Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 14
-
3607 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
Đáp án A
Do đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là (0;2),(2;0) và đáp án cần tìm là A.
Câu 2:
Một khối trụ có thể tích bằng . Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng . Bán kính đáy của khối trụ ban đầu là
Đáp án A
Ta có:
Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng:
Câu 3:
Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng (d):y = x + 1 và đường cong . Hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm là:
.
Câu 4:
Cho ba số x;5;2y lập thành cấp số cộng và ba số x;4;2y lập thành cấp số nhân thì bằng
Đáp án C
Theo giả thiết ta có:
.
Câu 5:
Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình có nghiệm là
Đáp án C
Phương trình có nghiệm .
Suy ra có 4 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn đề bài
Câu 6:
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
Đáp án D
Ta có hàm số đồng biến trên .
Câu 7:
Cho hình nón có bán kính đáy là và độ dài đường sinh l = 4. Tính diện tích xung quanh S của hình nón đã cho
Đáp án D
Diện tích xung quanh .
Câu 8:
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là
Đáp án D
Ta có
Suy ra PTTT của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có hoành độ bằng 2 là y = 8(x - 2) + 1.
Câu 10:
Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f '(x) = x + sinx và f(0) = 1. Tìm f(x)
Đáp án A
Ta có: . Do .
Câu 11:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường và x = 1.
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm
Suy ra diện tích cần tìm bằng .
Câu 13:
Cho các số tự nhiên m n, thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Khi đó m + 2 bằng
Đáp án C
Ta có
Suy ra .
Câu 14:
Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là một tam giác đều cạnh là
Đáp án D
Diện tích tam giác bằng .
Suy ra thể tích cần tích bằng .
Câu 15:
Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là . Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là
Đáp án C
Gọi số hạng đầu và công sai ta có
.
Câu 16:
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án B
Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng .
Câu 18:
Với hai số thực bất kì khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Đáp án A
Khẳng định A sai.
Câu 19:
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
Đáp án C
Gọi số tự nhiên cần lập có dạng
Bài toán không yêu cầu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.
Chọn c = {0;2;4;6} có 4 cách chọn, chọn có 6 cách chọn và chọn b có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: 4.6.7 = 168 số.
Câu 20:
Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a,x = b (tham khảo hình vẽ). Công thức tính diện tích của (H) là
Đáp án A
Câu 21:
Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4, 5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ti
Đáp án C
Số tiền lương bằng triệu đồng.
Câu 22:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án A
M(0;-3) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khẳng định A sai.
Câu 23:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P) có phương trình x + y - 2z +5 = 0 và A(1;-1;2). Đường thẳng D cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN. Một vectơ chỉ phương của D là:
Đáp án A
Gọi
Suy ra , do
.
Câu 24:
Cho hàm số có đồ thị (C). Biết rằng khi thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng đi qua điểm A(1;3). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án B
Ta có:
PTTT tại điểm có hoành độ là
Do tiếp tuyến qua .
Câu 25:
Cho hàm số có đồ thị (C). Tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành bằng:
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm
Mặt khác . Vậy .
Câu 26:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = sinx + cos2x trên là
Đáp án A
Ta có: . Đặt
Khi đó . Mà .
Câu 27:
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ
Đáp án B
Ta có
Hàm sổ có cực trị có 2 nghiệm phân biệt .
Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ, do đó đường thẳng nối cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
Câu 28:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho
Đáp án C
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có:
Thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ là:
Câu 29:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2-2;) và B(2;2;-4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính
Đáp án A
Do đó
Ta có:
Do đó .
Câu 30:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD¢. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau CK và AD¢ bằng:
Đáp án D
Chọn hệ trục với
Khi đó
Phương trình mặt phẳng qua C (chứa CK) và song song với DA’ là (P):2x - y - 2z + a = 0
Khi đó .
Câu 31:
Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng . Tính tổng tất cả phần tử của S?
Đáp án D
Ta có
Hệ số nên hàm số nghịch biến trong đoạn có độ dài bằng thì hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa mãn với là 2 nghiệm PT y'=0
Khi đó .
Có .
Kết hợp điều kiện (1) .
Câu 32:
Cho hình chóp S.ABC có và SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án D
Đặt SA = SB = SC = a đều cạnh a
Mặt khác .
Khi đó cận tại A, do SA = SB = SC hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền BC.
Câu 33:
Có 11 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 11, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
Đáp án D
Có 2 TH sau:
+) 1 thẻ đánh số chẵn, 1 thẻ đánh số lẻ, suy ra có cách.
+) 2 thẻ đánh số chẵn, suy ra có cách.
Suy ra xác suất bằng .
Câu 34:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Giả sử sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và . Tính .
Đáp án B
Gọi và suy ra
Mặt khác
Suy ra .
Câu 35:
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng .
Đáp án B
Gọi E là trung điểm AC
Khi đó NE//AB suy ra
Do đó
Lại có nên tam giác MNE cân tại E suy ra
Suy ra .
Câu 36:
Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm là với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó giá trị S = a + b bằng:
Đáp án A
Ta có
Đặt khi đó
Phương trình đã cho có nghiệm
Dễ thấy là giá trị cần tìm
Vậy a + b + c = 13.
Câu 37:
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;5) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó
Đáp án B
Phương trình vận tốc theo thời gian là Parabol có dạng:
Do Parabol có đỉnh I(2;5) nên
Khi đó quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đầu là
.
Câu 38:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn . Tính tích phân
Đáp án A
Đặt
Khi đó
Đặt
Vậy tích phân .
Câu 39:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SD (tham khảo hình vẽ). Góc giữa mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SB bằng
Đáp án B
Ta có:
Mặt khác , tương tự
Do đó , mặt khác vuông tại B suy ra
.
Câu 40:
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(1) Đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là
(2) Bất phương trình có nghiệm duy nhất.
(3) Bất phương trình có tập nghiệm là
(4) Đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.
Đáp án C
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng
(1) Đường thẳng đúng.
(2) Bất phương trình . Nên có vô số nghiệm sai.
(3) Bất phương trình sai.
(4) Đường thẳng f(x) = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất sai
Câu 41:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 2018 = 0. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng D và tạo với (P) một góc nhỏ nhất cắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm A, B, C. Thể tích tứ diện O.ABC là:
Đáp án B
Gọi
Lấy cố định, kẻ
Do khi tức là
Trong đó
Suy ra , mặt khác (Q) chứa đường thẳng nên (Q) đi qua điểm (1;2;-1)
Do đó
Câu 42:
Cho hàm số y= f(x) xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Đáp án A
Đặt , thay x = 0 vào giả thiết, ta được
Đạo hàm cả 2 vế biểu thức , ta đưuọc
Thay x = 0 vào (1), ta có
TH1. Với a = 0 thay vào (2), ta được 0 = 1 (vô lí)
TH2. Với a = -1 thay vào (2), ta được
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là .
Câu 43:
Gọi a là một nghiệm của phương trình . Khẳng định nào sau đây đúng khi đánh giá về a.
Đáp án B
Đặt , khi đó
.
Câu 44:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình là
Đáp án B
Cách 1:
Dựa vào đồ thị suy ra hàm số có dạng bậc 3
Ta có
Đồ thị qua 2 điểm (0;1),(1;2)
. Từ đó vẽ đồ thị hàm số
Cách 2:
Từ đồ thị hàm số y = f(x) tịnh tiến sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x - 1) từ đó suy ra đồ thị hàm số như hình bên
Suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Câu 45:
Cho là nghiệm của phương trình thì giá trị của biểu thức là
Đáp án A
Đặt
Khi đó
Vậy .
Câu 46:
Biết rằng x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây
Đáp án C
Đặt
Đặt
Do nên xét
. Do đó ta tìm được .
Câu 47:
Tổng các nghiệm của phương trình là:
Đáp án C
Ta có . Đặt , khi đó phương trình đã cho trở thành:
.
Câu 48:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. Xét hàm số với m là số thực. Để thì điều kiện của m là
Đáp án A
Ta có
Mặt khác
Dựa vào đồ thị f '(x) ta thấy rằng phương trình
Do đó h(x) đồng biến trên đoạn
Suy ra .
Câu 49:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B¢ và vuông góc AC¢ chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là với . Tỉ số :
Đáp án B
Gọi M là trung điểm A’C’. Ta có .
Suy ra . Kẻ
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và lăng trụ là tan giác B’MN
Hai tam giac A’C’C và NA’M đồng dạng
Thể tích tứ diện A'B'MN là
Thể tích lăng trụ là . Vậy .
Câu 50:
Cho hai hộp đựng bi, đựng 2 loại bi là bi trắng và bi đen, tổng số bi trong hai hộp là 20 bi và hộp thứ nhất đựng ít hơn hộp thứ hai. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Cho biết xác suất để lấy được 2 bi đen là . Tính xác suất để lấy được 2 bi trắng?
Đáp án B
Gọi hộp 1 có x viên bi trong đó có y bi đen. Hộp 2 có a viên bi trong đó b bi đen.
Tổng số bi của hai hộp 1 và 2 là . số phần tử của không gian mầu là .
Goi X là biến cố lấy được 2 bi đen
Do đó xa chia hêt cho 84 mà (vì x < a)
Khi đó yb = 55 và . Suy ra số bi trắng ở hộp 1 là 1, số bi trắng ở hộp 2 là 3.
Vây xác suất cần tính là .