15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SBT Ôn tập chương 4

Câu 1:

Tính các giới hạn sau

a) $\lim \frac{{(- 3)}^{n} + 2 . 5^{n}}{1 - 5^{n}}$

b) $\lim \frac{1 + 2 + 3 + . . . + n}{1 - 5^{n}}$

c) $\lim (\sqrt{n^{2} + 2 n + 1} - \sqrt{n^{2} + n - 1})$

Xem đáp án

a) = -2

b) = 1/2

c) = 1/2

Câu 2:

Tìm giới hạn của dãy số ( $u_{n}$ ) với

a) $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}$

b) $u_{n} = \frac{2^{n} - n}{3^{n} + 1}$

Xem đáp án

a) Ta có:

Đặt

(1)

Ta có:

Do đó, | $v_{n}$ | có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Từ (1) suy ra, | $u_{n}$ | = $v_{n}$ = | $v_{n}$ |

Vậy | $u_{n}$ | cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là $\lim u_{n} = 0$

b)

Câu 3:

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131… (chu kì 131) dưới dạng phân số.

Xem đáp án

2,131131131...

(Vì là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội )

Câu 4:

Cho dãy số ( $u_{n}$ ) xác định bởi

$\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 3}{u_{n} + 2} \end{cases}$ với $n \geq 1$

a) Chứng minh rằng $u_{n} > 0$ với mọi n.

b) Biết ( $u_{n}$ ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Xem đáp án

a) Chứng minh bằng quy nạp: $u_{n} > 0$ với mọi n. (1)

- Với n = 1 ta có $u_{1} = 1 > 0$

- Giả sử (1) đúng với $n = k \geq 1$ nghĩa là $u_{k} > 0$ ta cần chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$

Ta có

Vì $u_{k} > 0$ nên

- Kết luận: $u_{n} > 0$ với mọi n.

b) Đặt $\lim u_{n} = 0$

Vì $u_{n} > 0$ với mọi n, nên lim $u_{n} = a \geq 0$ . Từ đó suy ra $\lim u_{n} = \sqrt{3}$

Câu 5:

Cho dãy số ( $u_{n}$ ) thoả mãn $u_{n} > M$ với mọi n. Chứng minh rằng nếu $\lim u_{n} = a$ thì $a \leq M$

Xem đáp án

Câu 6:

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/10 độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó.

Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thờiđiểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Xem đáp án

Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/10 độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai này. Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến:

- Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là $d_{1} = 63$

- Thời điểm chạm đất lần thứ hai là:

- Thời điểm chạm đất lần thứ ba là:

- Thời điểm chạm đất lần thứ tư là:

....

- Thời điểm chạm đất lần thứ n (n > 1) là

(Có thể chứng minh khẳng định này bằng quy nạp).

Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến khi nằm yên trên mặt đất là :

Vì là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = 1/10 nên ta có

Vậy

Câu 7:

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \cos (\frac{1}{x})$ không có giới hạn khi $x \to 0$

Xem đáp án

Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là và . Tính và so sánh lim $f (a_{n})$ và lim $f (b_{n})$ để kết luận về giới hạn của f(x) khi x → 0

Câu 8:

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 2} \frac{x + 5}{x^{2} + x - 3}$

b) $\lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 8 x + 3}$

c) $\lim_{x \to + \infty} (x^{3} + 2 x^{2} \sqrt{x} - 1)$

d) $\lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{3} - 5 x - 4}{{(x + 1)}^{2}}$

Xem đáp án

a) = -3

b) = 6

c) = +∞

d) = -∞

Câu 9:

Tính các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{4 - \sqrt{x^{2} + 16}}$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

c) $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{4} + 5 x - 1}{1 - x^{2} + x^{4}}$

d) $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - x + 1}}{1 - 2 x}$

e) $\lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

f) $\lim_{x \to 2^{+}} (\frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2})$

Xem đáp án

a) = 4

b) = 1

c) = 2

d) = 1/2

e)

f)

Câu 10:

Xác định một hàm số $y = f (x)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :

a) $f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{1\}$

b) $\lim_{x \to 1} f (x) = + \infty; \lim_{x \to + \infty} f (x) = 2$ và $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 2$

Xem đáp án

Chẳng hạn . Dễ dàng kiểm tra được rằng f(x) thoả mãn các điều kiện đã nêu

Câu 11:

Xét tính liên tục của hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{3} + 1}, nêu x \neq - 1 \\ 1, nêu x = - 1 \end{cases}$

trên tập xác định của nó.

Xem đáp án

Hàm số liên tục trên $ℝ$

Câu 12:

Xác định một hàm số $y = f (x)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :

a) $f (x)$ xác định trên $ℝ$

b) $y = f (x)$ liên tục trên $(- \infty; 0)$ và trên $[0; + \infty)$ nhưng gián đoạn tại $x = 0$

Xem đáp án

Chẳng hạn xét

Câu 13:

Chứng minh rằng phương trình:

a) $x^{5} - 5 x - 1 = 0$ có ít nhất ba nghiệm ;

b) $m {(x - 1)}^{3} . (x^{2} - 4) + x^{4} - 3 = 0$ luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m ;

c) $x^{3} - 3 x = m$ có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của $m \in (- 2; 2)$

Xem đáp án

a) Xét hàm số $f (x) = x^{5} - 5 x - 1$ trên các đoạn [−2; −1], [−1; 0], [0; 3]

b) Xét hàm số $f (x) = m {(x - 1)}^{3} . (x^{2} - 4) + x^{4} - 3$ trên các đoạn [−2; 1], [1; 2]

c) Xét hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x - m$ trên các đoạn [−1; 1], [1; 2]

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{3} + 8 x + 1}{x - 2}$ . Phương trình $f (x) = 0$ có nghiệm hay không

a) trong khoảng $(1; 3)$ ?

b) trong khoảng $(- 3; 1)$ ?

Xem đáp án

a) Với x ≠ 2 ta có ⇔ $x^{3} + 8 x + 1 = 0$

Vì $x^{3} + 8 x + 1 > 0$ với mọi x ∈ (1; 3) nên phương trình $x^{3} + 8 x + 1 = 0$ không có nghiệm trong khoảng này.

b) f(x) là hàm phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên (−∞; 2). Do đó, nó liên tục trên [-3; 1]

Mặt khác, f(−3).f(1) = −100 < 0

Do đó, phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (-3; 1)

Câu 15:

Giả sử hai hàm số $y = f (x)$ và $y = f (x + 0, 5)$ đều liên tục trên đoạn $[0; 1]$ và $f (0) = f (1)$ . Chứng minh rằng phương trình

$f (x) - f (x + 0, 5) = 0$ luôn có nghiệm trong đoạn $[0; 0, 5]$

Xem đáp án

Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)

Ta có

g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)

g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)

(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).

Do đó,

g(0).g(0,5) = [f(0) − f(0,5)].[f(0,5) − f(0)] = $- {[f (0) - f (0, 5)]}^{2}$ ≤ 0.

- Nếu g(0).g(0,5) = 0 thì x = 0 hay x=0,5 là nghiệm của phương trình g(x) = 0

- Nếu g(0).g(0,5) < 0 (1)

Vì y = f(x) và y = f(x + 0,5) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số y = g(x) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên [0; 0,5] (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng

Kết luận : Phương trình g(x) = 0 hay f(x) − f(x + 0,5) = 0 luôn có nghiệm trong đoạn (0;0,5)

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Giải SBT Toán 11 Chương 4: Giới hạn

Giải SBT Ôn tập chương 4

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan