp khối cầu suy ra
Thể tích của khối trụ là .
Khảo sát hàm số GTLN của f(h) là 54 khi h = 3.
Suy ra thể tích lớn nhất của khối trụ là .
Số hoạt chất đặc biệt cần dùng để làm kem dưỡng da là .
Vậy số hộp kem tối đa mà công ty sản xuất được là hộp.