a) 

Hàm số này có tập xác định là $\mathrm{R} \backslash \left\{0\right\}$

b)

Từ đồ thị (H.7) dự đoán $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty ;0),\left(0;+\infty \right)$ nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,

- Với x > 0, f(x) = x − 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$

- Với x < 0, f(x) = 1 – x cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên $(-\infty ;0)$

Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì

Xét hàm số

- Trường hợp x ≤ 0

f(x) = x + 2 là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]

- Trường hợp x > 0

f(x) = $\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}$ là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.

Như vậy f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)

Tuy nhiên, vì  nên hàm số f(x) không có giới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2)

Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và

 (1)

Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b (vì  ). Nghĩa là nó liên tục trên (a; c)

Đặt

Suy ra g(x) xác định trên $(\mathrm{a};\mathrm{b}) \backslash \left\{{\mathrm{x}}_0\right\}$ và

Mặt khác, $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)+\mathrm{L}(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)+(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0).\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$ nên

Vậy hàm số y = f(x) liên tục 

a) Hàm số  có tập xác định là [-5; +∞). Do đó, nó xác định trên khoảng (-5; +∞) chứa x = 4

Vì  nên f(x) liên tục tại x = 4

b) Hàm số:  tại x = 1 có tập xác định là R

Ta có g(1) = -2 (1)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 

Vậy g(x) liên tục tại x = 1

a)

Tập xác định của hàm số là $\mathrm{D}=\mathrm{ℝ}$

- Nếu $\mathrm{x}\ne \sqrt{2}$ thì 

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;\sqrt{2}\right)$ và $\left(\sqrt{2};+\infty \right)$

- Tại $\mathrm{x}=\sqrt{2}$:

Vậy hàm số liên tục tại $\mathrm{x}=\sqrt{2}$

Kết luận : y = f(x) liên tục trên R

b)  có tập xác định là $\mathrm{D}=\mathrm{ℝ}$

- Nếu x ≠ 2 thì  là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

Tại x = 2: 

Vậy hàm số y = g(x) không liên tục tại x = 2

Kết luận: y = g(x) liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞) nhưng gián đoạn tại x = 2

Đáp số: 

a) Xét $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^5-3\mathrm{x}-7$ và hai số 0; 2.

b) Xét $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\cos 2\mathrm{x}-\mathrm{sinx}+2$ trên các khoảng 

c) Ta có

⇔ ${\mathrm{x}}^3+6\mathrm{x}+1=4$

⇔ ${\mathrm{x}}^3+6\mathrm{x}-3=0$

Hàm số f(x) = x3 + 6x − 3 liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)

Ta có f(0). f(1) = −3. 4 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình ${\mathrm{x}}^3+6\mathrm{x}-3=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

Do đó, phương trình  có ít nhất một nghiệm dương.

a)$(1-{\mathrm{m}}^2){(\mathrm{x}+1)}^3+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3=0$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=(1-{\mathrm{m}}^2){(\mathrm{x}+1)}^3+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3$ là hàm đa thức liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có f(−1) = −1 < 0 và f(−2) = ${\mathrm{m}}^2+2$ > 0 nên f(−1).f(−2) < 0 với mọi m.

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình

$(1-{\mathrm{m}}^2){(\mathrm{x}+1)}^3+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3=0$ luôn có nghiệm với mọi m.

b) $\mathrm{m}(2\mathrm{cosx}-\sqrt{2})=2\sin 5\mathrm{x}+1$

Xét hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}(2\mathrm{cosx}-\sqrt{2})=2\sin 5\mathrm{x}+1$ trên đoạn 

Hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}+...+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}\mathrm{x}+\mathrm{an}$ xác định trên $\mathrm{ℝ}$

- Ta có

Vì  nên với dãy số (${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}$) bất kì mà ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to +\infty$ ta luôn có lim $\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=+\infty$

Do đó, $\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì $\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)>1$ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho $\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)>1$ (1)

Vì  nên với dãy số (${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}$) bất kì mà ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=-\infty$ ta luôn có lim f(xn) = −∞ hay $\lim [-\mathrm{f}({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\left)\right]=+\infty$

Do đó, $-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì $-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)>1$ kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho −f(b) > 1 hay

f(b) < −1 (2)

- Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) < 0

Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)

Ví dụ minh hoạ :

- f(x) = ${\mathrm{x}}^2-1$ liên tục trên đoạn [−2;2], f(−2).f(2) = 9 > 0

Phương trình ${\mathrm{x}}^2-1=0$ có nghiệm x = 1 hoặc x = -1 trong khoảng (-2; 2)

- f(x) = ${\mathrm{x}}^2+1$ liên tục trên đoạn [-1; 1] và f(−1).f(1) = 4 > 0. Còn phương trình ${\mathrm{x}}^2+1=0$ lại vô nghiệm trong khoảng (-1; 1)

Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)

Minh hoạ hình hoạ (H.8):