Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 10
-
3474 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đáp án A
Xét hàm số ta có
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 3:
Một vật chuyển động với quãng đường biến thiên theo thời gian được xác định bởi phương trình: (S tính bằng mét (m), t tính bằng giây (s)). Tính vận tốc của vật tại thời điểm vật chuyển động được quãng đường là 16m.
Đáp án D
Ta có
Khi vật chuyển động được quãng đường .
Khi đó vận tốc của vật là .
Câu 4:
Cho dãy số với . Tính
Đáp án C
Ta có nên un là dày sổ giảm
Với n = 1 ta có .
Giả sử ta sẽ chửng minh
Ta có nên ta suy ra dãy số bị chặn dưới
Do dãy số giảm và bị chặn dưới nên ta suy ra dãy số có giới hạn
Giả sử .
Câu 5:
Cho biểu thức . Số hạng thứ 31 trong khai triển Newton của A là
Đáp án D
Ta có
Số hạng thứ 31 trong khai triển Newton của A là .
Câu 6:
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Đáp án C
Ta có:
.
Câu 7:
Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức
Đáp án D
Ta có
Khi đó .
Câu 9:
Cho hình lập phương . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
Đáp án C
Ta có
Câu 11:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] là
Đáp án B
Do nên . Do đó .
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi x = 0.
Câu 13:
Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 7,5% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?
Đáp án C
Theo công thức lãi kép ta có với T là số tiền cả gốc cả lãi thu được, A là số tiền ban đầu, r là số tiền lãi suất, n là kì hạn
Để sổ tiền tăng gấp đôi thì năm
Vậy cẩn 10 năm để sổ tiền tâng gấp đôi
Câu 14:
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 2sinx + mcosx - 2m = 0 có nghiệm?
Đáp án C
để phương trình: 2sinx + mcosx - 2m = 0 có nghiệm
Câu 17:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là:
Đáp án C
Ta có
Do đó hàm số đã cho liên tục và đồng biến trên đoạn
GTLN của hàm số trên đoạn là
Câu 18:
Một cái nón lá có chiều dài đường sinh và có đường kính mặt đáy đều bằng 5 dm. Vậy cần diện tích của lá để làm cái nón lá là:
Đáp án C
Diện tích của lá để làm cái nón lá chính là diện tích xung quanh của hình nón
Ta có
Câu 19:
Cho một khối lập phương biết rằng khi giảm độ dài cạnh của khối lập phương thêm 4 cm thì thể tích của nó giảm bớt 604 . Hỏi cạnh của khối lập phương đã cho bằng:
Đáp án B
Gọi a là cạnh của khối lập phương đã cho
Ta có ;
Lại có
Câu 20:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ thỏa mãn là:
Đáp án B
Ta có .
Khi đó
PTTT cần tìm là
Câu 21:
Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên (-2;-1)
Đáp án C
Đặt do khi đó
Ta có , để hàm số đồng biến
Câu 24:
Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm trên . Khẳng định nào sau đây là đúng
Đáp án A
Ta có .
Câu 26:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0;-1) là
Đáp án A
Ta có . PTTT cần tìm là
Câu 27:
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại?
Đáp án D
Ta có không tồn tại .
Câu 28:
Xét f(x) là một hàm số tùy ý. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đáp án A
Xét hàm số f(x) là một hàm số tùy ý. Ta có Khi đó
- Nếu f(x) có đạo hàm tại và đạt cực đại tại thì
- Nếu và thì f(x) đạt cực tiểu tại
- Nếu f(x) đạt cực tiểu tại thì
Câu 29:
Một máy bơm nước có ống bơm hình trụ đường kính bằng 50 cm và tốc độ dòng nước chảy trong ống là 0, 5 m/s. Hỏi trong một giờ máy bơm đó bơm được bao nhiêu nước? (giả sử nước lúc nào cũng đầy ống).
Đáp án D
Trong một giờ máy bơm đó bơm được
Câu 30:
Tìm giá trị thực của a để đẳng thức xảy ra ?
Đáp án B
Ta có
Với (thỏa mãn)
Với (loai)
Tương tự các đáp án không thỏa mãn đẳng thức (1)
Câu 31:
Các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) là
Đáp án D
Xét hàm số trên khoảng (0;1) có
Hàm số đã cho liên tục và nghịch biến trên khoảng (0;1) khi và chỉ khi
Khi đó
Xét hàm số trên [0;1], ta có suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên [0;1].
Do đó . Khi đó .
Câu 32:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
Đáp án D
Đặt z = x + yi ta có
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm bán kính
Câu 33:
Với hai số thực dương a, b tùy ý và . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Đáp án B
Ta có .
Câu 34:
Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi
68,5cm. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích 249,83 cm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên
Đáp án D
Bán kính của quả bóng đá là
Diện tích xung quanh của quả bóng là
Vậy số miếng da để làm quả bóng trên là miếng
Câu 35:
Cho hàm số . Xét các mệnh đề sau:
(I) Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
(II) Tập xác định của hai hàm số trên là
(III) Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng 1 điểm.
(IV) Hai hàm số đều đồng biến trên tập xác định của nó.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
Đáp án A
Mệnh đề (I),(IV) đúng
Câu 36:
Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Để người đó lãnh được số tiền 250 triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian bao nhiêu năm ? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi)
Đáp án C
Theo công thức lãi kép ta có trong đó
T là cả tiền gốc lẫn lãi khi lấy về
A là số tiền ban đầu
R là lãi suất
N là số kỳ hạn
Khi đó năm.
Để người đó lãnh được số tiền 250 triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian 14 năm
Câu 37:
Trung tâm trải nghiệm sáng tạo trường THPT XXX dự định xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thầu nhân công để xây hồ là 600000 đồng. Chi phí thuê nhân công nhỏ nhất bằng:
Đáp án B
Gọi chiều cao của đáy là 2x và chiều rộng là x. Chiều cao của hồ là h
Khi đó
Phần diện tích cần xây (bao gồm đáy hộ và phần abo quanh) là
(Bất đẳng thức AM-GM). Dấu bằng xảy ra
Khi đó chi phí là 600000.150=90.000.000
Câu 38:
Tìm m để phương trình: có 4 nghiệm thực phân biệt.
Đáp án C
Vẽ đồ thị hàm số
Gồm 2 phần (hình bên dưới)
Phần 1: là đồ thị hàm số
Phần 2: lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục Ox
Khi đó nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và đường thẳng
Vật phương trình có 4 nghiệm
Câu 39:
Xét hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức
Đáp án B
Ta có
Mặt khác
Khi đó
Với
Xét hàm số trên đoạn [-2;2] ta có
;
So sánh các giá trị f(-2);f(1);f(2), ta được .
Câu 40:
Cho hình lập phương có cạnh bằng 40cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính
Đáp án B
Bán kính đáy của hình trụ là R = 20 cm
Diện tích toàn phần của hình lập phương là
Diện tích toàn phần của hình trụ là
Vậy tổng
Câu 41:
Cho hàm số với . Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục tại
Đáp án B
Ta có vì
Vậy để hàm số f(x) liên tục tại .
Câu 42:
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức của , với x > 0 nếu biết rằng
Đáp án A
Ta có
Khi đó .
Câu 43:
Cho hai hàm số và . Tìm a và b để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Đáp án B
Ta có
mà suy ra
Câu 44:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-4); B(1;-3;1); C(2;2;3). Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)
Đáp án C
Gọi I(x;y;0) là tâm của mặt cầu (S)
Theo bài ra, ta có
Vậy .
Câu 45:
Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
Đáp án D
Ta có
Suy ra là là TCN của đồ thị hàm số
Và là TCN của đồ thị hàm số
Câu 46:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn và . Vectơ nào dưới đây là vectơ của phép tịnh tiến biến (C) thành (C')
Đáp án A
Xét có tâm I'(3;2 - m) bán kính
Và đường tròn có tâm I(-m;2) bán kính
Vì (C’) là ảnh của (C ) qua .
Câu 47:
Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện và biết rằng với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị a + b
Đáp án A
Ta có
Khi đó .
Câu 48:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có nghiệm với mọi
Đáp án D
Ta có (vì cơ số = 0,02 < 1)
Xét hàm số trên có
Suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên
Vậy để bất phương trình có nghiệm .
Câu 49:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên đoạn
Đáp án B
Đặt suy ra
Khi đó bài toán trở thành :Tìm m để hàm số đồng biến trên [0;1]
Ta có
Xét hàm số trên , suy ra . Vậy
Câu 50:
Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = CA = a, SA = SB = SC = , M là điểm bất kì trong không gian. Gọi d là tổng các khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB, BC, CA, SA, SB, SC. Giá trị nhỏ nhất của d bằng
Đáp án C
Gọi E và F là trung điểm của BC và AB và O là trọng tâm tam giác ABC ta có .
Do
Dựng suy ra EK là đoạn vuông góc chung cua SA và BC.
Tương tự dựng FI; RL là các đoạn vuông góc chung cùa 2 cạnh đoi diện. Do tính chất đối xứng ta dễ dàng suy ra EK, FI, RL đồng quy tại điểm M. Như vậy
Mặt khác
Do đó
Do vậy .