Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 6
-
3610 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy là 6cm và diện tích hình tròn đáy bằng diện tích xung quanh của hình nón. Tính thể tích V khối nón
Đáp án A
Ta có
Câu 3:
Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
Đáp án C
cắt Oy tại điểm có tung độ âm khi bd < 0
Câu 4:
Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 2a
Đáp án D
Câu 5:
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y =tan x trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox
Đáp án C
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y = tan x trục hoành là tan x = 0
Câu 6:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;-5), B(-3;0;1). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB.
Đáp án C
Gọi I là trung điểm AB
Câu 7:
Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Tìm tung độ của M
Đáp án C
Ta có
Câu 8:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A(-3;-1;-1) lên mặt phẳng (P): 2x + y + z - 4 = 0. Tìm tọa độ điểm H
Đáp án C
Ta có H(1;1;1)
Câu 9:
Cho hai điểm A(0;-1;2), B(4;1;-1) và mặt phẳng . Xét vị trí tương đối của hai điểm AB, và .
Đáp án D
Ta có A, B nằm về hai phía đối với .
Câu 10:
Cho f(x) là hàm số chẵn trên thỏa mãn . Chọn mệnh đề đúng.
Đáp án B
Do f(x) là hàm số chẵn nên f(x) = -f(x)
Ta có
Câu 11:
Hàm số nào sau đây thỏa mãn với mọi thì ?
Đáp án D
Với mọi thì đồng biến trên
Trong 4 hàm số đã cho có hàm số có
Do đó hàm số đồng biến trên
Câu 12:
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện là đường nào trong các đường cho dưới đây?
Đáp án A
Giả sử
Ta có
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện là đường thẳng
Câu 13:
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi (H) quay quanh trục hoành.
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm
Câu 16:
Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z là một số thực âm
Đáp án C
Giả sử .
Ta có
Để là một số thực âm thì biểu diễn là trục tung (trừ gốc tọa độ O)
Câu 17:
Một vật chuyển động với vận tốc 10 (m/s) thì tăng tốc với gia tốc . Quảng đường vật di chuyển trong thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
Đáp án B
Ta có
Theo đề bài thì
Câu 18:
Cho tam giác AOB vuông tại O và OAB = 30. Đường cao hạ từ O là OH, OH = a. Tính thể tích khối nón tròn xoay tạo bởi tam giác AOB khi quay quanh trục OA.
Đáp án D
Ta có
Lại có suy ra thể tích khối nón tròn xoay tạo bởi tam giác AOB khi quay quanh trục OA là
Câu 19:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và song song với đường thẳng d
Đáp án C
Ta có
Câu 21:
Tìm công thức tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = và đường thẳng d: y = 2x quay xung quanh trục Ox
Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là
Câu 22:
Đồ thị các hàm số và cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
Đáp án C
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là
Suy ra (P) và d có 2 điểm phân biệt
Câu 24:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1;3;2) đến đường thẳng có phương trình
Đáp án C
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, vuông góc với d là
Gọi H là giao điểm của (P) và d suy ra H(1;1;0)
Mà H là hình chiếu vuông góc của M trên d
Câu 25:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình . Xét đường thẳng , với a là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng d và cắt nhau.
Đáp án C
Ta có giải hệ
Câu 26:
Xét hàm số liên tục trên Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đã cho bằng
Đáp án D
Xét hàm số trên
Ta có
Phương trình
Tính giá trị
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là
Câu 27:
Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận?
Đáp án A
Với có 3 tiệm cận x = 1; x = 2; y = 0 loại
Thay x = 1 vào có 2 tiệm cận x = 2; y = 1
Thay x = 2 vào có 2 tiệm cận x = 1; y =
Câu 28:
Tính tổng diện tích tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {3;5} có cạnh bằng 1
Đáp án C
Khối đa diện đều loại {3;5} là khối 12 mặt đều, với các mặt tam giác đều bằng 1
diện tích tam giác đều là
Vậy diện tích cần tính là
Câu 30:
Biết rằng chỉ có hai giá trị thực khác nhau của tham số m thì đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận; kí hiệu m = a là giá trị thứ nhất, m = a là giá trị thứ hai. Tính ab
Đáp án C
Đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang là y = 0
Để đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận thì nó chỉ có 1 tiệm cận đứng có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = -1
Câu 31:
Gọi là tập các giá trị của hàm số trên [-1;2]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án D
Ta có
Hàm số trên xác định và liên tục trên [-1;2]
Ta có
Do đó
Câu 32:
Biết rằng T=[a;b] là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng . Tính
Đáp án A
Đặt
Suy ra
Xét nên hàm số đồng biến trên [1;3]
Do đó để phương trình có nghiệm thì
Câu 33:
Tính tích phân , trong đó a, b dương và là phân số tối giản. Tính ab
Đáp án B
Tính
Đặt
Do đó
Câu 34:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của
Đáp án D
Đặt
Khi đó
Xét hàm số với ta có
Khi đó
Câu 35:
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi là trọng tâm 4 mặt của tứ diện ABCD. Thể tích của khối tứ diện là
Đáp án A
Ta có
Thể tích của khối tứ diện là
Câu 36:
Cho hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, CD = 4a và cạnh bên AD = BC = 3a. Tính theo a thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cân ABCD quanh trục đối xứng của nó.
Đáp án D
Khi quay hình thang cân ABCD quanh trục đối xứng ta được hình nón cụt có chiều cao và bán kính 2 đáy là
Vậy thể tích cần tính là
Câu 37:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp
Đáp án D
Xét hàm số có
Để hàm số có 2 điểm cực trị có 2 nghiệm phân biệt
Gọi lần lượt là các điểm cực tiểu và cực đại của hàm số đã cho
Theo Viet, ta có mà suy ra
Kết hợp mà
Câu 38:
Một chậu nước hình trụ cao 12 cm, rộng 10 cm. Người ta đổ nước vào trong chậu sao cho nước trong chậu cao 10 cm. Sau đó người ta thả các viên bi vào chậu, biết bán kính mỗi viên bi là 2 cm và sau mỗi lần thả viên bi vào thì nước bắn ra ngoài bằng 15% thể tích viên bi. Hỏi cần thả ít nhất bao nhiêu viên bi vào chậu nước thì nước vừa bắn vừa đầy miệng chậu tràn ra ngoài
Đáp án C
Thể tích của một viên bi là
Thể tích nước tăng lên khi bỏ một viên bi vào là
Thể tích nước tăng lên là
Vậy nên ít nhất cần 6 viên bi để thỏa mãn đề bài
Câu 39:
Bạn Linh cần mua một chiếc gương hình dạng đường Parabol bậc 2 (xem hình vẽ).
Biết rằng khoảng cách đoạn AB = 60 cm, OH = 30 cm. Diện tích của chiếc gương bạn Linh mua là
Đáp án B
Đặt hệ trục tọa độ với Oxy với tia Ox là tia OH, tia Oy là tia OB
Giả sử phương trình parabol
Dựa vào AB = 60 cm, OH = 30 cm
Ta có
Diện tích chiếc gương là
Câu 40:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó a > 0, b > 0, c > 0. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm I(1;2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Chọn đẳng thức không đúng khi nói về a, b, c?
Đáp án A
Phương trình mặt phẳng
Vì
Thể tích khối tứ diện OABC được tính là
Dấu “=” xảy ra khi
Kiểm tra thấy phương án A không đúng
Câu 41:
Cho là hai nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức
Đáp án D
Dễ thấy suy ra .
Câu 42:
Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R, độ dài đường sinh là và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R, lồng vào nhau như hình vẽ bên. Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón
Đáp án D
Xét hình nón nhỏ có đáy là đường tròn tâm E, bán kính r
Ta có
Từ
Thể tích khối nón cụt giao với khối trụ là
Thể tích khối trụ không giao cần tính là .
Câu 43:
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số và trục hoành. Hai đường thẳng chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính
Đáp án A
Diện tích hình (H) bằng
Khi đó
Suy ra .
Câu 44:
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn và với a, b là các số nguyên dương. Tính a + b
Đáp án D
Đặt
.
Câu 45:
Cho đa giác đều 20 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh. Tính xác suất để 3 đỉnh đó là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân
Đáp án C
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 20 đỉnh có cách
Gọi X là biến cố “3 đỉnh đó là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân”
Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo xuyên tâm, mà cứ 2 đường chéo được 1 hình chữ nhật và 1 hình chữ nhật được 4 tam giác vuông số tam giác vuông chọn từ 3 đỉnh trong số 20 đỉnh là
Tuy nhiên chỉ có 180 - 20 = 160 tam giác vuông không cân n(X) = 160
Vậy .
Câu 46:
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình thuộc đoạn ?
Đáp án B
Điều kiện tan x > 0
PT
Xét hàm số
Khi đó do đó hàm số f(t) đồng biến trên [-1;1]
Ta có
Với tổng nghiệm của pt là
Câu 47:
Cho phương trình . Biết rằng là tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa . Tính giá trị biểu thức A = a + b + 5c + 2d
Đáp án B
Điều kiện để pt đã cho có 2 nghiệm
Khi đó
Do đó
Câu 48:
Gia đình Thầy Hùng ĐZ xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp dung tích 2018 lít, đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng được làm bằng bê tông có giá 250.000 đồng/m2, thân bể được xây bằng gạch có giá 200.000 đồng/m2 và nắp bể làm bằng tôn có giá 100.000 đồng/m2. Hỏi chi phí thấp nhất gia đình Thầy cần bỏ ra để xây dựng bể nước là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án C
Gọi kích thước hình hộp chữ nhật lần lượt là x, 3x, h (cm)
Thể tích hình hộp chữ nhật là
Số tiền làm đáy bể là nghìn đồng
Số tiền làm thân bể là nghìn đồng
Số tiền làm nắp bể là nghìn đồng
Số tiền tổng cộng để xây bể là
Áp dụng BĐT An- Gm, ta có
Vậy số tièn nhỏ nhất cần bỏ ra là 2.017.333 đồng
Câu 49:
Một bạn đã cắt tấm bìa carton phẳng và cứng có kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn ấy gấp theo đường nét đứt thành một hình hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh a (cm), chiều cao là h (cm) và diện tích tấm bìa là . Tổng a + h bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn nhất
Đáp án D
Thể tích khối hộp
Diện tíc của tấm bìa là
Từ 1 và 2 suy ra (khảo sát hàm số)
Dấu “=” xảy ra khi thế vào (2) ta được .
Câu 50:
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt
Đáp án A
Phương trình
Đặt
Do đó số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số và
Dựa vào đồ thị hàm số , để (*) có 3 nghiệm phân biệt .