Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết
Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết - đề 4
-
2877 lượt thi
-
48 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho góc thỏa mãn điều kiện và . Tính giá trị của biểu thức
Ta có
Vì nên
Suy ra
Khi đó
Đáp án C
Câu 2:
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
M = maxy = cos(x) = 1
Ta lại có
Tương tự như trên, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Do đó . Vì vậy, mệnh đề D sai.
Đáp án cần chọn là D
Câu 3:
Tìm hệ số của x trong khai triển
với x > 0. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
Điều kiện:
Với điều kiện trên, (*) tương đương với:
Khi đó :
Hệ số của số hạng x ứng với
Vì và nên ta suy ra: k = 4, i = 2 hoặc k = 2 và i = 4.Như vậy hệ số của x trong khai triển là:
Đáp án cần chọn là B
Câu 4:
Tìm số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Số phải tìm chứa bộ 123.
Lấy 4 chữ số : có cách
Cài bộ 123 vào vị trí đầu, hoặc cuối, hoặc giữa hai chữ số liền nhau trong 4 chữ số vừa lấy: có 5 cách.
Suy ra có số gồm 7 chữ số khác nhau trong đó chứa bộ 123
Trong các số trên, có số có chữ số 0 đứng đầu.
Suy ra có số phải tìm trong đó có mặt bộ 123
Trường hợp 2: Số phải tìm có mặt bộ 321 (lập luận tương tự)
Có 3720 số gồm 7 chữ số khác nhau, có mặt 321
Tóm lại, có 3720.2 = 7440 số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền 2 chữ số 1 và 3
Đáp án D
Câu 5:
Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thứ vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.
Xét các dãy số , trong đó là một hoán vị của ba số 1,2,3 (ở đây , tức là lá thư i đã bỏ đúng địa chỉ).
Gọi là tập hợp tất cả các khả năng bỏ 3 lá thư vào 3 phong bì. Khi đó .
Gọi A là biến cố: “Có ít nhât 1 lá thư bỏ đúng phong bì”. Các khả năng thuận lợi của A là ( 1;2;3 ); ( 1;3;2 ); ( 3;2;1 ); ( 2;1;3 ). Do vậy .
Từ đó
Đáp án cần chọn là A
Câu 6:
Cho dãy số xác định bởi:
Hãy tìm
Ta có:
Đặt . Khi đó
Suy ra
hay . Vậy = 1
Đáp án cần chọn là B
Câu 8:
Cho hàm số
có đạo hàm tại điểm . Tính giá trị của biểu thức
Do f có đạo hàm tại điểm nên f liên tục tại điểm .
Khi đó
a + b + 2 = 2a + b + 1 nên a = 1
Với a = 1, hàm số f(x) trở thành
f(x) có đạo hàm tại điểm khi và chỉ khi
Suy ra a + b = 0. Vậy P = 5.
Đáp án cần chọn là D
Câu 9:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
. Viết phương trình đường tròn ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 và phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 1;2 ).
Do đó phép đồng dạng F: M (x;y ) M" ( x";y" ) có tọa độ thỏa mãn hệ thức
Do M ( x;y ) nên
Vậy ảnh của (C) qua F là đường tròn có phương trình
Đáp án cần chọn là A
Câu 10:
Hình vẽ sau đây thể hiện sự tương giao giữa đồ thị ( C ) của hàm số và đường thẳng y = m + 1.
Dựa vào hình vẽ trên, hãy xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m + 1
Dựa vào đồ thị, phương trình có 3 nghiệm phân biệt m + 1 = 1 nên m = 0
Đáp án cần chọn là A
Câu 11:
Xét chiều biến thiên của hàm số
Tập xác định:
Lập bảng biến thiên và suy ra chiều biến thiên của hàm số là đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng ( 1;2 ); ( 2;4 )
Đáp án cần chọn là B
Câu 12:
Tìm giá trị của m để hàm số y = x + m(sinx + cosx + m ) luôn đồng biến trên R
Đặt với ta có
Để hàm số đồng biến trên R thì
Đáp án A
Câu 13:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm là . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tập xác định: D = R.
* . (Lưu ý x = 2 là nghiệm bội).
* Dấu của f ' (x) là dấu của x - 1. Nhận thấy đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Đáp án A
Câu 14:
Tìm giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số
nằm trên các trục tọa độ.
Ta có:
* Nếu m < 0 thì chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục tung.
* Nếu m > 0 thì có 3 điểm cực trị. Một điểm cực tiểu nằm trên trục tung và hai điểm cực đại có tọa độ . Hai điểm cực đại này chỉ có thể nằm trên trục hoành. Do đó
. Nhưng do m > 0 nên chọn m = 2.
Vậy là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đáp án B
Câu 15:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ -1;1 ]. Tính giá trị của
Đặt . Do nên .
Khi đó
Suy ra M = 4, m =
Vậy = 3
Đáp án cần chọn là D
Câu 16:
Tìm giá trị của m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
Ta có
=> d luôn cắt tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi lần lượt là hoành độ các điểm A, B. Khi đó nhọn.
Sử dụng định lí Viet và giải bất phương trình theo m ta thu được m > 5
Đáp án C
Câu 17:
Tìm m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận song song với Oy
Xét tam thức bậc hai
f(x) có
Khi m < -2 hoặc m > 2 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt . Do đó đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng song song với Oy
Đáp án B
Câu 18:
Một chất điểm chuyển động theo quy luật . Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số .
Vận tốc của chuyển động là .
Ta có v' = 2 - t; v' = 0 nên t = 2
Lập bảng biến thiên và suy ra
Đáp án C
Câu 20:
Tìm số bộ số ( x;y;z ) thỏa mãn các điều kiện sau:
Xét các bộ số ( x,y,z ) = trong đó a, b, c là hoán vị của { 2;3;5 }. Với các bộ số này thì điều kiện thứ ba của bài toán luôn được thỏa mãn.
Ta lại thấy
Và
Do đó các bộ xác định như trên luôn thỏa mãn các điều kiện đã cho. Do đó số các hoán vị của { 2;3;5 } là 3! = 6
Đáp án cần chọn là C
Câu 21:
Tìm giá trị của m để hàm số
xác định trên R
Hàm số đã cho xác định trên R.
> 0
* Nếu m = 2 thì
* Nếu thì
Đáp án B
Câu 23:
Cho a, b, c, d là bốn số dương tạo thành một cấp số nhân với công bội q > 1. Xét dãy số . Mệnh đề nào là đúng?
Xét cấp số nhân a, aq,
Suy ra có dãy số
Đây là cấp số cộng với công sai d =
Đáp án cần chọn là C
Câu 24:
Cho a = ; b = ; c = . Tính theo a; b; c giá trị của .
Áp dụng công thức đổi cơ số ta có:
= = (*)
Mặt khác ;
Thay vào (*)
Đáp án B
Câu 25:
Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của mỗi học sinh được tính theo công thức
(đơn vị %).
Hỏi sau khoảng bao lâu thì học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%?
Theo công thức tính tỉ lệ % đã cho thì cần tìm
nghiệm t của bất phương trình;
Vậy sau khoảng 25 tháng (tức 2 năm 1 tháng) thì học
sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%
Đáp án C
Câu 26:
Cho số thực a;b;c thỏa mãn 1 < a < b < c . Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
Để ý rằng 1 < a < b < c nên > 1. Khi đó nếu xét cùng các cơ số a và b thì
Do 1 < a < b < c nên
Từ đó suy ra
Đáp án A
Câu 28:
Cho hàm số . Tính đạo hàm g ' ( x )
Đặt
Gọi F là một nguyên hàm của f. Theo định nghĩa tích phân ta có
Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp ta được
Đáp án D
Câu 29:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Phương trình tung độ giao điểm giữa
là:
Vậy = 9
Đáp án C
Câu 30:
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip quay quanh trục Ox.
Ta có thể xem khối tròn xoay này là do hình giới hạn bởi bốn đường x = a, x = -a, quay quanh trục Ox tạo nên.
Vậy
Đáp án A
Câu 32:
Cho hàm số f(x) biết f(0) = 1 và . Biết nguyên hàm của f(x) có dạng
. Tính tỉ lệ a : b : c
Ta có dx
Do f(0) = 1 nên c = 1. Suy ra
Vậy a : b : c = 1 : 1 : 1
Đáp án B
Câu 33:
Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc (m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 6 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Ta có
Do vận tốc ban đầu là 6 m/s nên
Vận tốc của vật sau 10 giây là v(6) = 3ln11 + 6 = 13m/s
Đáp án D
Câu 34:
Cho hai số phức thỏa mãn ; . Tính .
Đặt .
Từ giả thiết ta suy ra
Suy ra:
Vậy = 1
Đáp án D
Câu 35:
Cho số phức z = a + ( a - 3 )i với . Tìm a để khoảng cách từ điểm biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó
Dấu “=” xảy ra khi a =
Đáp án C
Câu 36:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
Đặt z = x + yi với . Suy ra z + = 2x
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là tia phân giác của góc phần tư thứ nhất (bao gồm cả gốc tọa độ).
Đáp án B
Câu 37:
Cho hai số phức thỏa mãn ; ; . Tìm các số phức
Đặt ; .
Từ giả thiết ta có
Vậy
Đáp án A
Câu 38:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a; AC = . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng ( ABC ) bằng . Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính
Gọi M là trung điểm BC: BC = 2a; AG = AI = ; .
Suy ra:
Ta có: V = = AB.AC.A'G
= a..
Vậy = a
Đáp án B
Câu 39:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt đáy và SA = SB = a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Ta có
. Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền SC.
Bán kính: R = SI =
Đáp án D
Câu 40:
Một hình chữ nhật ABCD có AB = a và với . Cho hình chữ nhật đó quay quanh cạnh AB, tam giác ABC tạo thành một hình nón có diện tích xung quanh là S. Mệnh đề nào là sai?
Do đó (A), (B), (C) đúng cho nên (D) sai.
Đáp án D
Câu 41:
Cho hình trụ trục OO', đường tròn đáy (C) và (C'). Xét hình nón đỉnh O’, đáy (C) có đường sinh hợp với đáy góc . Cho biết tỉ số diện tích xung quanh của hình lăng trụ và hình nón bằng . Tính giá trị a
Gọi lần lượt là thể tích hình trụ và hình nón. Khi đó
Vì nên a = 60
Đáp án C
Câu 42:
Cho hình nón tròn xoay đáy là đường tròn (C) tâm O, bán kính , đường cao SO = . Xét hình cầu tâm I, nhận (O) làm đường tròn nhỏ và nhận tất cả đường sinh của hình nón làm tiếp tuyến. Tính thể tích hình cầu.
Gọi ST là đường sinh hình nón
Ta có:
Vậy
Đáp án C
Câu 43:
Một hợp đựng Chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp . Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x = là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là . Tìm .
Ta có: V = ( 6 - x )( 12 - 2x )x
Xét hàm số trên ( 0;6 )
Khi đó đvtt. Đến đây nhiều bạn vội vã khoanh C mà không đắn đo gì. Tuy nhiên, nếu vội vã như vậy là bạn đã sai, bởi đề bài yêu cầu tìm thể tích Chocolate nguyên chất mà không phải là thể tích hộp do đó ta cần. Tức là thể tích hộp, tức là (đvtt).
Đáp án A
Câu 44:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
và điểm ( 4;4;0 ).
Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ),
biết điểm và tam giác OAB đều.
(S) có tâm I ( 2;2;2 ), bán kính R = . Nhận thấy O và A đều thuộc (S). Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r =
Khoảng cách d ( I; (P) ) =
(P) đi qua O có phương trình dạng: ax + by +cz = 0
(P) đi qua A, suy ra b = -a
d ( I; (P) ) = =
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm: x - y + z = 0; x - y - z = 0
Đáp án B
Câu 45:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 1;0;5 ) và B ( 2;2;6 ) và đường thẳng và mặt phẳng (a): 2x +y - z + 3 = 0 . Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng (a) sao cho MB = và .
Ta thấy và .
Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác MAB ta có:
Suy ra . Từ đây ta nhận thấy nên tam giác MAB vuông tại M và có .
Mặt khác:
.
Từ đó suy ra M chính là hình chiếu của B lên mặt phẳng (a).
Khi đó
nên M ( 2m + 2; m + 2; -m + 6 )
Vì M thuộc mặt phẳng (a) nên
2( 2m + 2 ) + ( m + 2 ) - ( -m + 6 ) + 3 = 0
Vậy M
Đáp án A
Câu 46:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng có phương trình (a): x + 2y - z + 5 = 0 . Gọi A là giao điểm của và (a). Tìm điểm sao cho và .
Góc giữa và (a) là . Điểm A ( -1;0;4 ).
Ta có B ( -3 + 2t; -1 + t; 3 + t ) và AB = nên B ( -3;-1-3 ) hoặc B ( 1;1;5 ).
Vì BA = 2BC = và nên tam giác ABC vuông tại C.
Suy ra : , do đó C là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (a).
Từ đó ta tìm được hai điểm C tương ứng với hai điểm B ở trên là: C hoặc C
Đáp án B
Câu 47:
Trong không gian tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc với d đồng thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới bằng
Ta có phương trình tham số của d là:
Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình:
3 + 2t - 2 + t - 1 - t + 2 = 0 nên t = -1 nên M ( 1;-2;0 )
Lại có VTPT của (P) là , VTCP của d là
Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP
Gọi N ( x;y;z ) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó
Ta có vuông góc với nên ta có hệ phương trình: 2x - 3y + z - 11 = 0
Lại có và MN = ta có hệ:
Giải hệ ta tìm được hai nghiệm ( x;y;z ) là ( 5;-2;-5 ) và ( -3;-4;5 )
- Nếu N ( 5;-2;-5 ) ta có phương trình
- Nếu N ( -3;-4;5 ) ta có phương trình
Đáp án D
Câu 48:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ và A ( 3;-1;-2 ); B ( 1;5;1 ); C ( 2;3;3 ). Tìm tọa độ điểm D của hình thang cân.
Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3.
Gọi là đường thẳng qua C và song song với AB.
Gọi (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm là giao điểm của và (S).
Đường thẳng có vectơ chỉ phương nên có phương trình:
Phương trình mặt cầu
.
Tọa độ điểm D là nghiệm của phương trình
.
Đáp án B