Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết
Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết - đề 14
-
2870 lượt thi
-
43 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 2:
Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình
Phương trình đã cho tương đương với
Do nên .
Vậy tổng các nghiệm là
Đáp án A
Câu 3:
Tìm các họ nghiệm của phương trình:
Điều kiện .
Phương trình đã cho tương đương:
Đáp án D
Câu 4:
Cho x bông hồng trắng và y bông hồng nhung khác nhau. Cho biết x, y là nghiệm của hệ bất phương trình . Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung
Trước hết ta giải hệ bất phương trình để tìm x, y
Phương trình trong hệ cho ta
Thay y = 7 vào bất phương trình trong hệ ta được:
Với điều kiện , bất phương trình tương đương với:
Vì nên x = 10
Như vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung. Để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có cách
Trường hợp 2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có cách
Trường hợp 3: 5 bông hồng nhung có cách
Suy ra có tất cả cách.
Số cách lấy ra 5 bông hồng bất kì là .
Vậy xác suất cần tìm là
Đáp án C
Câu 5:
Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Tìm xác suất để trong 6 sản phẩm đó có không quá 1 phế phẩm.
Số cách chọn 6 sản phẩm bất kì trong 10 sản phẩm là:
Số cách chọn 6 sản phẩm mà có 1 phế phẩm là:
Số cách chọn 6 sản phẩm mà không có phế phẩm nào:
Suy ra số cách chọn 6 sản phẩm mà có không quá 1 phế phẩm là:
Vậy xác suất cần tìm là:
Đáp án A
Câu 6:
Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ
+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ)
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.
Suy ra có cách bầu loại 1.
+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.
Suy ra có cách bầu loại 2.
Vậy có cách.
Đáp án B
Câu 7:
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
Tìm số hạng mà tích số mũ của x và y bằng 18 trong khai triển nhị thức Newton: (với ).
Điều kiện:
Ta có
So với điều kiện chọn n = 6
Với n = 6 ta có ==
Giả thiết bài toán cho ta
Khi k = 3 ta thu được số hạng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
Đáp án D
Câu 8:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G là trọng tâm của tứ diện BCC’D’. Đặt ;;. Biểu diễn vectơ theo các vectơ
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và C’D’. Khi đó G là trung điểm IJ.
Ta có
Đáp án C
Câu 10:
Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O nghiêng một góc với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol (với g là gia tốc trọng trường) và giả sử rằng quỹ đạo lấy luôn tiếp xúc với parabol an toàn . Tìm tọa độ tiếp điểm khi
Xét và
tiếp xúc khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
Ta có
Đáp án B
Câu 11:
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đồng biến trên từng khoảng và
Ta có
Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng và khi và chỉ khi
Đáp án D
Câu 12:
Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 1;2 ]. Tìm giá trị của biểu thức
Ta tính được
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [ 1;2 ].
Do đó
Điều này có nghĩa là .
Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng –1
Đáp án B
Câu 13:
Tìm số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành.
Ta có a = -1 < 0 và y ' = 0 nên dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số ta xét các trường hợp sau để đáp ứng yêu cầu bài toán.
Hàm số chỉ có một cực trị âm
Hàm số có ba cực trị và giá trị cực đại âm
Qua hai trường hợp trên ta thu được -4 < m < 0.
Do nên .
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đáp án C
Câu 14:
Hàm số (với ) đạt cực trị tại . Tính tổng
Ta có .
Do hàm số đạt cực trị tại các điểm nên
Do đó = 4
Đáp án C
Câu 15:
Tìm các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.
Nhìn đồ thị suy ra:
a > 0
Đồ thị qua điểm A ( 0;-3 ) nên c = -3
Đồ thị có 3 cực trị nên a và b trái dấu nhau.
Do đó lựa chọn a = 1; b = -2; c = -3 như phương án C đã nêu
Đáp án C
Câu 16:
Cho hàm số có đồ thị (C) và hai điểm A ( -2;3 ); C ( 4;1 ) . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B, D sao cho tứ giác ABCD là hình thoi
Đường thẳng AC qua A ( -2;3 ); C ( 4;1 ) nhận làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình là:
Tọa độ giao điểm của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình
Để ý rằng và I là trung điểm AC.
Khi đó ABCD là hình thoi thì I ( 1;2 ) là trung điểm của BD.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
Do = nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B và D.
Gọi là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lý Viet ta có
Đáp án A
Để I là trung điểm của BD thì
Đáp án A
Câu 17:
Tìm m để bất phương trình đúng
Vì x - 1 thì bất phương trình đã cho đúng với mọi x nên chỉ cần tìm m để bất phương trình đúng với
Xét hàm số: với
Ta có: đồng biến trên
Hơn nữa .
Vậy bài toán quy về tìm m để bất phương trình: với .
Đặt thì . Bất phương trình thành
(với ).
Ta có
Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên ta tìm được:
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B
Câu 18:
Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( là hoành độ tiếp điểm)
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận và A,B lần lượt là giao điểm của với hai tiệm cận.
Ta có I ( -1;1 ), A , B
Suy ra
Dấu "=" xảy ra khi và ch khi
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
Đáp án D
Câu 19:
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc của dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức , trong đó c là một hằng số và E được tính bằng Jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là (km/h).
Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300 km là .
Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là =
Ta có
(do v > 6 ).
Lập bảng biến thiên và đi đến kết luận 9 km/h chính là vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao ít nhất
Đáp án B
Câu 20:
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Với mọi 0 < k ta có
Thử từng cơ số của k ta thấy đáp án D cho ra kết quả không chính xác
Đáp án D
Câu 21:
Cho với a,b > 1 và . Tìm k để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có
Đặt
Xét hàm số
Với t = 2 ta có . Thay vào k ta được
Đáp án A
Câu 22:
Chuyện kể rằng: “Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vua một bàn cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích quá, bảo rằng: “Ta muốn dành cho khanh một phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì nào?” Vị quan tâu “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: “Bàn cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần thưởng dành cho ô liền trước.” Thoạt đầu nhà Vua rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: “Số thóc này là một số vô cùng lớn, cho dù có gom hết số thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn cờ chỉ có vọn vẹn 64 ô!”. Bạn hãy tính xem số hạt thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số có bao nhiêu chữ số?
Số thóc ở ô thứ n là hạt.
Tổng số thóc ở các ô là hạt.
Lưu ý rằng số các chữ số của một số chính là giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn loga của số đó.
Sử dụng máy tính ta tính được
Do đó số thóc là một số có 20 chữ số.
Đáp án B
Câu 24:
Cho x thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị của x:
Sử dụng chức năng CALC trong máy tính Casio và nhập từ giá trị ta thấy x = 1 thỏa.
Câu 25:
Tập nghiệm của bất phương trình có dạng S = [ a;b ]. Tính giá trị của b - a
Bất phương trình tương đương với
Đặt Bất phương trình trở thành .
Với , ta được
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = [ -1;1 ]
Vậy b - a = 2
Đáp án C
Câu 28:
Tìm a,b,c,d để là một nguyên hàm của hàm số
Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên
Đáp án B
Câu 29:
Cho hàm số f(x) có nguyên hàm trên . Xét các mệnh đề sau đây:
(I).
(II).
(III).
Những mệnh đề nào trong các mệnh đề đã cho là đúng?
Xét mệnh đề (I).Ta có
Đặt t = sin(x)
Đổi cận x = 0t = 0 và .
Khi đó
Do đó mệnh đề (I) đúng.
* Xét mệnh đề (II). Đổi biến , suy ra mệnh đề (II) đúng.
* Xét mệnh đề (III). Đổi biến , suy ra mệnh đề (III) đúng
Đáp án D
Câu 30:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1 ] và thỏa mãn .Tính giá trị của
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
Đáp án A
Câu 31:
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng ; , biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh là
Gọi S(x) là diện tích thiết diện đã cho thì
Thể tích vật thể là
Đáp án C
Câu 32:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là
Khi đó diện tích cần tìm là
Đáp án A
Câu 33:
Tốc độ sinh sản trung bình sau thời gian t năm của loài hươu Krata được mô tả bằng hàm số . Tính số lượng con hươu tối thiểu sau 20 năm biết rằng ban đầu có 17 con hươu Krata và số lượng hươu L(t) con được tính qua công thức
Ta có
Khi đó
Với x = 20 và L(0) = 17 ta đi đến L(20) = 2017
Đáp án A
Câu 34:
Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và bằng 27
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là
Khi đó
Do đó
Giải phương trình này, ta tìm được m = -1 là giá trị thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A
Câu 35:
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là đường thẳng là đường thẳng . Tính ab + c
Giả sử z = x + yi có điểm M (x;y) biểu diễn z trên mặt phẳng (Oxy).
Ta có ;
Theo đề bài
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng
Suy ra a = 4; b = 2; c = 3 Vậy ab + c = 11
Đáp án C
Câu 36:
Cho phương trình . Gọi và là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tính giá trị của biểu thức
Phương trình đã cho tương đương với
Khi đó
Đáp án B
Câu 37:
Tính tổng các giá trị của tham số m để số phức là số thực.
Ta có
z là số thực
Đáp án C
Câu 38:
Trong mặt phẳng (Oxy) cho các điểm A,B,C tương ứng biểu diễn cho các số phức ; (với ). Tìm m để vuông tại B.
Để ý rằng A ( 1;1 ), B ( 0;2 ), C ( m;-1 )
Khi đó .
vuông tại B
Đáp án A
Câu 39:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Trong mặt phẳng (ABC), qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Kẻ , dễ thấy . Trong tam giác vuông SHI kẻ , nhận thấy .
Ta có
Ta tính được
Ta có , suy ra
Từ ta thu được
Suy ra
Đáp án C
Câu 40:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao của hình chóp bằng . Tính số đo góc giữa mặt bên và đáy
Ta có:
Đáp án C
Câu 41:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc ABC bằng , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Ta có:
Đáp án A
Câu 42:
Cho khối cầu (S) tâm O, bán kính R ngoại tiếp khối lập phương (P) và nội tiếp khối trụ (T). Gọi lần lượt là thể tích của khối lập phương (P) và khối trụ (T). Tính giá trị gần đúng của tỉ số
Để ý rằng đường chéo của hình lập phương chính là đường kính của khối cầu. Mặt khác ta lại có công thức: “Bình phương độ dài đường chéo của hình lập phương bằng ba lần bình phương của độ dài cạnh hình lập phương”. Khi đó
Suy ra .
Vì khối cầu có bán kính R nên ta có thể tính được bán kính và chiều cao của khối trụ ngoại tiếp ngoài khối cầu lần lượt là R và 2R.
Do đó
Vậy ta có tỉ số
Đáp án C
Câu 43:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều và độ dài 9 cạnh đều bằng a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Gọi I,I’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC, A'B'C'. Khi đó I và I’ đồng thời cũng là tâm của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ấy và nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với đường thẳng II’. Suy ra trung điểm O của đoạn II’ chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 6 đỉnh của lăng trụ đã cho.
Do đó
Đáp án A