Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 1
-
3473 lượt thi
-
51 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Thể tích khối nón có bán kính bằng 2a và chiều cao bằng 3a là:
Đáp án B
Thể tích khối nón là
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có . Thể tích khối nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC là:
Đáp án C
Bán kính đáy hình nón là a, chiều cao hình nón là
Câu 5:
Số hạng chính giữa trong khai triển là
Đáp án A
Số hạng chính giữa trong khai triển là
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AD. Gọi M là trung điểm của SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án B
Gọi và khi đó giao điểm của SB và (MCD) là N. Dễ thấy MN và CD cắt nhau
Câu 8:
Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0) và t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?
Đáp án D
Câu 9:
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, .Tính theo a thể tích khối trụ ABC.A'B'C'
Đáp án D
Câu 10:
Cho các số tự nhiên n, k thỏa mãn . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng.
Đáp án C
Câu 11:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Gọi G là trọng tâm Khi đó, giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng
Đáp án C
Do 4 điểm A, M, G, N cùng thuộc mặt phẳng (AND) khi đó MG cắt AN suy ra giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN
Câu 12:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là một tứ giác (AB không song song CD). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB, O là giao điểm của AC và BD. Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau
Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta thấy 2 đường thẳng MN và SO cắt nhau. Các cặp đường thẳng (SO;AD),(MN;SC),(SA;BC) chéo nhau
Câu 13:
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-3;3] là
Đáp án D
So sánh
.
Câu 14:
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân
Đáp án C
Cấp số nhân có công thức truy hồi dạng
Dãy số là CSN với và công sai q = 3.
Câu 15:
Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
Đáp án B
Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn f(x) = f(-x)
Xét hàm số
Do đó f(x) = f(-x)
Câu 16:
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm . Tìm mệnh đề đúng
Đáp án D
Gọi M và N lần lượt là trung điểm BD và BC khi đó
Mặt khác MN là đường trung bình của tam giác BCD do đó MN // CD do đó IJ // CD.
Câu 19:
Cho cấp số cộng có Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
Đáp án B
Ta có:
Suy ra
Câu 20:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là trung điểm của cạnh SA, F, G là các điểm thuộc cạnh SC, AB (F không là trung điểm của SC). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFG) là:
Đáp án C
Kẻ EG cắt SB tại I, nối FI cắt BC tại M.
Kẻ GM cắt CD tại H, nối FH cắt SD tại N
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác GMFNE (hình vẽ bên)
Câu 21:
Cho hàm số có đồ thị (C) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Đáp án B
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là x = -1;y = -4
Câu 22:
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ
Đáp án D
Chọn ngẫu nhiên 2 người có cách
Gọi A là biến cố: 2 người được chọn đều là nữ
Ta có Do đó sác xuất cần tìm là
Câu 23:
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt
Đáp án D
Đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hình vẽ qua trục hoành
Phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt khi 3 < m < 4
Câu 24:
Cho hình trụ có đường kính đáy là 8, đường sinh 10. Thể tích khối trụ là:
Đáp án B
Bán kính đáy là 4, chiều cao hình trụ là 10, thể tích khối trụ là
Câu 25:
Cho hàm số Mệnh đề nào dưới đây sai?
Đáp án A
Ta có
Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng và
Do đó A sai
Câu 26:
Cho a, b là các số thực dương, thỏa mãn và Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án B
Ta có
Mặt khác
Câu 27:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-2;-1) và có . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Đáp án C
nên đồ thị hàm số có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng là x = -1
Câu 28:
Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đáp án A
Hàm số xác định và nghịch biến trên. Tập giá trị của hàm số là . Đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.
Câu 30:
Tìm tất cả các giả trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số và đồ thị của hàm số y = 2x - 2 có 3 điểm chung phân biệt
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm
Hai đồ thị có 3 điểm chung có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Câu 31:
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cận tại A,AB=AC=2a, góc giữa (A'BC) và (ABC) là Thể tích lăng trụ là
Đáp án B
Kẻ
Mà
Câu 34:
Cho hàm số có đồ thị như hĩnh vẽ sau
Tính S = a + b
Đáp án C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua 2 điểm cực trị A(0;2),B(2;-2)
Điểm A(0;2) là điểm cực đại suy ra
Điểm B(2;-2) là điểm cực đại suy ra
Từ (1),(2) suy ra a = 1,b = -3,c = 0,d = 2 Vậy tổng a + b = 1 - 3 = -2.
Câu 35:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Đáp án B
Gọi H là trung diểm của BC suy ra
Mà nên theo định lí Sin, ta có
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là
Câu 36:
Cho hàm số . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
Đáp án B
Ta có Hàm số f(x) liên tục trên
Câu 37:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng với . Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD).
Đáp án A
Ta có
Do đó
Ta có trong đó .
Câu 38:
Bổ dọc một quả dưa hấu ta được tiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 31000cm dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)
Đáp án A
Xét hình elip có trục lớn là 28 cm suy ra
Và có trục nhỏ là 25 cm suy ra
Vậy thể tích của quả dưa hấu bằng thể tích khối tròn xoay quanh khi quay elip xung quanh trục lớn khi đặt quả dưa hấu nằm ngang, do đó thể tích
Vậy số tiền từ việc bán nước sinh tố là đồng
Câu 39:
Cho dãy số với , a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số là một dãy số tăng
Đáp án C
Để dãy số tăng thì
Câu 40:
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Đáp án B
Điều kiện: x > 0 Đặt khi đó phương trình trở thành
Để phương trình có có hai nghiệm có 2 nghiệm phân biệt
Khi đó, gọi là hai nghiệm phân biệt của (*) theo hệ thức Viet, ta có
Theo bài ra, có
Đối chiếu điều kiện suy ra m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 41:
Cho hàm số xác định và có đạo hàm . Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số . Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số
Đáp án B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số
không đổi dấu khi đi qua điểm x = -2 nên x = -2 không phải điểm cực trị
Câu 42:
Cho hàm số xác định và có đạo hàm . Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số . Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số
Đáp án B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số
không đổi dấu khi đi qua điểm x = -2 nên x = -2 không phải điểm cực trị
Câu 43:
Một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể tích 2dm3. Nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy thêm dm thì thể tích của hộp giấy là 16dm3. Hỏi nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy ban đầu lên dm thì thể tích hộp giấy mới là:
Đáp án B
Thể tích hình hộp chữ nhật (với a, b, c là các kích thức dài, rộng và chiều cao của khối hộp)
Thể tích khối hộp khi tăng mỗi cạnh lên dm là
Mặt khác theo BĐT AM-GM ta có:
Tương tự ta có:
Dấu bằng xảy ra . Do đó .
Câu 44:
Xét các mệnh đề sau
(1). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang
(2). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng
(3). Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.
Số mệnh đề đúng là:
Đáp án D
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang
Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là x = 0
Mặt khác nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang
Xét hàm số suy ra đồ thị không có tiệm cận đứng. Do đó có 1 mệnh đề đúng
Câu 45:
Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét 4 mệnh đề sau
(1) Hàm số đạt cực đại tại
(2) Hàm số có ba cực trị.
(3) Phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt
(4) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -2 trên đoạn [-2;2]
Hỏi trong 4 mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Đáp án D
Hàm số đạt cực tiểu tại
Hàm số có ba điểm cực trị.
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -2 trên đoạn [-2;2]
Câu 46:
Cho và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó giá trị của gần giá trị nào nhất
Đáp án A
Đặt với
Khi đó
Xét hàm số trên đoạn [-1;2] ta có:
Tính các giá trị
Vậy giá trị lớn nhất của f(t) là và giá trị nhỏ nhất của f(t) là
Do đó
Câu 47:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là điểm trên đường chéo CA’ sao cho Tính tỉ số giữa thể tích của khối chóp M.ABCD và thể tích của khối lập phương?
Đáp án D
Do
Ta có
Câu 48:
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S) có một đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là . Tính h để khối trụ (T) có giá trị lớn nhất
Đáp án B
Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ nội tiếp mặt cầu lần lượt là h, r
Ta có tâm mặt cầu là trung tâm của đường nối 2 tâm các đường tròn đáy của hình trụ
Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là
Thể tích khối trụ là
Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số nguyên dương, ta có
Nên
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Câu 49:
Kể từ năm 2017 giả sử mức lạm phát ở nước ta với chu kỳ 3 năm là 12%. Năm 2017 một ngôi nhà ở thành phố X có giá là 1 tỷ đồng. Một người ra trường đi làm vào ngày 1/1/2017 với mức lương khởi điểm là P triệu đồng/ 1 tháng và cứ sau 3 năm lại được tặng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng là 50% của lương. Với P bằng bao nhiêu thì sau đúng 21 năm đi làm anh ta mua được nhà ở thành phố X, biết rằng mức lạm phát và mức tăng lương không đổi. (kết quả quy tròn đến chữ số hàng đơn vị)
Đáp án B
Gía trị ngôi nhà sau 21 năm là đồng
Lương của người đó sau 3 năm đầu là 36P triệu đồng và số tiền tiết kiệm được là 18.P triệu đồng
Lương của người đó sau 3 năm tiếp theo là
triệu đồng và số tiền tiết kiệm được là triệu đồng
Khi đó, sau 21 năm số tiền người đó tiết kiệm được là triệu đồng cũng chính là số tiền dùng để mua nhà. Vậy đồng
Câu 50:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là
Đáp án D
Gọi P là hình chiếu của N xuống BK
Khi quay tứ giác ANPB quanh trục BC ta được khối trụ có thể tích
Lại có suy ra
Khi quay tam giác NKP quanh trục BC ta được khối nón có thể tích do đó
Câu 51:
Cho hình cầu (O;R) hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cách đều O, đồng thời cắt khối cầu thành ba phần sao cho thể tích phần nằm giữa hai mặt phẳng bằng thể tích khối cầu .Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
Đáp án C
Ta có công thức chỏm hình cầu bán kính R và chiều cao h là:
Vò 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cách đều O nên thể tích phần giữa và thể tích khối cầu được tính là
Khoảng cách giữa (P) và (Q) là .