Thứ năm, 14/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ THI THỬ THPT QUỐC GIA Toán Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 1

  • 3434 lượt thi

  • 51 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Thể tích khối nón có bán kính bằng 2a và chiều cao bằng 3a là:

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích khối nón là V=13π2a3.3a=4πa3


Câu 2:

Phương trình 2cos2x+cosx-3=0 có nghiệm là

Xem đáp án

Đáp án B

2cos2x+cosx-3=0[cosx=1cosx=-32x=k2π k


Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=a,BC=a10. Thể tích khối nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC là:

Xem đáp án

Đáp án C

Bán kính đáy hình nón là a, chiều cao hình nón là

h=10a2-a2=3aV=13πa2.3a=πa3


Câu 4:

Tính P=log216+log1464.log22

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có P=log216+log1464.log22=4-2log464=4-3.2=-2


Câu 5:

Số hạng chính giữa trong khai triển 3x+2y4 là

Xem đáp án

Đáp án A

Số hạng chính giữa trong khai triển 3x+2y4 là C42.3x2.2y2=36C42x2y2


Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AD. Gọi M là trung điểm của SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD) Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi I=ABCD và N=SBMI khi đó giao điểm của SB và (MCD) là N. Dễ thấy MN và CD cắt nhau


Câu 7:

Tính giới hạn M=limx-1x3+1x+1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có M=limx-1x+1x2-x+1x+1=limx-1x2-x+1x+1=3


Câu 10:

Cho các số tự nhiên n, k thỏa mãn 0kn. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng.

Xem đáp án

Đáp án C

Ank=n!n-k!; Cn+1k=Cn+1n+1-k; Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1; Pn=n!


Câu 11:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Gọi G là trọng tâm BCD Khi đó, giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng

Xem đáp án

Đáp án C

Do 4 điểm A, M, G, N cùng thuộc mặt phẳng (AND) khi đó MG cắt AN suy ra giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN


Câu 12:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là một tứ giác (AB không song song CD). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB, O là giao điểm của AC và BD. Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào hình vẽ, ta thấy 2 đường thẳng MN và SO cắt nhau. Các cặp đường thẳng (SO;AD),(MN;SC),(SA;BC) chéo nhau


Câu 13:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=2x3-3x2-12x+10 trên đoạn [-3;3] là

Xem đáp án

Đáp án D

fx=2x3-3x2-12x+10f'x=6x2-6x-12x=-1;x=2

So sánh f-3=-35,f-1=17,f2=-10,f3=1

max[-3;3]fx=17;min[-3;3]fx=-35.


Câu 14:

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân

Xem đáp án

Đáp án C

Cấp số nhân có công thức truy hồi dạng u1=aun+1=q.un

Dãy số u1=-1un+1=3unlà CSN với u1=-1 và công sai q = 3.


Câu 15:

Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn f(x) = f(-x) 

Xét hàm số

y=f(x)=cosx-sin4x+2017f-x=cos(-x)-sin4(-x)+2017=cosx-sin4x+2017

Do đó f(x) = f(-x)


Câu 16:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm ABD,ABC. Tìm mệnh đề đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M và N lần lượt là trung điểm BD và BC khi đó AIAM=AJAN=23IJ//MN 

Mặt khác MN là đường trung bình của tam giác BCD do đó MN // CD  do đó IJ // CD.


Câu 17:

Cấp số cộng un có u1+u3=82u2+3u4=32. Khi đó, số hạng đầu tiên là

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có u1+u3=2u2u2=4u4=8d=u4-u22=2u1=u2-d=2


Câu 18:

Giải phương trình 4+152x2-5x=4-156-2x

Xem đáp án

Đáp án A

4+152x2-5x=4-156-2x4+152x2-5x=4+152x-62x2-5x=2x-62x2-7x+6=0x{2;1;5}


Câu 19:

Cho cấp số cộng có u4=-12,d=3 Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: u4=u1+3du1=u4-3d=-12-3.3=-21

Suy ra S16=16.u1+16.152d=16.-21+16.152.3=24


Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là trung điểm của cạnh SA, F, G là các điểm thuộc cạnh SC, AB (F không là trung điểm của SC). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFG) là:

Xem đáp án

Đáp án C

Kẻ EG cắt SB tại I, nối FI cắt BC tại M.

Kẻ GM cắt CD tại H, nối FH cắt SD tại N

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác GMFNE (hình vẽ bên)


Câu 21:

Cho hàm số y=3-4xx+1 có đồ thị (C) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là x = -1;y = -4


Câu 22:

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ

Xem đáp án

Đáp án D

Chọn ngẫu nhiên 2 người có Ω=C102 cách

Gọi A là biến cố: 2 người được chọn đều là nữ

Ta có ΩA=C32 Do đó sác xuất cần tìm là PA=C32C102=115


Câu 23:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình fx=m có 6 nghiệm thực phân biệt

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số y=fx đối xứng với đồ thị hình vẽ qua trục hoành

Phương trình fx=m có 6 nghiệm thực phân biệt khi 3 < m < 4


Câu 24:

Cho hình trụ có đường kính đáy là 8, đường sinh 10. Thể tích khối trụ là:

Xem đáp án

Đáp án B

Bán kính đáy là 4, chiều cao hình trụ là 10, thể tích khối trụ là π42.10=160π


Câu 25:

Cho hàm số y=fx=-2x3+3x2+12x-5 Mệnh đề nào dưới đây sai?

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có y'=-6x2+6x+12=-6x+1x-2 

Hàm số đồng biến trên khoảng -1;2 và nghịch biến trên khoảng -;-12;+ 

Do đó A sai


Câu 26:

Cho a, b là các số thực dương, thỏa mãn a34>a43 và logb12<logb23 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có a34>a430<a<1(do34<43)

Mặt khác logb12<logb23b>1(do23>12)


Câu 27:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-2;-1) và có limx2-f(x)=2,limx1-f(x)=-. Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

limx2-f(x)=2,limx1-f(x)=- nên đồ thị hàm số có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng là x = -1


Câu 28:

Cho hàm số y=110x. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số y=110x xác định và nghịch biến trên. Tập giá trị của hàm số là (0;+). Đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.


Câu 29:

Tìm số hạng chứa x4 trong khai triển x3-3x12

Xem đáp án

Đáp án A

x3-3x12=k=012C12k.x312-k.-3xk=k=012C12k.x12-2k.32k-12-1k

Tìm số hạng chứa x4 ứng với 12-2k=4k=4


Câu 30:

Tìm tất cả các giả trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=x3-3x2+m+2x-m và đồ thị của hàm số y = 2x - 2 có 3 điểm chung phân biệt

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm 

x3-3x2+m+2x-m=2x-2x3-3x2+mx-m+2=0x-1x2-2x-2+mx-1=0x-1x2-2x-2+m=0[x=1gx=x2-2x-2+m=0

 Hai đồ thị có 3 điểm chung gx có 2 nghiệm phân biệt khác 1

'=3-m>0g1=-3+m0m<3


Câu 31:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cận tại A,AB=AC=2a,CAB^=120° góc giữa (A'BC) và (ABC) là 45° Thể tích lăng trụ là

Xem đáp án

Đáp án B

Kẻ APBC(PBC)A'PA^=45°AA'=AP 

cos60°=APAB=12AP=aAA'=a 

V=A'A.SABC=a.1a.sin120°=a33


Câu 32:

Cho m=log220.  Tính log205 theo m được

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

log220.log205=log25=log2204=log220-log24=log220-2log205=log220-2log220=m-2m


Câu 33:

Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d Biết fx+1=x3+3x2+3x+2 hãy xác định biểu thức f(x)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có fx+1=x3+3x2+3x+2=x+13+1fx=x3+1


Câu 34:

Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hĩnh vẽ sau

Tính S = a + b

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua 2 điểm cực trị A(0;2),B(2;-2) 

Điểm A(0;2) là điểm cực đại suy ra y'0=0y'0=2c=0d=2(1) 

Điểm B(2;-2) là điểm cực đại suy ra y'(2)=0y'(2)=-212a+4b+c=08a+4b+2c+d=-2(2)

Từ (1),(2) suy ra a = 1,b = -3,c = 0,d = 2 Vậy tổng a + b = 1 - 3 = -2.


Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC),SA=2a tam giác ABC cân tại A, BC=2a2,cosACB^=13. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là trung diểm của BC suy ra cosACB^=sinHAB^=13cosHAB^=223 

sinBAC^=2sinHAB^.cosHAB^=429 nên theo định lí Sin, ta có RABC=BC2sinBAC^=94 

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R=R2ABC+SA24=a974 

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là S=4πR2=4πa9742=97πa24


Câu 36:

Cho hàm số fx=x2-1x+1 khi x-1-2      khi x=-1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có limx-1x2-1x+1=limx-1x-1x+1x+1=limx-1x-1=-2=f-1 Hàm số f(x) liên tục trên 


Câu 37:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng α với tanα=105. Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD).

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có CBABCBSACB(SAB) 

Do đó SC;SAB^=CSB^=α 

SB=atanα=5a10SA=SB2-AB2=a62

Ta có SO;ABCD^=SOA^ trong đó tanSCA^=SAOA=a62a22=3.


Câu 38:

Bổ dọc một quả dưa hấu ta được tiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 31000cm dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hình elip có trục lớn là 28 cm suy ra 2a=28a=14cm 

Và có trục nhỏ là 25 cm suy ra 2b=25b=5cm 

Vậy thể tích  của quả dưa hấu bằng thể tích khối tròn xoay quanh khi quay elip xung quanh trục lớn khi đặt quả dưa hấu nằm ngang, do đó thể tích

V=43πab2=43π.14.12,52=87503π cm3 

Vậy số tiền từ việc bán nước sinh tố là T=V1000.20,000=183,000 đồng


Câu 39:

Cho dãy số un với un=an+2n+1, a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số  là một dãy số tăng

Xem đáp án

Đáp án C

Để dãy số tăng thì

un+1-un=an+1+2n+1+1-an+2n+1=a-1n+2n+1>0 na-2>0a>2


Câu 40:

Tìm m để phương trình log32x-m+2log3x+3m-1=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1x2=27

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: x > 0 Đặt t=log3x khi đó phương trình trở thành t2-m+2t+3m-1=0 (*)

Để phương trình có có hai nghiệm * có 2 nghiệm phân biệt =m+22-4.3m-1>0

Khi đó, gọi t1,t2 là hai nghiệm phân biệt của (*) theo hệ thức Viet, ta có t1+t2=m+2t1t2=3m-1 

Theo bài ra, có

x1x2=27log3x1x2=log327log3x1+log3x2=3t1+t2=3m=1 

Đối chiếu điều kiện m+22-43m-1>0 suy ra m = 1 là giá trị cần tìm.


Câu 41:

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số f(x)

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) 

f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -2 nên x = -2 không phải điểm cực trị


Câu 42:

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số f(x)

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) 

f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -2 nên x = -2 không phải điểm cực trị


Câu 43:

Một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể tích 2dm3. Nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy thêm 23dm thì thể tích của hộp giấy là 16dm3. Hỏi nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy ban đầu lên 223dm thì thể tích hộp giấy mới là:

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích hình hộp chữ nhật V=abc=2 (với a, b, c là các kích thức dài, rộng và chiều cao của khối hộp)

Thể tích khối hộp khi tăng mỗi cạnh lên 23dm là V2=a+23b+23c+23=16 

Mặt khác theo BĐT AM-GM ta có: a+23a.23

Tương tự ta có: V2=a+23b+23c+238abc.2.2.23=16

Dấu bằng xảy ra a=b=c=23. Do đó V2=a+23b+23c+23=54.


Câu 44:

Xét các mệnh đề sau

(1). Đồ thị hàm số y=12x-3 có hai đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang

(2). Đồ thị hàm số y=x+x2+x+1x  có hai đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng

(3). Đồ thị hàm số y=x-2x-1x2-1 có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.

Số mệnh đề đúng là:

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số y=12x-3 có hai đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang

Đồ thị hàm số y=x+x2+x+1x  có 1 tiệm cận đứng là x = 0 

Mặt khác limx+y=x+x2+x+1x=limx+x+x+1x+1x2x=0 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang

Xét hàm số y=x-2x-1x2-1=x-2x-1x+2x-1x2-1=x-1x+2x-1x-1x>12 suy ra đồ thị không có tiệm cận đứng. Do đó có 1 mệnh đề đúng


Câu 46:

Cho a19;3 và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=9log133a3-log13a3+1. Khi đó giá trị của A=5m+3M gần giá trị nào nhất

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt t=log13a với a19;3t-1;2.

Khi đó P=9log133a3-log13a3+1=13log13a3-3log13a+1P=f(t)=t33-3t+1

Xét hàm số ft=t33-3t+1 trên đoạn [-1;2] ta có:

f't=t2-3;f't=0t2=3-1t2t=3 

Tính các giá trị f-1=113;f2=-73;f3=1-23 

 

Vậy giá trị lớn nhất của f(t) là f-1=113 và giá trị nhỏ nhất của f(t) là f3=1-23 

Do đó 3M+5m=3.113+51-23=16-103=-1,32


Câu 48:

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S) có một đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h(h>0). Tính h để khối trụ (T) có giá trị lớn nhất

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ nội tiếp mặt cầu lần lượt là h, r

Ta có tâm mặt cầu là trung tâm của đường nối 2 tâm các đường tròn đáy của hình trụ

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là R2=r2+h24 

Thể tích khối trụ là V=πr2h=π44R2-h2.h 

Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số nguyên dương, ta có

4R2-h24R2-h22h24R2-h2+4R2-h2+2h2327

Nên  4R2-h2.h2256R627Vπ44R2-h2h4π39R3 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4R2-h2=2h2h=2R33.


Câu 49:

Kể từ năm 2017 giả sử mức lạm phát ở nước ta với chu kỳ 3 năm là 12%. Năm 2017 một ngôi nhà ở thành phố X có giá là 1 tỷ đồng. Một người ra trường đi làm vào ngày 1/1/2017 với mức lương khởi điểm là P triệu đồng/ 1 tháng và cứ sau 3 năm lại được tặng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng là 50% của lương. Với P bằng bao nhiêu thì sau đúng 21 năm đi làm anh ta mua được nhà ở thành phố X, biết rằng mức lạm phát và mức tăng lương không đổi. (kết quả quy tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Xem đáp án

Đáp án B

Gía trị ngôi nhà sau 21 năm là Tn=1.1+12%6.109 đồng

Lương của người đó sau 3 năm đầu là 36P triệu đồng và số tiền tiết kiệm được là 18.P triệu đồng

Lương của người đó sau 3 năm tiếp theo là

361+10%+10%.P1+10%=36.P1+10%2 triệu đồng và số tiền tiết kiệm được là 18P.1+10%2 triệu đồng

Khi đó, sau 21 năm số tiền người đó tiết kiệm được là 18P.1+10%6 triệu đồng cũng chính là số tiền dùng để mua nhà. Vậy 18.P(1+1,1+1,12+...+1,16)=TnP=11 558 431 đồng


Câu 50:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi P là hình chiếu của N xuống BK

Khi quay tứ giác ANPB quanh trục BC ta được khối trụ có thể tích V1=πAB2.BP=2a3π3 

Lại có BP=23a;NP=a suy ra PK=NP2BP=3a2 

Khi quay tam giác NKP quanh trục BC ta được khối nón có thể tích do đó V=V1+V2=76πa3


Câu 51:

Cho hình cầu (O;R) hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cách đều O, đồng thời cắt khối cầu thành ba phần sao cho thể tích phần nằm giữa hai mặt phẳng bằng 1327 thể tích khối cầu .Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có công thức chỏm hình cầu bán kính R và chiều cao h là: V=πh2R-h3 

Vò 2 mặt phẳng (P)  và (Q) song song với nhau, cách đều O nên thể tích phần giữa và thể tích khối cầu được tính là V1Vc=4πR33-2πh2R-h34πR33=13271427=3h22R2-h32R3hR=23 vì 0<h<R 

Khoảng cách giữa (P)  và (Q) là 2R-2h=2R3.


Bắt đầu thi ngay