50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 15

Câu 1:

Đồ thị của hàm số $y = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ đạt cực tiểu tại $M (x_{1}; y_{1})$ . Tính tổng $x_{1} + y_{1}$

A. 5

B. -11

C. 7

D. 6

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Lại có $y'' = 36 x^{2} - 24 x - 12 \Rightarrow \{\begin{cases} y " (1) = 0 \\ y " (- 1) > 0 \end{cases}$

$\Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1 \Rightarrow x_{1} = - 1 \Rightarrow y_{1} = - 10 \Rightarrow x_{1} + y_{1} = - 11$

Câu 2:

Cho hàm số y = f(x) có $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 3$ và $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 3$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiện cận ngang

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 3 và x = -3

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 3 và y = -3

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

Xem đáp án

Đáp án C

Từ $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 3$ ta được (C) có một tiệm cận ngang là y = 3

Từ $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 3$ ta được (C) có một tiệm cận ngang là y = -3

Câu 3:

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa đọ biễu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: $2 |2 - i| = |z - \bar{z} + 2 i|$ là hình gì?

A. Một đường thẳng.

B. Một đường Parabol

C. Một đường Elip

D. Một đường tròn

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử $z = a + b i (a, b \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = a - b i$

Ta có $z - \bar{z} + 2 i = a + b i - (a - b i) + 2 i \Rightarrow |z - \bar{z} + 2 i| = |2 b + 2|$

Do đó giả thiết viết tại $2 \sqrt{5} = |2 b + 2|$ suy ra quỹ tích là đường thẳng.

Câu 4:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 3 x + 2) \geq - 1$

A. $(- \infty; 1]$

B. $[0; 1) \cup (2; 3]$

C. $[0; 2) \cup (3; 7]$

D. [0;2)

Xem đáp án

Đáp án B

BPT $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 3 x + 2 > 0 \\ x^{2} - 3 x + 2 \leq {(\frac{1}{2})}^{- 1} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 1 \end{array} \\ 0 \leq x \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 < x \leq 3 \\ 0 \leq x < 1 \end{array}$

Câu 5:

Cho số phức z = 3 -2i. Tìm phần ảo của số phức liên hợp của z?

A. 2i

B. -2i

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\bar{z} = 3 + 2 i$ .

Câu 6:

Hình đa diện đều có tất cả các mặt là ngũ giác có bao nhiêu cạnh?

A. 60

B. 20

C. 12

D. 30

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 7:

Biết F(x) là nguyên hàm của $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ và F(2) = 1. Tính $F (3)$

A. ln2 + 1

B. $\frac{1}{2}$

C. $\ln \frac{3}{2}$

D. ln2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\int_{2}^{3} f (x) d x = F (3) - F (2) \Leftrightarrow \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 1} d x = {\ln |x - 1|}_{2}^{3} = \ln 2 = F (3) - 1 \Rightarrow F (3) = 1 + \ln 2$ .

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1;2;-3) đến mặt phẳng (P):x + 2y - 2z - 2 = 0

A. 1

B. $\frac{11}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $d (M; (P)) = \frac{|1 + 4 + 6 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3$ .

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}$

A. 45 $°$

B. 30 $°$

C. 60 $°$

D. 90 $°$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{u_{1}} = (1; - 1; 2); \vec{u_{2}} = (- 1; 1; 1)$

Khi đó $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|- 1 - 1 + 2|}{\sqrt{6} . \sqrt{3}} = 0 \Rightarrow \hat{(d_{1}; d_{2})} = 90 °$ .

Câu 10:

Biết rằng khi quay một đường tròn có bán kính bằng 1 quanh đường kính của nó thì ta được một mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó.

A. $4 π$

B. $\frac{4}{3} π$

C. $2 π$

D. $π$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $R_{(C)} = 1 \Rightarrow S_{(C)} = 4 {πR}^{2} = 4 π$ .

Câu 11:

Một người mỗi tháng gửi tiền đều đặn vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số tiền sau đây?

A. 535.000

B. 635.000

C. 613.000

D. 643.000

Xem đáp án

Đáp án B

Số tiền thu được sau tháng thứ nhất là $T_{1} = T {(1 + r)}^{1}$

Số tiền thu được sau tháng thứ 2 là $T_{2} = T_{1} (1 + r) + T (1 + r) = T {(1 + r)}^{2} + T (1 + r)$

Do vậy sau 15 tháng số tiền thu được là $T {(1 + r)}^{15} + T {(1 + r)}^{14} + . . . + T (1 + r)$

$= T (1 + r) . \frac{{(1 + r)}^{15} - 1}{(1 + r) - 1} = 10.000.000 \Rightarrow T = 635.301$ .

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3;2;4) gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên Ox,Oy,Oz. Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (ABC)?

A. 4x - 6y - 3z + 12 = 0

B. 3x - 6y - 4z + 12 = 0

C. 4x - 6y - 3z - 12 = 0

D. 6x - 4y - 3z - 12 = 0

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: A(-3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)

Suy ra $(A B C) : \frac{x}{- 3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$ hay 4x - 6y - 3z + 12 = 0

Do vậy mặt phẳng 4x - 6y - 3z + 12 = 0 song song với mặt phẳng (ABC)

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3}$ và vuông góc với mặt phẳng (Q):2x + y - z = 0

A. x + 2y + z = 0

B. x - 2y - 1 = 0

C. x + 2y - 1 = 0

D. x - 2y + z = 0

Xem đáp án

Đáp án B

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\vec{u_{d}} = (2; 1; 3)$ đi qua điểm M(1;0;-1)

Ta có $\vec{n_{P}} = [\vec{u_{d}}; \vec{n_{Q}}] = (- 4; 8; 0)$ mà (P) qua $M (1; 0; - 1) \Rightarrow (P) : x - 2 y - 1 = 0$ .

Câu 14:

Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian t là $a (t) = 3 t + t^{2}$ . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

A. $\frac{3400}{3} k m$

B. $\frac{4300}{3} k m$

C. $\frac{130}{3} k m$

D. $130 k m$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $v (t) = \int a (t) d t = \frac{3}{2} t^{2} + \frac{1}{3} t^{3} + C$ do vật chuyển động với vận tốc 10m/s mới tăng tốc nên $C = 10 \Rightarrow S = \int_{0}^{10} (\frac{3}{2} t^{2} + \frac{1}{3} t^{3} + 10) d t = \frac{4300}{3}$

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 6 y - 4 z - 2 = 0$ mặt phẳng $(α) : x + 4 y + z - 11 = 0$ . Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với (a), (P) song song với giá của véctơ $\vec{v} = (1; 6; 2)$ và (P) tiếp xúc với (S). Lập phương trình mặt phẳng (P).

A. 2x - y + 2z - 2 = 0 và x - 2y + z - 21 = 0

B. x - 2y + 2z + 3 = 0 và x - 2y + z - 21 = 0

C. 2x - y + 2z + 3 = 0 và 2x - y + 2z - 21 = 0

D. 2x - y + 2z + 5 = 0 và 2x - y + 2z - 2 = 0

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\vec{n_{(P)}} = [\vec{n_{(α)}}; \vec{n_{(P)}}] = (2; - 1; 2) \Rightarrow (P) : 2 x - y + 2 z + D = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; - 3; 2); R = 4 \Rightarrow d (I; (P)) = 4 \Leftrightarrow \frac{|9 + D|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} D = 3 \\ D = - 21 \end{array}$

Câu 16:

Biết $\int_{0}^{2} 2 x \ln (x + 1) d x = a \ln b$ với $a, b \in ℕ *$ và b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b.

A. 33

B. 25

C. 42

D. 39

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln (x + 1) \\ d v = 2 x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x + 1} \\ v = x^{2} \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{2} 2 x \ln (x + 1) d x = {[x^{2} \ln (x + 1)]}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

${[x^{2} \ln (x + 1)]}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} (x - 1 + \frac{1}{x + 1}) d x = {[x^{2} \ln (x + 1)]}_{0}^{2} - {[\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (x + 1)]}_{0}^{2} = 3 \ln 3 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 3 \end{cases}$ $\Rightarrow 6 a + 7 b = 39$ .

Câu 17:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4 n + 6$ . Hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ của khai triển biểu thức $P (x) = {(x^{2} + \frac{3}{x})}^{n}$ bằng:

A. 18564

B. 64152

C. 192456

D. 194256

Xem đáp án

Đáp án C

Do $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4 n + 6 \Rightarrow n (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2} + n + 4 n + 6 \Leftrightarrow n (n - 1) = 10 n + 12 \Rightarrow n = 12$

Số hạng tổng quát của khai triển $P (x) = {(x^{2} + \frac{3}{x})}^{n}$ là:

$C_{12}^{k} . {(x^{2})}^{k} . {(\frac{3}{x})}^{12 - k} = C_{12}^{k} . x^{2 k} . 3^{12 - k} . x^{k - 12} = C_{12}^{k} . x^{3 k - 12} . 3^{12 - k}$

Số hạng chứa $x^{9}$ tương ứng với $3 k - 12 = 9 \Rightarrow k = 7 \Rightarrow$ Hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ là: $C_{12}^{7} . 3^{5} = 192456$ .

Câu 18:

Cho $\log_{2} 5 = a$ và $\log_{5} 3 = b$ . Tính $\log_{24} 15$ theo a và b?

A. $\frac{a (1 + b)}{a b + 3}$

B. $\frac{a (1 + 2 b)}{a b + 1}$

C. $\frac{a (1 + 2 b)}{a b + 3}$

D. $\frac{a}{a b + 1}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x - 2y + 2z - 5 = 0 và (Q):4x + 5y - z + 1 = 0. Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Véctơ $\vec{A B}$ cùng phương với vecto nào sau đây?

A. $\vec{w} = (3; - 2; 2)$

B. $\vec{v} = (- 8; 11; - 23)$

C. $\vec{a} = (4; 5; - 1)$

D. $\vec{u} = (8; - 11; - 23)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\vec{u_{A B}} = [\vec{n_{(P)}}; \vec{n_{(Q)}}] = (- 8; 11; 23)$

Do đó $\vec{A B}$ cùng phương với vecto $\vec{u} = (8; - 11; - 23)$ .

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh SA = a, vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = $a \sqrt{6}$ . Gọi a là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Tính $\sin α$ ta được kết quả là

A. $\frac{1}{\sqrt{14}}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\{\begin{cases} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A C)$

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow \hat{(S B; (S A C))} = \hat{B S O}$

Trong đó $\sin \hat{B S O} = \frac{O B}{S B} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$

Câu 21:

Cho hàm số $y = \sqrt{1 + 3 x - x^{2}}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. ${(y')}^{2} + y . y'' = - 1$

B. ${(y')}^{2} + 2 y . y'' = 1$

C. $y . y'' - {(y')}^{2} = 1$

D. ${(y')}^{2} + y . y'' = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

Câu 22:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ , trục hoành và đường thẳng x = e. Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. $V = \frac{π}{2}$

B. $V = \frac{π}{3}$

C. $V = \frac{π}{6}$

D. $V = π$

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = π \int_{1}^{e} f^{2} (x) d x = π \int_{1}^{e} \frac{\ln^{2} x}{x} d x$

Đặt $t = \ln x \Leftrightarrow d t = \frac{d x}{x}$ và $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = e \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ . Khi đó $\int_{1}^{e} \frac{\ln^{2} x}{x} d x = \int_{0}^{1} t^{2} d t = {\frac{t^{3}}{3}}_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ . Vậy $V = \frac{π}{3}$

Câu 23:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình $x + 1 = m \sqrt{2 x^{2} + 1}$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $- \frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{6}}{6}$

B. $m < \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $m > \frac{\sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{6}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $x + 1 = m \sqrt{2 x^{2} + 1} \Leftrightarrow m = \frac{x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}; \forall x \in ℝ$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ trên $ℝ$ có $f' (x) = \frac{1 - 2 x}{\sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{3}}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Tính các giá trị $f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2}; \lim_{x \to + \infty} f (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}; \lim_{x \to - \infty} f (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Khi đó, để f(x) = m có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Câu 24:

Tìm giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{4} - 2 (m^{2} + 1) x^{2} + 2$ có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.

A. m = 2

B. m = 0

C. m = 1

D. m = 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 (m^{2} + 1) x, \forall x \in ℝ$ . Phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = m^{2} + 1 \end{array}$ .

Hệ số a > 0 suy ra giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{C T} = 2 - {(m^{2} + 1)}^{4} \leq 1$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m^{2} = 0 \Rightarrow m = 0$ .

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + y - 2z + m = 0 và mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z - 2 = 0$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng $4 π \sqrt{3}$ .

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Xét $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ có tâm I(1;-2;3), bán kính R = 4

Chu vi đường tròn giao tuyến $4 π \sqrt{3} = 2 πr \Leftrightarrow r = 2 \sqrt{3}$

Khi đó $d (I; (P)) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{4^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}} = 2 \Leftrightarrow \frac{|m - 6|}{3} = 2 \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 12 \\ m = 0 \end{array}$

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $30 °$ . Tính tỉ số $\frac{3 V}{a^{3}}$ biết V là thể tích của khối chóp S.ABCD?

A. $\frac{\sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{12}$

C. $\sqrt{3}$ 3

D. $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $\{\begin{cases} S A ⊥ (A B C D) \\ B C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow \hat{(S B C); (A B C D)} = \hat{S B A}$

Tam giác SAB vuông tại A, có $\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} \Rightarrow S A = 2 a . \tan 30 ° = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} \frac{2 a}{\sqrt{3}} 4 a^{2} = \frac{8 a^{3} \sqrt{2}}{9}$
Vậy tỉ số $\frac{3 V}{a^{3}} = \frac{24 a^{3} \sqrt{3}}{9} : a^{3} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Câu 27:

Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ có nghiệm?

A. 2

B. $\frac{11}{3}$

C. 4

D. $\frac{8}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2 \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x . a + 4 \sin 2 x + 6 \cos^{2} x . a = 4$

$\Leftrightarrow (1 - \cos 2 x) a + 4 \sin 2 x + (1 + \cos 2 x) a = 4 \Leftrightarrow 4 \sin 2 x + 2 a . \cos 2 x = 2 - 4 a (*)$

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $4^{2} + {(2 a)}^{2} \geq {(4 - 4 a)}^{2} \Leftrightarrow 0 \leq a \leq \frac{8}{3}$ .

Câu 28:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình dưới. Biết rằng trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (x) = 4^{m + 2 \log_{4} \sqrt{2}}$ có hai nghiệm phân biệt dương.

A. m > 1

B. 0 < m < 1

C. m < 0

D. 0 < m < 2

Xem đáp án

Đáp án C

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 4^{m + 2 \log_{4} \sqrt{2}} \in (0; 2) \Leftrightarrow 2 m + 4 \log_{4} \sqrt{2} < 1 \Leftrightarrow m < 0$

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + z - 10 = 0 điểm A(1;3;2) và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$ . Tìm phương trình đường thẳng D cắt (P) và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm của cạnh MN

A. $\frac{x - 6}{7} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z + 3}{- 1}$

B. $\frac{x + 6}{7} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 3}{- 1}$

C. $\frac{x - 6}{7} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 3}{- 1}$

D. $\frac{x + 6}{7} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - 3}{- 1}$

Xem đáp án

Đáp án B

Điểm $N \in (d) \Rightarrow N (- 2 + 2 t; 1 + t; 1 - t)$ mà A là trung điểm của MN $\Rightarrow M (4 - 2 t; 5 - t; 3 + t)$

Mặt khác $M = (∆) \cap (P) \Rightarrow M \in (P) \Rightarrow 2 (4 - 2 t) - (5 - t) + 3 + t - 10 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

Khi đó $M (8; 7; 1), N (- 6; - 1; 3) \Rightarrow \vec{M N} = (- 14; - 8; 2) \Rightarrow (M N) : \frac{x + 6}{7} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 3}{- 1}$ .

Câu 30:

Giả sử a, b, c là các số nguyên thỏa mãn $\int_{0}^{4} \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{\sqrt{2 x + 1}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (a u^{4} + b u^{2} + c) d u$ , trong đó $u = \sqrt{2 x + 1}$ . Tính giá trị của S = a + b + c

A. S = 3

B. S = 0

C. S = 1

D. S = 2

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $u = \sqrt{2 x + 1} \Leftrightarrow u^{2} = 2 x + 1 \Leftrightarrow d x = u d u$ và đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow u = 1 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \end{cases}$

Khi đó $\int_{0}^{4} \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{\sqrt{2 x + 1}} d x = \int_{1}^{3} \frac{2 {(\frac{u^{2} - 1}{2})}^{2} + 4 . (\frac{u^{2} - 1}{2}) + 1}{u} . u d u = \int_{1}^{3} [\frac{1}{2} {(u^{2} - 1)}^{2} + 2 u^{2} - 1] d u$

$= \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (u^{4} - 2 u^{2} + 1 + 4 u^{2} - 2) d u = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (u^{4} + 2 u^{2} - 1) d u = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (a u^{4} + b u^{2} + c) d u \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = - 1 \end{cases}$

Câu 31:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;0), B(2;2;2), C(-2;3;1) và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ . Tìm điểm M thuộc d để thể tích V của tứ diện MABC bằng 3.

A. $M_{1} (- \frac{15}{2}; \frac{9}{4}; - \frac{11}{2}), M_{2} (- \frac{3}{2}; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2})$

B. $M_{1} (- \frac{3}{5}; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}), M_{2} (- \frac{15}{2}; \frac{9}{4}; \frac{11}{2})$

C. $M_{1} (\frac{3}{2}; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}), M_{2} (\frac{15}{2}; \frac{9}{4}; \frac{11}{2})$

D. $M_{1} (\frac{3}{5}; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}), M_{2} (\frac{15}{2}; \frac{9}{4}; \frac{11}{2})$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} \vec{A B} = (2; 1; 2) \\ \vec{A C} = (- 2; 2; 1) \end{cases} \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{A C}] = (- 3; - 6; 6) \Rightarrow S_{∆ A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{9}{2}$

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $- 3 (x - 0) - 6 (y - 1) + 6 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - 2 z - 2 = 0$

Điểm $M \in (d) \Rightarrow M (2 t + 1; - t - 2; 2 t + 3) \Rightarrow d (M, (A B C)) = \frac{|4 t + 11|}{3} (1)$

Lại có $V_{M . A B C} = \frac{1}{3} d (M, (A B C)) . S_{∆ A B C} \Rightarrow d (M, (A B C)) = 2 (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{|4 t + 11|}{3} = 2 \Leftrightarrow |4 t + 11| = 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - \frac{5}{4} \\ t = - \frac{17}{4} \end{array}$ . Vậy $[\begin{array}{l} M_{1} (- \frac{15}{2}; \frac{9}{4}; - \frac{11}{2}) \\ M_{2} (- \frac{3}{2}; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}) \end{array}$ .

Câu 32:

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh a. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. Kết quả tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của hình nón đó có dạng bằng $\frac{{πa}^{2}}{4} (\sqrt{b} + c)$ với b, c là hai số nguyên dương và b > 1. Tính giá trị của bc?

A. bc = 5

B. bc = 8

C. bc = 15

D. bc = 7

Xem đáp án

Đáp án A

Khối nón cần tìm có chiều cao h = a, bán kính đáy $r = \frac{a}{2} \Rightarrow l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích toàn phần của hình nón là $S_{t p} = S_{x q} + S_{d} = πrl + {πr}^{2} = π . \frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{2} + π {(\frac{a}{2})}^{2}$ .

$= \frac{{πa}^{2}}{4} (\sqrt{5} + 1) = \frac{{πa}^{2}}{4} (\sqrt{b}) + c$ . Vậy $\{\begin{array}{l} b = 5 \\ c = 1 \end{array} \to b c = 5$ .

Câu 33:

Tập nghiệm của bất phương trình $2 . 7^{x + 2} + 7 . 2^{x + 2} \leq 351 \sqrt{14^{x}}$ có dạng S = [a;b]. Giá trị b - 2a thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(3; \sqrt{10})$

B. (-4;2)

C. $(\sqrt{7}; 4 \sqrt{10})$

D. $(\frac{2}{9}; \frac{49}{5})$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $\{\begin{cases} \sqrt{2^{x}} = a > 0 \\ \sqrt{7^{x}} = b > 0 \end{cases}$ , khi đó $2 . 7^{x + 2} + 7 . 2^{x + 2} \leq 351 \sqrt{14^{x}} \Leftrightarrow 98 b^{2} + 28 a^{2} \leq 351 a b$

$\Leftrightarrow 28 {(\frac{a}{b})}^{2} - 351 . \frac{a}{b} + 98 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2}{7} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{49}{4} \Leftrightarrow \frac{2}{7} \leq {(\frac{2}{7})}^{\frac{x}{2}} \leq {(\frac{2}{7})}^{- 2} \Leftrightarrow x \in [- 4; 2]$ .

Câu 34:

Cho dãy số $(U_{n})$ xác định bởi $U_{1} = \frac{1}{3}$ và $U_{n + 1} = \frac{n + 1}{3 n} U_{n}$ . Tổng $S = U_{1} + \frac{U_{2}}{2} + \frac{U_{3}}{3} + . . . + \frac{U_{10}}{10}$ bằng

A. $\frac{3280}{6561}$

B. $\frac{29524}{59049}$

C. $\frac{25942}{59049}$

D. $\frac{1}{243}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $V_{n + 1} = \frac{U_{n + 1}}{n + 1} \Rightarrow \{\begin{cases} V_{n + 1} = \frac{1}{3} V_{n} \\ V_{1} = \frac{1}{3} \end{cases}$ suy ra $S = \sum_{1}^{10} V_{n}$ trong đó $V_{n}$ là cấp số nhân với công sai $q = \frac{1}{3}$

Do đó $S = \frac{1}{3} \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{10}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{29524}{59049}$ .

Câu 35:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f' (x) = {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{5} {(x + 3)}^{3}$ . Số điểm cực trị của hàm số $f (|x|)$ là

A. 5

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $[f (u)]' = f' (u) . u' (x) \Rightarrow [f (|x|)]' = f' (x) . |x|' = {(|x| + 1)}^{4} {(|x| - 2)}^{5} {(|x| + 3)}^{3} \frac{x}{|x|}$

Chú ý: $(|x|)' = (\sqrt{x^{2}})' = \frac{2 x}{2 |x|}$

Do đó hàm số $f (|x|)$ có 3 điểm cực trị là $x = \pm 2; x = 0$

Câu 36:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3), D(2;-2;0). Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D

A. 7

B. 5

C. 6

D. 10

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\{\begin{cases} \vec{A B} = (- 1; 2; 0) \\ \vec{A D} = (1; - 2; 0) \end{cases} \Rightarrow \vec{A B} + \vec{A D} = 0 \Rightarrow A, B, D$ thẳng hàng

Do đó, 5 điểm O, A, B, C, D tạo thành tứ diện như hình vẽ bên

Vậy có tất cả 5 mặt phẳng cần tìm đó là:

+ Mặt phẳng (OAC) đi qua 3 điểm O, A, C.

+ Bốn mặt phẳng là các mặt bên của tứ diện O.BCD đi qua 3 điểm trong 5 điểm O, A, B, C, D.

Câu 37:

Cho bất phương trình $1 + \log_{5} (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m)$ (1). Tìm tất cả các giá trị của m để (1) nghiệm đúng với mọi số thực x.

A. $2 \leq m \leq 3$

B. $2 < m \leq 3$

C. $- 3 \leq m \leq 7$

D. $[\begin{array}{l} m \leq 3 \\ m \geq 7 \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện:

Khi đó

Kết hợp với điều kiên $(*) \Rightarrow 2 < m \leq 3$ .

Câu 38:

Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu xanh.

A. $\frac{10}{11}$

B. $\frac{5}{14}$

C. $\frac{25}{42}$

D. $\frac{5}{42}$

Xem đáp án

Đáp án C

Để xác định biến cố, ta xét các trường hợp sau:

+) 2 bi xanh và 1 bi đỏ, suy ra có $C_{5}^{2} . C_{4}^{1} = 40$ cách.

+) 3 bi xanh và 0 bi đỏ, suy ra có $C_{5}^{3} = 10$ cách.

Suy ra xác suất cần tính là $P = \frac{40 + 10}{C_{9}^{3}} = \frac{25}{42}$

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ và các điểm A(1;0;2), B(-1;2;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ) có diện tích nhỏ nhất. Khi đó viết phương trình (P):ax + by + cz + 3 = 0. Tính giá trị của T = a + b + c.

A. 3

B. -3

C. 0

D. -2

Xem đáp án

Đáp án B

Xét $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ có tâm I(1;2;3) bán kính R = 4

Gọi O là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P). Ta có $S_{m i n} \Leftrightarrow d {(I; (P))}_{m a x} \Leftrightarrow I O_{m a x}$

Khi và chỉ khi $I O \equiv I H$ với H là hình chiếu của I trên AB

$\Rightarrow \vec{I H}$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) mà $I A = I B \Rightarrow H$ là trung điểm AB

$\Rightarrow H (0; 1; 2) \Rightarrow \vec{I H} = (- 1; - 1; - 1) \Rightarrow m p (P)$ là -x - y - z + 3 = 0.

Câu 40:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{1 + 2 \cos x} + \sqrt{1 + 2 \sin x} = \frac{m}{2}$ có nghiệm thực?

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Xét $x \in [- π; π]$ mà $\{\begin{cases} 1 + 2 \sin x \geq 0 \\ 1 + 2 \cos x \geq 0 \end{cases}$ suy ra $x \in [- \frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]$

Ta có $\sqrt{1 + 2 \cos x} + \sqrt{1 + 2 \sin x} = \frac{m}{2} \Leftrightarrow \frac{m^{2}}{8} = 1 + \sin x + \cos x + \sqrt{(1 + 2 \sin x) (1 + 2 \cos x)}$

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \Rightarrow t \in [\frac{\sqrt{3} - 1}{2}; \sqrt{2}]$ mà $2 \sin x . \cos x = t^{2} - 1$ .

Khi đó $f (t) = 1 + t + \sqrt{2 t^{2} + 2 t - 1}$ , có $f' (t) = t + \frac{2 t + 1}{\sqrt{2 t^{2} + 2 t - 1}} > 0, \forall t \in [\frac{\sqrt{3} - 1}{2}; \sqrt{2}]$

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên $[\frac{\sqrt{3} - 1}{2}; \sqrt{2}] \Rightarrow \{\begin{cases} m i n f (t) = f (\sqrt{2}) = 2 + 2 \sqrt{2} \\ m a x f (t) = f (\frac{\sqrt{3} - 1}{2}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Do đó, để $f (t) = \frac{m^{2}}{8}$ có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \leq \frac{m^{2}}{8} \leq 2 + 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow 2 \sqrt{1 + \sqrt{3}} \leq m \leq 4 \sqrt{1 + \sqrt{2}}$ .

Câu 41:

Biết rằng đồ thị hàm số $y = f (t) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e, (a, b, c, d \in ℝ; a \neq 0, b \neq 0)$ cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số $y = g (x) = {(4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d)}^{2} - 2 (6 a x^{2} + 3 b x + c) . (a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e)$ cắt trục hoành Ox tại bao nhiêu điểm?

A. 6

B. 0

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Giả thiết

Đặt

thì

Và

Khi đó, phương trình

(vô nghiệm)

Vậy đồ thị hàm số y = g(x) không cắt trục hoành.

Câu 42:

An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPTQG năm 2018, ngoài thi ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thi thêm đúng hai môn tự chọn khác trong ba môn Vật lý, Hóa học và Sinh học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển Đại học. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 8 mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau. Tìm xác suất để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề?

A. $\frac{1}{9}$

B. $\frac{1}{10}$

C. $\frac{1}{12}$

D. $\frac{1}{24}$

Xem đáp án

Đáp án C

Không gian mẫu là cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được của An và Bình.

• An có $C_{3}^{2}$ cách chọn hai môn tự chọn, có $C_{8}^{1} . C_{8}^{1}$ mã đề thi cỏ thể nhận cho 2 môn tự chọn của An.

• Bình giống An. Nên số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = (C_{3}^{2} . C_{8}^{1} . C_{8}^{1})$ =36864.

Gọi X là biến cổ “ An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề”

Số cách chọn môn thi tự chọn của An và Bình là $C_{3}^{1} . 2! = 6$ .

Trong mồi cặp để mà đề cùa An và Bình giống nhau khi An và Bình cùng mã đề của môn chung, với mỗi cặp có cách nhận mã đề cua An và Bình là $C_{3}^{2} . C_{8}^{1} . C_{8}^{1} = 512$

Do đó, số kết quả thuận lợi của biến cố X là $n (X) = 6.512 = 3072$ .

Vây xác suât cân tính là $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{3072}{36864} = \frac{1}{12}$ .

Câu 43:

Xét tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi $α, β, γ$ lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = (3 + c o t^{2} α) (3 + c o t^{2} β) (3 + c o t^{2} γ)$

A. Số khác

B. $48 \sqrt{3}$

C. 48

D. 125

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) $\Rightarrow H$ là trực tâm $∆ A B C$ .

Ta có $\hat{O A; (A B C)} = \hat{(O A; A H)} = \hat{O A H} = α$ tương tự $\hat{O B H} = β, \hat{O C H} = γ$

Lại có

Đặt

Khi đó

.

Vậy $M_{m i n} = 125$ .

Câu 44:

Biết luôn có hai số a và b để $F (x) = \frac{a x + b}{x + 4} (4 a - b \neq 0)$ là nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn $2 f^{2} (x) = [F (x) - 1] . f' (x)$ . Khẳng định nào sau đây đúng và đầy đủ nhất?

A. a = 1,b = 4

B. a = 1,b = -1

C. $a = 1, b \in ℝ \ \{4\}$

D. $a \in ℝ, b \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án C

Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số $\Rightarrow f (x) = F' (x)$

Ta có

Khi đó

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $a = 1, b \in ℝ \ \{4\}$ .

Câu 45:

Cho cấp số nhân $(b_{n})$ thỏa $b_{2} > b_{1} \geq 1$ , hàm $f (x) = x^{3} - 3 x$ thỏa $f [\log_{2} (b_{2})] + 2 = f [\log_{2} (b_{1})]$ . Giá trị nhỏ nhất của n để $b_{n} > 5^{100}$

A. 234

B. 229

C. 333

D. 292

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi k là công bội của cấp số nhân

Theo giả thiết

Mà

Vậy

.

Câu 46:

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $u_{1} = 0$ và $u_{n + 1} = u_{n} + 4 n + 3$ với $\forall n \geq 2$ . Biết rằng dãy số thỏa mãn $l i m \frac{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{4 n}} + \sqrt{u_{4^{2} n}} + . . . + \sqrt{u_{4^{2018} n}}}{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{2 n}} + \sqrt{u_{2^{2} n}} + . . . + \sqrt{u_{2^{2018} n}}} = \frac{a^{2019} + b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và b < 2019. Tính giá trị của S = a + b - c

A. S = -1

B. S = 0

C. S = 2017

D. S = 2018

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

Với mỗi

và

Ta có

Khi đó

Và

Vậy

.

Câu 47:

Cho hai số phức $z_{1}; z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} + 1 - i| = 2$ và $z_{1} = z_{2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$

A. $m = \sqrt{2} - 1$

B. $m = 2 \sqrt{2}$

C. $m = 2$

D. $m = 2 \sqrt{2} - 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

Mà

Từ (1) và (2) suy ra

.

Câu 48:

Cho y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên biết đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm

$M (- \frac{1}{2}; 4)$ và $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f (t) d t = 3$ , tính $I = \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \sin 2 x f' (\sin x) d x$

A. I = 10

B. I = -2

C. I = 1

D. I = -1

Xem đáp án

Đáp án B

Vì f(x) là hàm chẵn

Đặt

Khi đó

Đặt

mà .

Câu 49:

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, A_{3} B_{3} C_{3}, . . .$ sao cho $A_{1} B_{1} C_{1}$ là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương $n \geq 2$ , tam giác $A_{n} B_{n} C_{n}$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n - 1} B_{n - 1} C_{n - 1}$ . Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu n S tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_{n} B_{n} C_{n}$ . Tính tổng $S = S_{1} + S_{2} + . . . + S_{n} + . . . ?$

A. $S = \frac{15 π}{4}$

B. $S = 4 π$

C. $S = \frac{9 π}{2}$

D. $S = 5 π$

Xem đáp án

Đáp án B

Tam giác đều cạnh x có bán kính đường tròn ngoại tiếp là

Với mỗi tam giác đề bài cho, độ dài cạnh tam giác sau bẳng $\frac{1}{2}$ độ dài cạnh tam giác trước.

Khi đó

Dễ thấy

là tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Vậy tổng cần tính là

Câu 50:

Cho ab, là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2} \log_{2} a = \log_{2} \frac{2}{b}$ . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $P = 4 a^{3} + b^{3} - 4 \log_{2} (4 a^{3} + b^{3})$ là: