Thứ năm, 14/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ THI THỬ THPT QUỐC GIA Toán Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 8

  • 3427 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn 1-iz=1+3i.

Xem đáp án

Đáp án C.

z=1+3i1-i=-1+2iz¯=-1-2i.


Câu 2:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho a=2;-1;0, biết b cùng chiều với a và có a.b=10. Chọn phương án đúng?

Xem đáp án

Đáp án D.

bab=2k;-k;0, k>0a.b=4k+k=5k5k=10k=2b=4;-2;0.


Câu 3:

Hàm số y=2x4+3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có y'=8x3 nên hàm số nghịch biến trên -;0


Câu 4:

Cho hàm số y = sin 2x. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có y'=2cos2x; y''=-4sin2x4y+y''=0.


Câu 5:

Biết log72=m, khi đó giá trị của log4928 được tính theo m là:

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có log4928=12log728=1+2log722=1+2m2.


Câu 6:

fxdx=1x+ln5x+C với x0;+ thì hàm số f(x) là

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có fx=1x+ln5x'=-1x2+1x.


Câu 7:

Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số an,n1 là Sn=2n2+3n. Khi đó

Xem đáp án

Đáp án A.

Do Sn=2n2+3nan không thể là cấp số nhân.

Dựa vào 4 đáp án suy ra an là cấp số cộng, giả sử số hạng đầu là u1, công sai là d

Khi đó Sn=n2u1+n-1d2=2n2+3n2u1+n-1d=4n+6nd+2u1-d=4n+6

d=42u1-d=6d=4u1=5.


Câu 8:

Cho tứ diện ABCD. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện  ABCD

Xem đáp án

Đáp án A.

Với mỗi cách chọn ra 2 đỉnh bất kỳ của tứ diện ta được 2 vecto đối nhau.

Do đó có 2C42=12 vecto.


Câu 9:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=2cos2x và Fπ4=-3. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có F(x)=2dxcos2x=2tanx+C mà Fπ4=-3C=-5Fx=2tanx-5.


Câu 10:

Cho fx=12.52x+1;gx=5x+4x.ln5. Tập nghiệm của bất phương trình f'x>g'x là

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: f'x=52x+1ln5;g'x=5xln5+4ln5 

Khi đó f'x>g'x52x+1>5x+45.52x-5x-4>05x-15.5x+4>05x>1x>0.


Câu 11:

Tập nghiệm của bất phương trình 5-22xx-15+2x là

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có 5-22xx-15+2x5-22xx-15-2-x 

Do 0<5-2<1 nên BPT 2xx-1-x2xx-1+xx-1x-10x2+xx-10xx+1x-10xx+1x-10[x>1-1x0.


Câu 12:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên \1liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B.

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận, 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.

Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt thì m1;2. 

Phương án D bị gián đoạn bởi tập xác định.

Phương án C sai vì đồ thị hàm số có dáng điệu tiến đến vô cùng.


Câu 13:

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng có phương  trình d:x+11=y-2-1=z1. Viết phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d.

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì dP nên (P) nhận vecto chỉ phương của (d) là ud=1;-1;1 làm vecto pháp tuyến nP=1;-1;1. Khi đó: P:x-1-y-2+z-1=0x-y+z=0.


Câu 14:

Biết tập nghiệm S của bất phương trình logπ6log3x-2>0 là khoảng (a;b). Tính b - a.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có:  logπ6log3x-2>00<log3x-2<1x-2>1x-2<33<x<5

Vậy S=3;5b-a=2.


Câu 15:

Biết I=04xln2x+1dx=abln3-c, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và ab là phân số tối giản. Tính S = a + b + c.

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt ln2x+1=uxdx=dv22x+1dx=duv=x221x+12dx=duv=x2-1/42 

I=x22ln2x+104-1204x-12dx=63ln34-3a+b+b=70.


Câu 16:

Cho hàm số y=log13x3-2x. Tập nghiệm của bất phương trình y' > 0 là:

Xem đáp án

Đáp án B.

Điều kiện x2-2x>0[x>2x<0

Khi đó y=-log3x2-2xy'=-2x-2x2-2xln3>0x<1 nên x<0.


Câu 17:

Tập xác định của hàm số y=log23x-2 là

Xem đáp án

Đáp án D.

Hàm số xác định khi và chỉ khi 3x-2>03x>2x>log32D=log32;+.


Câu 18:

Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức.

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có M(2;-3) suy ra M biểu diễn cho số phức 2 - 3i.


Câu 19:

Cho hàm số y=ax+1bx-2. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và y=12 là tiệm cận ngang.

Xem đáp án

Đáp án B.

Đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và y=12 là tiệm cận ngang khi x=2b=1ab=12a=2a=1.


Câu 20:

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng α song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120°. Tính diện tích thiết diện ABB’A’?

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi R,h,l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ.

Ta có diện tích xung quanh Sxq=4π2πRl=4πRl=2. 

Giả sử AB là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120°. Vì ABA’A’ là hình chữ nhật có AA' = h = l.

Xét tam giác OAB cân tại O, có OA=OB=RAOB^=120°AB=R3

Vậy diện tích cần tính là SABB'A'=AB.AA'=R3.1=23.


Câu 22:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z-i=2 và z2 là số thuần ảo:

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt z = x + yix,y, ta có z2=x+yi2=x2-y2+2xyi là số thuần ảo

x2-y2=02xy0 (1)

Mặt khác z-i=2x+y-1i=2x2+y-12=2   (2).

Từ (1),(2) suy ra x2=y2x2+y-12=2x2=y2y2+y-12=2 có 4 số phức cần tìm.


Câu 23:

Cho tích phân I=0π4x-1sin2xdx. Tìm đẳng thức đúng

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt u=x-1dv=sin2xdxdu=dxv=-cos2x2. Khi đó I=-12x-1cos2x0π4+120π4cos2xdx.


Câu 24:

Gọi z1,z2,z3,z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z2-2z2-8=0. Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm của z1,z2,z3,z4. Tính giá trị của P = OA + OB + OC + OD trong đó O là gốc tọa độ.

Xem đáp án

Đáp án D.

Phương trình z4-2z2-8=0z2-12=32[z2=4z2=-2[z=±2z=±i2z1=2;z2=-2z3=±i2;z4=-i2. 

Khi đó A(2;0), B(-2;0), C(0;2), D(0;-2P=OA+OB+OC+OD=4+22.


Câu 25:

Có bao nhiêu số a0;20π sao cho 0asin5x.sin2xdx=27.

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có 0asin5x.sin2xdx=0asin5x.2sinxcosxdx=20asin6xdsinx=2.sin7x70a=27sin7a=27 sinx=1x=π2+k2π k. 

Ép cho 0<π2+k2π<20π-14<k<394k0;1;2;...;9.


Câu 26:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x-22+y+12+z-32=9. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án A.

Xét mặt cầu S:x-22+y+12+z-32=9 tâm I(2;-1;3) và R = 3. 

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là z = 0; x = 0; y = 0. 

Khi đó dI;Oxy=3dI;Oyz=2dI;Oxz=1 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).


Câu 27:

Cho hàm số y=2x2-3x-1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên 12;2 là:

Xem đáp án

Đáp án A.

Xét hàm số fx=2x2-3x-1 trên 12;2. Ta có: f'x=4x-3=0x=34 

Lại có: f12=-2;f34=-178;f1=-2fx-178;-2fx2;178 

Do đó max12;2y=178.


Câu 28:

Biết hàm số Fx=ax3+a+bx2+2a-b+cx+1 là một nguyên hàm của hàm số fx=3x2+6x+2. Tổng a + b + c là:

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có Fx=3x2+6x+2dx=x3+3x2+2x+Ca=1a+b=32a-b+c=2C=1a=1b=2c=2.


Câu 29:

Cho hàm số fx=4x4x+2. Tính giá trị biểu thức A=f1100+f2100+...+f100100?

Xem đáp án

Đáp án D.

Với a+b=1fa+fb=4a4a+2+4b4b+2=4a+b+2.4a+4a+b+2.4b4a+b+2.4a+2.4b+4=1. 

Lưu ý 1100+9100=1,... cứ vậy A=982+f50100+f100100=3016.


Câu 30:

Cho A, B, C là những điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z3+i=0. Tìm phát biểu sai?

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có z3+i=0z=iz=-i±32A0;1B32;-12,C-32;-12SABC=334.


Câu 31:

Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là:

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi h,r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón lớn.

Theo đó, chiều cao và bán kính của khối nón nhỏ lần lượt là h2 và r2 

Tỉ số thể tích khối nón nhỏ và khối nón lớn là: π3r22h2πr2h3=18 

Vậy tỉ số thêt tích của 2 phần được chia là: 17.


Câu 32:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y=x, y=x-2 và trục hoành (hình vẽ).

Diện tích của (H) bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Diện tích của (H) bằng S=02xdx+24x-x-2dx=103.


Câu 33:

Cho hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng a2. Tính diện tích thiết diện của trục cắt bởi mặt phẳng

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi thiết diện mặt cắt là hình vuông ABCD.

Xét mặt đáy tâm O như hình vẽ. Vì thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên chiều cao của hình trụ OO' = 2a = BC và OA = a. 

AB=2OA2-OM2=a3 

Diện tích thiết diện cần tính: AB.CD=2a23.


Câu 35:

Có bao nhiêu số có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Xem đáp án

Đáp án B.

Số cần lập có dạng abcd¯ trong đó a;b;c;d0;1;2;3;4;5;6; trong đó d = {0;5}.

TH1: d = 0 khi đó a,b,c có A63 cách chọn và sắp xếp.

TH2: d = 5 khi đó a,b,c có 5.5.4 a0 cách chọn và sắp xếp.

Theo quy tắc cộng có A63+5.5.4=220 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 36:

Số hạng không chứa x trong khai triển 2x-3x32n với x0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn3+2n=An+12 là

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có Cn3+2n=An+12n!n-3!.3!+2n=n+1!n-1!nn-1n-26+2n=n+1n 

n-1n-2+12=6n+1n2-9n+8=0[n=8n=1n=8. 

Khi đó 2x-3x316=k=016C16k2x16-k-3x3k=k=016C16k216-k-3kx16-43k. 

Số hạng không chứa x 16-43k=0k=12k=12a12=C161224(-3)12.


Câu 37:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ bên. Xét hàm số gx=fx3-2 Mệnh đề nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có g'x=x2-2'f'x2-2=2x.f'x2-2;x. 

Khi đó g'x<0x.f'x2-2<0[x<0f'x2-2>0x>0f'x2-2<0[x<0x2-2>2x>0x2-2<2[0<x<2x<-2. 

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng -;-2 và (0;2) khẳng định A là sai.


Câu 38:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh AB và α là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Diện tích thiết diện của mặt phẳng  với hình chóp S.ABCD là

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD MNABMQAB. 

Qua N kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SC tại P.

Suy ra thiết diện của mặt phẳng α và hình chóp là MNPQ.

Vì MQ là đường trung bình của hình tháng ABCD MQ=3a2.

MN là đường trung bình của tam giác SABMN=SA2=a

NP là đường trung bình của tam giác SBC NP=BC2=a2

Vậy diện tích hình thang MNPQ là SMNPQ=MN.NP+MQ2=a2a2+3a2=a2.


Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3), C(4;2;5). Biết điểm M(x0;y0;z0) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA+MB+MC  có giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tổng P=x0+y0+z0 bằng

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi C là trọng tâm của tam giác ABC G2;1;3 

Khi đó MA+MB+MC=3MG+GA+GB+GC0=3MG=3MG

Suy ra MGmin M là hình chiếu của G trên mp (Oxy) M2;1;0.


Câu 40:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=3x4-4x3-12x2+m có 5 điểm cực trị?

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt fx=3x4-4x3-12x2f'x=12x3-12x2-24x; x

Khi đó y=fx+my'=f'x.fx+mfx+m. Phương trình y'=0[f'x=0fx=-m (*). 

Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị y'=0 có 5 nghiệm phân biệt

Mà f'x=0 có 3 nghiệm phân biệt fx=-m có 2 nghiệm phân biệt.

Dựa vào BBT hàm số f(x) để (*) có 2 nghiệm phân biệt [-m>0-5>-m>-32[m<05<m<32. 

Kết hợp với m+ suy ra có tất cả 27 giá trị nguyên cần tìm.


Câu 41:

Cho hàm số f(x) xác định trên \-1;1 và thỏa mãn f'x=1x2-1. Biết f(-3) + f(3) = 0 và f-12+f12=2. Tính giá trị T=f-2+f0+f4.

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có fx=f'xdx=1x2-1dx=12lnx-1x+1+C

·     Với [x>1x<-1fx=12lnx-1x+1+C mà f-3+f3=02C+12ln12+12ln2=0C=0.

·     Với -1<x<1fx=12ln1-xx+1+C mà f-12+f12=22C+12ln13+12ln3=2C=1.

Vậy T=f-2+f0+f4=12ln-2-1-2+1+12ln1-00+1+1+12ln4-14+1=1+12ln95.


Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối SOB'D'=I

Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.

Tam giác SAC vuông tại A, có SC2=SA2+AC2=6a2SC=a6

Ta có BCSABBCAB' và SBAB'AB'SC

Tương tự AD'SC suy ra SC(AB'D')(AB'C'D')SCAC'.

Mà SC'.SC=SA2SC'SC=SA2SC2=23 và SB'SB=SA2SB2=45

Do đó VS.AB'C'=815VS.ABC=830VS.ABCD mà VS.ABCD=13.SA.SABCD=2a33

Vậy thể tích cần tính là VS.AB'C'D'=2.VS.AB'C'=16a345


Câu 43:

Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5cm, chiều dài 6cm. Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6cm x 5cm x 6cm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn?

Xem đáp án

Đáp án C.

Chiều dài viên phấn bằng với chiều dài của hộp carton bằng 6cm.

Đường kính đáy của viên phấn hình trụ bằng d = 1cm. 

TH1: Chiều cao của đáy hình hộp chữa nhật bằng với 5 lần đường kính đáy bằng 5cm.

Khi đó ta sẽ xếp được 4.6 = 30 viên phấn.

TH2: Chiều cao của đáy hình hộp chữ nhật bằng với 6 lần đường kính đáy bằng 6cm.

Khi đó ta cũng sẽ xếp được 6.5 = 30 viên phấn.

Vậy hộp phấn cần đẻ xếp 460 viên phấn là 16 hộp.


Câu 44:

Cho số phức thỏa mãn z1. Đặt A=2z-12+iz. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có A=2z-12+iz2A+Aiz=2z-i2A+i=2z-Aizz=2A+i2-Ai. 

Mà z12A+i2-Ai12A+i2-Ai12A+i2-Ai   (*).

Đặt A = x + yi, Khi đó (*) 2x+2y+1i2+y-xi4x2+2y+122+y2+x2

4x2+4y2+4y+1x2+y2+4y+4x2+y21A1.


Câu 46:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=1+sinx+1+cosx. Tính giá trị của M - m.

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: f2x=2+sinx+cosx+21+sinx1+cosx 

=2+sinx+cosx+21+sinx+cosx+sinxcosx 

Đặt t=sinx+cosx=2sinx+π4t-2;2

Suy ra sinxcosx=t2-12f2x=2+t+21+t+t2-12=2+t+2t2+2t+1

ft=t+2+2t+1=t+2+2t+1 khi t-1t+2-2t+1 khi t<-1=1+2t+2+2 khi t-11-2t+2-2 khi t<-1 

Từ đó suy ra 1f2x4+22fx4+22M-m=4+22-1.


Câu 47:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016;0;0) tới mặt phẳng (P).

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC. Từ D kẻ đường  thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB). Và cắt mặt phẳng trung trực của OC tại II là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy ra z1=c2

Ta có SOAD=12.SOAB=14.ab=12.DE.OADE=b2

Tương tự DF=a2x1=a2,y=b2Ia2;b2;c2

Suy ra x1+y1+z1=a+b+c2=1IP:x+y+z-1=0

Vậy khoảng cách từ điểm M dến (P) bằng d=20153.


Câu 48:

Cho số phức z thỏa mãn z-3-4i=5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+22-z-i2. Tính môđun của số phức w = M + mi ?

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt z=x+yix,y suy ra tập hợp các điểm M(z) = (x,y) là đường tròn (C) có tâm I(3;4) và bán kính R=5

Ta có P=z+22-z-i2=x+2+yi2-x+y-1i2=x+22+y2-x2-y-12 

=x2+y2+4x+4-x2-y2+2y-1=4x+2y+3:4x+2y+3-P=0

Ta cần tìm P sao cho đường thẳng  và đường tròn (C) có điểm chung dI;R

4.3+2.4+3-P42+22523-P10-1023-P1013P33. 

Do đó, maxP=33minP=13w=M+mi=33+13iw=1258.


Câu 49:

Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa 01fxdx=01x+1exfxdx=e2-14 và f(1) = 0. Tính 01fxdx.

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt u=f(x)dv=x+1exdxdu=f'xdxv=xex, khi đó 01x+1ex.fxdx

=xex.fx01-01xex.f'xdx

=e.f1-01xex.f'xdx01xex.f'xdx=-01x+1ex.fxdx=1-e24

Xét tích phân 01f'x+k.xex2dx=01f'x2dx+2k.01xex.f'xdx+k2.01x2e2xdx=0 

e2-14+2k.1-e24+k2.e2-14=0k2-2k+1=0k=1f'x=-x.ex. 

Do đó fx=f'xdx=-x.exdx=1-xex+C mà f1=0C=0

Vậy I=01f(x)dx=01(1-x)exdxcasioI=e-2.


Câu 50:

Một công ty mỹ phẩm chiết xuất 1m3 hoạt chất đặc biệt và họ sử dụng nó để sản suất ra một sản phẩm kem dưỡng da mới với thiết kế hộp là một khối cầu có đường kính 108 cm bên trong hộp là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ). Để thu hút khác hàng công ty đã thiết kế khối trụ có thể tích lớn nhất để đựng kem dưỡng da. Hỏi với 1m3 hoạt chất đặc biệt trên, công ty đó sản xuất được tối đa bao nhiêu hộp sản phẩm, biết rằng trong kem dưỡng da chỉ chứa 0,3% hoạt chất đặc biệt trên ?

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của khối trụ.

Vì 2 x khối trụ nội tiếp khối cầu suy ra R2=r2+h2r2+h2=27. 

Thể tích của khối trụ là V=πr2h=π.h27-h2fh=27h-h3

Khảo sát hàm số fh GTLN của f(h) là 54 khi h = 3. 

Suy ra thể tích lớn nhất của khối trụ là V=54π cm3

Số hoạt chất đặc biệt cần dùng để làm kem dưỡng da là 0,3%.54π=0,509 cm3

Vậy số hộp kem tối đa mà công ty sản xuất được là 1.10030,5091964875 hộp.


Bắt đầu thi ngay