Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết - đề 9
-
3609 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho khối trụ (T)có bán kính đáy bằng R và diện tích toàn phần bằng . Tính thể tích V của khối trụ (T).
Đáp án B
Ta có
Câu 6:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Đáp án C
Với a = b = 0,c > 0 thì nên hàm số đồng biến trên
Với , ta có YCBT
Câu 9:
Cho phương trình . Biết phương trình có nghiệm , trong đó . Tìm phần nguyên của a.
Đáp án B
PT
Câu 10:
Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và khoảng cách giữa hai đáy bằng . Một hình nón có đỉnh là tâm mặt đáy này và đáy trùng với mặt đáy kia của hình trụ. Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón.
Đáp án A
Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón là:
Câu 11:
Nếu gọi là đồ thị hàm số và là đồ thị hàm số với . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án C
Mọi điểm
Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
Do đó và đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
Câu 13:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án D
Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-3;2), nghịch biến trên các khoảng .
Câu 14:
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên dưới đây.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = f(m) có ba nghiệm phân biệt
Đáp án B
Phương trình f(x) = f(m) có ba nghiệm phân biệt
Câu 16:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(-1;1;3) và mặt phẳng (P):x - 3y + 2z - 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Đáp án D
Ta có và (P) có véc tơ pháp tuyến .
Gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q), để (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) thì:
Câu 18:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = 3a. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AD, BC sao cho MA = 2MD, NB = 2NC. Khi quay quanh AB, các đường gấp khúc AMNB, ADCB sinh ra các hình trụ có diện tích toàn phần Tính tỉ số là:
Đáp án D
Hình trụ khi quay đường gấp khúc AMNB quanh AB có bán kính đáy là .
Tương tự
Khi đó .
Câu 19:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng . Gọi I là giao điểm của d và (P), điểm M là điểm trên đường thẳng d sao cho IM = 9, tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Đáp án A
suy ra
Câu 21:
Gọi M, m thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;0]. Tính P = M + m.
Đáp án C
Ta có
Lập BBT
Câu 22:
Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn
Đáp án C
Xét hàm f(m) với và nên nghiệm m = 1 là duy nhất.
Câu 23:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng . Viết phương trình của đường thẳng đi d đi qua điểm M, căt và vuông góc với .
Đáp án D
có véc tơ chỉ phương là . Gọi N là giao điểm của d và
Theo đề bài ta sẽ có:
Câu 24:
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số trên khoang và . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đáp án C
Câu 25:
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),AC =AD = 4, AB =3, BC = 5. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
Đáp án A
Vì nên vuông tại A.
Gọi K là hình chiếu của A lên BC, H là hình chiếu của A lên DK.
Ta có
Câu 26:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = lnx, y = 0, x = k (k > 1). Tìm k để diện tích hình phẳng (H) bằng 1
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm của (C)và trục Ox là ln x = 0
Diện tích hình phẳng (H) là . Đặt .
.
Câu 27:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = sinx + cosx + mx đồng biến trên
Đáp án D
YCBT: với mọi với .
Mà ta có:
Câu 28:
Cho tứ diện đều ABCD. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng 6. Tính thể tích V tứ diện đều ABCD.
Đáp án B
Gọi O là tâm của tam giác BCD và M là trung điểm CD
Đặt độ dài cạnh của tứ diện ABCD là
Câu 29:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = , mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SBC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60.Tính theo a thể tích V của khối chóp S. ABC.
Đáp án D
Gọi H là hình chiếu của S trên
Kẻ
Suy ra
là trung điểm của AC
Tam giác SHM vuông tại H, có
Diện tích tam giác ABC là
Vậy thể tích cần tính là
Câu 30:
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3. Tính diện tích S của thiết diện được tạo thành.
Đáp án A
Khoảng cách từ tâm đến đáy mặt phẳng cắt là 3 => Chiều rộng của hình chữ nhật là
Vậy diện tích S của thiết diện là S = 8.7 = 56.
Câu 31:
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B' , C', D' theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD.
Đáp án C
Ta có và
Mà .
Câu 33:
Xác định các giá trị m để đường thẳng y = 3x + m +2 cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm.
Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là
(*), với
Để (C) cắt (d) tại điểm duy nhất có nghiệm duy nhất
Dựa vào BBT của hàm số , để (*) có nghiệm duy nhất
Câu 34:
Đề cương ôn tập chương I môn lịch sử lớp 12 có 30 câu. Trong đề thi chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu đó. Một học sinh chỉ nắm được 25 câu trong đề cương đó. Xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh đã nắm được là. (Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)
Đáp án A
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: Đề thi có 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh nắm được
TH2: Đề thi có 10 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh nắm được
Vậy xác suất cần tính là
Câu 35:
Trong tất cả các cặp số (x,y) thỏa mãn , giá trị thực của m để tồn tại duy nhất cặp (x,y) sao cho thuộc tập nào sau đây?
Đáp án A
Ta có, giả thiết là miền trong đường tròn tâm I(1;1) bán kính
Và là đường tròn tâm I(-2;-3);
Khi đó, yêu cầu bài toán
Câu 36:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B' C' D' có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC' bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
Đáp án B
Giả độ dài các cạnh của khối hộp lần lượt là a; b; c khi đó T = 2ab + 2bc + 2ca = 36.
. Mặt khác
Khi đó
Ta có:
Xét ta có :
.
Câu 37:
Cho hàm số . Gọi d là tiếp tuyến bất kì của (C), d cắt nhau đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại A, B. Khi đó khoảng cách giữa A và B ngắn nhất bằng
Đáp án C
Ta có . Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến
Hệ số góc của tiếp tuyến là
Phương trình đường thẳng d là
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 tiệm cận ngang là y = 2
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
Do đó khoảng cách ngắn nhất giữa A và B là .
Câu 38:
Có bao nhiêu số có 10 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3 sao cho bất kì 2 chữ số nào đứng cạnh nhau cũng hơn kém nhau 1 đơn vị?
Đáp án D
Chọn 5 vị trí cho số 2, có 2 cách là
Vậy 5 vị trí trống còn lại có thể là số 1 hoặc số 3 => có cách
Vậy có tất cả số cần tìm.
Câu 39:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Đáp án A
Gọi phương trình mặt phẳng (ABC) là
Vì điểm , ta có
Khi đó . Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 3c.
Suy ra , vậy phương trình mặt phẳng (P) là
Câu 40:
Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức .
Đáp án A
Ta có
Khi đó .
Câu 41:
Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình có hai phần tử.Tìm số phần tử của A.
Đáp án D
Ta có
Giải (1) , đặt . Xét hàm số trên , có
Phương trình
= 0 có nhiều nhất 2 nghiệm mà
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt có 1 nghiệm hoặc 0
Vậy m = {0;1} là hai giá trị cần tìm.
Câu 42:
Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).
Đáp án C
Chuẩn hóa bán kính của viên bi là 1 => Chiều cao của cốc là h = 2.
+) Thể tích của viên bi là . Gọi R, r lần lượt là bán kính của miệng cốc và đáy cốc.
+) Thể tích của cốc ( khối nón cụt ) là
+) Vì lượng nước tràn ra bằng nửa lượng nước đổ vào cốc
+) Xét mặt cắt của cốc khi thả viên bi vào trong cốc ( hình vẽ bên)
Dễ thấy ABCD là hình thang cân
Mà và
Từ (2) và (3)
Từ (1) và (4)
. Vậy tỉ số cần tính là
Câu 43:
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log(x + 2y) = log x + log y .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Đáp án C
Ta có
Lại có
.
Câu 44:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 18= 0, M là điểm di chuyển trên mặt phẳng (P), N là điểm nằm trên tia OM sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P).
Đáp án C
Gọi H, K là hình chiếu của O, N lên mặt phẳng
Ta có:
Mà
Câu 45:
Cho hàm số : có đồ thị là (C) M là điểm trên (C) có hoành . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại điểm cắt (C) tại điểm khác , gọi là tọa độ điểm . Tìm n để :
Đáp án C
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại là
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến (d) là
Do đó suy ra ( cấp số nhân với q = -2)
Vậy
Câu 46:
Cho a là số thực dương. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án A
Ta có:
Tính ,đặt
Do đó
Lại có :
Do đó .
Câu 47:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f ' (x) như hình bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án B
Bảng biến thiên của hàm số trên có dạng như hình vẽ dưới đây.
Do đó GTLN của hàm số là f(0);f(2) hoặc ; GTNN của hàm số là f(1) hoặc f(4)
Mặt khác
Dựa vào hình vẽ ta có: (loại C và D)
Mặt khác
Dựa vào hình vẽ ta có: .
Câu 48:
Một khối đa diện (H) được tạo thành bằng cách từ một khối lập phương cạnh bằng 3, ta bỏ đi khối lập phương cạnh bằng 1 ở một “góc” của nó như hình vẽ. Gọi (S) là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa trong (H) và tiếp xúc với các mặt (A'B'C'D'),(BCC'B'),(DCC'D'). Tính bán kính của (S).
Đáp án B
Gọi M là đỉnh của hình lập phương có cạnh bằng 1 nằm trên đường chéo AC’ và nằm trên khối còn lại sau khi cắt. Gọi I là tâm của khối cầu có thể tích lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có
Suy ra I thuộc đoạn thẳng C’M và mặt cầu tâm I cần tìm đi qua điểm M.
Đặt , ta có IC' = mà
Suy ra mặt khác
Câu 49:
Cho số phức z thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào?
Đáp án D
Ta có
Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức , ta được
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó .
Câu 50:
Có tất cả bao nhiêu cặp số thực (x;y) sao cho và . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức với đạt được tại . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án A
Ta có
Xét hàm số ,có
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên mà
Khi đó
Lại có
Nên g'(x) là hàm số nghịch biến trên [-1;1] mà
Và nên tồn tại sao cho
Vậy hay giá trị lớn nhất của P đạt được khi .