Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 12
-
3431 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hàm số . Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
Đáp án D
Ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Điểm cực tiểu A(1;0)
Câu 2:
Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức ?
Đáp án A
Ta có là điểm biểu diễn của số phức z.
Câu 3:
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sinx = 0?
Đáp án C
Ta có
+)
Câu 5:
Đồ thị hai hàm số và y = x - 1 cắt nhau tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB
Đáp án B
Điều kiện .
Phương trình hoành độ giao điểm
.
Câu 6:
Tìm toạ độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Đáp án B
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là , tiệm cận ngang là
Câu 9:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, cực đại tại x = 0
Câu 10:
Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC có diện tích bằng 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 4. Thể tích của khối chóp S.ABC là
Đáp án D
Ta có: .
Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ và . Tìm tọa độ véctơ .
Đáp án B
Ta có .
Câu 13:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AC = . Cạnh bên SA = và vuông góc với (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
Đáp án B
Ta có: .
Câu 14:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = . Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB)
Đáp án A
Ta có
Ta có
Ta có
Ta có .
Câu 15:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu cắt mặt phẳng Oxy theo giao tuyến là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này
Đáp án C
Mặt cầu có tâm J(1;2;-3) bán kính R = 4
Tâm của đường tròn là hình chiếu của J lên Oxy
Ta có
Câu 16:
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển
Đáp án C
Ta có
Hệ số của khi hệ số là .
Câu 17:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABCD) và SA = 2a. Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD)?
Đáp án B
Vì ABCD là hình vuông
Ta có
Từ (1), (2) suy ra
Tam giác SAB vuông tại A, có .
Câu 18:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên
Đáp án A
ĐK: . Ta có:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
.
Câu 19:
Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Đáp án D
Câu 20:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 - i)(2 + i)z + 1 - i = (5 - i)(1 + i). Tính môđun của số phức
Đáp án A
Ta có .
Câu 21:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OC
Đáp án B
Ta có
Kẻ .
Câu 22:
Hàm f(x) có đạo hàm . Phát biểu nào sau đây là đúng?
Đáp án C
Ta có nên hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
Câu 23:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M thỏa mãn OM = 7. Biết rằng khoảng cách từ M đến (Oxz), (Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến (Oxy).
Đáp án D
Gọi
Do
Vậy .
Câu 25:
Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn . Tính .
Đáp án B
Ta có:
Đặt , đổi cận
Mặt khác
Suy ra .
Câu 26:
Cho hàm số . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;-2) song song với đường thẳng . Khi đó giá trị của a - 3b bằng
Đáp án A
Ta có:
Do tiếp tuyến A song song với đường thẳng hay nên
Câu 28:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;4) và B(0;1;5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?
Đáp án D
Ta có: , dấu “=” xảy ra
Khi đó .
Câu 29:
Số các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1;3) là
Đáp án B
Ta có:
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng
Lại có
Lập bảng biến thiên suy ra là giá trị cần tìm. Vậy có 9 giá trị nguyên dương của m.
Câu 30:
Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên lục tại điểm
Đáp án C
Ta có , vì
Để hàm số liên tục tại điểm .
Câu 31:
Biết nghiệm của phương được viết dưới dạng x = 2loga - logb là các số nguyên dương nhỏ hơn 10. Tính S =
Đáp án A
Ta có
.
Vậy S = 4009.
Câu 32:
Cho hàm số có đồ thị là (C), với m là tham số thực. Gọi T là tập tất cả giá trị nguyên của m để mọi đường thẳng tiếp xúc với (C) đều có hệ số góc dương. Tính tổng các phần tử của T.
Đáp án D
Ta có
Yaau cầu bài toán
mà .
Câu 33:
Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn của phương trình ?
Phương trình: sin22x + 3sin2x + 2 = 0
Ta có:
Mà nên .
Khi đó các nghiệm của phương trình là:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:
Chọn đáp án A.
Câu 34:
Cho tam giác SOA vuông tại O có MN//SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA như hình vẽ bên. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R = OA. Tìm độ dài của MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất
Đáp án B
Đặt SO' = x. Theo định lí Talet ta có:
Thể tích khối trụ là
Ta có
Cách 1. Xét
Cách 2. Ta có
Dấu “=” xảy ra .
Câu 35:
Với n là số nguyên dương thỏa mãn đăng thức . Trong khai triển biểu thức , gọi là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34. Hệ số của là
Đáp án D
Ta có
Khi đó
Vì tổng số mũ của x và y bằng
Vậy hệ số cần tìm ứng với .
Câu 36:
Cho phương trình với m là số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên để phương trình có nghiệm?
Đáp án C
Đặt
Khi đó PT
Rõ ràng t = 2 không là nghiệm của phương trình
Do đó
Xét f(t) trên tập ta có:
Mặt khác
Lập bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi
Kết hợp và suy ra có 2018 giá trị của tham số m.
Câu 37:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = . Biết góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (ABC) bằng và hình chiếu của A lên (A'B'C') là trung điểm H của đoạn thẳng A'B'. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A.HB'C' theo a
Đáp án C
Do góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (ABC) bằng
Suy ra
Dựng , do
Do đó
Mặt khác
Suy ra
Do
Áp dụng công thức tính nhanh .
Câu 38:
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức S = 6a - b là
Đáp án C
Ta có:
Đặt
Xét hàm số đồng biến trên
Khi đó:
Suy ra .
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức S = 6a - b là .
Câu 39:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;0;0), N(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) với b > 0,c > 0. Hệ thức nào dưới đây đúng?
Đáp án A
Mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz tại M, N, P có phương trình
Vì N thuộc mặt phẳng (P) .
Câu 40:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng . Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AC', BB', CC' sao cho . Tính thể tích V¢ của khối đa diện ABC.MNP ?
Đáp án C
Ta có .
Câu 41:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f '(x) được cho như hình bên và các mệnh đề sau:
(1). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-1;0)
(2). Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (1;2)
(3). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (3;5)
(4). Hàm số y = f(x) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Số mệnh đề đúng là
Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng
+ Đồ thị hàm số f '(x) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Và f '(x) đổi dấu từ khi đi qua Hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đồng biến trên (1) sai
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (chứa khoảng (1;2)), đồng biến trên khoảng (chứa khoảng (3;5)) đúng
Vậy mệnh đề 2,3 đúng và 1, 4 sai.
Câu 42:
Cho hàm số đạt cực trị tại các điểm thỏa mãn . Biết hàm số đồng biến trên (). Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Đáp án A
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm
Ta có . Mà
Mặt khác . Vậy .
Câu 43:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: f(x) > 0 với với . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là:
Đáp án D
Ta có
Mà
Do đó . Vậy phương trình tiếp tuyến là .
Câu 44:
Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại trường THPT XXX, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?
Đáp án C
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình và trục hoành
Suy ra
Gọi điểm
Gọi là diện tích ABCD, suy ra
Gọi là diện tích có hoa văn, suy ra
nhỏ nhất khi và chỉ khi lớn nhất
Xét hàm số
Ta có
Xét bảng biến thiên hàm số f(a) với
Suy ra . Suy ra
Suy ra số tiền cần bằng 902.000 đồng.
Câu 45:
Cho hàm số f(x). Biết hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình bên. Trên đoạn [-4;3] hàm số g(x) = 2f(x) + đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
Đáp án B
Ta có
Đồ thị hàm số y = f '(x) cắt đường thẳng y = 1 - x tại x = -4, x = -1, x = -2
Đồng thời g '(x) đổi dấu từ - sang + khi đi qua .
Câu 46:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng:
Đáp án B
Xét hàm số trên [0;2] có
Tính
TH1. Với
TH2. Với
Kết hợp với , ta được .
Câu 47:
Biết số phức z thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính .
Đáp án D
Đặt Tập hợp điểm M là đường tròn (C) có tâm I(4;3) bán kính
Ta có
Ta cần tìm P sao cho đường thẳng và đường tròn (C) có điểm chung
Do đó, maxP = 33. Dấu “=” xảy ra . Vậy
Câu 48:
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số lập được từ tập hợp X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 6
Đáp án A
Gọi số cần tìm có dạng vì chia hết cho 6 .
Khi đó, chọn d có 4 cách chọn; b và c đều có 9 cách chọn (từ )
Nếu b + c + d:3 thì a = {3;6;9} có 3 cách chọn a
Nếu b + c + d chia 3 dư 1 thì a = {2;5;8} có 3 cách chọn a
Nếu b + c + d chia 3 dư 2 thì a = {1;4;7} có 3 cách chọn a
Suy ra a chỉ có 3 cách chọn có 4.9.9.3 = 972 số chia hết cho 6
Vậy xác suất cần tính là .
Câu 49:
Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm M(m;2). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C). Tổng các phần tử của S là:
Đáp án B
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k, đi qua M(m;2) là y - 1 = k(x - m) (d)
Vì (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi
Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) khi và chỉ khi:
TH1. Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0
TH2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 0, nghiệm còn lại khác 0
Vậy là các giá trị cần tìm .
Câu 50:
Phương trình có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ?
Đáp án D
Điều kiện: . Ta có
Suy ra
Xét hàm số trên có
là hàm số đồng biến trên mà
Kết hợp với điều kiện có 1009 nghiệm.