9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SBT Bài 2: Giới hạn của hàm số

Câu 1:

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

a) $\lim_{x \to 5} \frac{x + 3}{x - 3}$

b) $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1}$

Xem đáp án

a) = -4

b) = +∞

Câu 2:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2}, nêu x \geq 0 \\ x^{2} - 1, nêu x < 0 \end{cases}$

a) Vẽ đồ thị của hàm số $f (x)$ . Từ đó dự đoán về giới hạn của $f (x)$ khi $x \to 0$

b) Dùng định nghĩa chứng minh định nghĩa trên

Xem đáp án

Câu 3:

a) Chứng minh rằng hàm số $y = sinx$ không có giới hạn khi $x \to + \infty$

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

Xem đáp án

a) Xét hai dãy số ( $a_{n}$ ) với $a_{n} = 2 nπ$ và ( $b_{n}$ ) với ( $b_{n}$ ) $= \frac{π}{2} + 2 nπ (n \in ℕ^{*})$

Ta có, $\lim a_{n} = \lim 2 nπ = + \infty$ ;

$\lim b_{n} = \lim (\frac{π}{2} + 2 nπ) = \lim n (\frac{π}{2 n} + 2 π) = + \infty$

$\lim \sin a_{n} = \lim \sin 2 nπ = \lim 0 = 0$

$\lim \sin b_{n} = \lim \sin (\frac{π}{2} + 2 nπ) = \lim 1 = 1$

Như vậy, $a_{n} \to + \infty, b_{n} \to + \infty$ nhưng $\lim \sin a_{n} \neq \lim \sin b_{n}$ . Do đó, theo định nghĩa, hàm số $y = \sin x$ không có giới hạn khi $x \to + \infty$

Câu 4:

Cho hai hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ cùng xác định trên khoảng $(- \infty; a)$ . Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ và $\lim_{x \to - \infty} g (x) = M$ thì $\lim_{x \to - \infty} f (x) . g (x) = L . M$

Xem đáp án

Giả sử ( $x_{n}$ ) là dãy số bất kì thoả mãn $n < a$ và $x_{n} \to - \infty$

Vì nên

Do đó,

Từ định nghĩa suy ra

Câu 5:

Tìm giới hạn của các hàm số sau :

a) $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 1}$ khi $x \to 3$ ;

b) $h (x) = \frac{2 x^{3} + 15}{{(x + 2)}^{2}}$ khi $x \to - 2$ ;

c) $k (x) = \sqrt{4 x^{2} - x + 1}$ khi $x \to - \infty$

d) $h (x) = \frac{x - 15}{x + 2}$ khi $x \to - 2^{+}$ và khi $x \to - 2^{-}$

Xem đáp án

a) 0;

b) $- \infty$ ;

c)

d) $- \infty$ và $+ \infty$

Câu 6:

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 3} \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x - 3}$ ;

b) $\lim_{x \to + \infty} \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ ;

c) $\lim_{x \to + \infty} \frac{x - 5}{\sqrt{x} + \sqrt{5}}$ ;

d) $\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$

e) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x + 3} - 2}$ ;

f) $\lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x + 3 x^{3}}{x^{3} - 9}$ ;

g) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{x^{2} + 1} - 1)$ ;

h) $\lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} - 1) {(1 - 2 x)}^{5}}{x^{7} + x + 3}$

Xem đáp án

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Câu 7:

Tính giới hạn của các hàm số sau khi $x \to + \infty$ và khi $x \to - \infty$

a) $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x + 2}$ ;

b) $f (x) = x + \sqrt{x^{2} - x + 1}$ ;

c) $f (x) = \sqrt{x^{2} - x} - \sqrt{x^{2} + 1}$ .

Xem đáp án

a) Khi $x \to + \infty$

Khi $x \to - \infty$

b) Khi $x \to + \infty$

Khi $x \to - \infty$

c) Khi $x \to + \infty$

Khi $x \to - \infty$

Câu 8:

Cho khoảng $K, x_{0} \in K$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên $K \ \{x_{0}\}$

Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc $K \ \{x_{0}\}$ sao cho $f (c) > 0$

Xem đáp án

Vì nên với dãy số ( $x_{n}$ ) bất kì, $x_{n} \in K \ \{x_{0}\}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta luôn có

Từ định nghĩa suy ra $f (x_{n})$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì $f (x_{n}) > 1$ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$

Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc $(a; + \infty)$ sao cho $f (c) < 0$

Xem đáp án

Vì nên với dãy số ( $x_{n}$ ) bất kì, $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$

ta luôn có

Do đó

Theo định nghĩa suy ra $- f (x_{n})$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 2 thì $- f (x_{n}) > 2$ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số $x_{k} \in (a; + \infty)$ sao cho $- f (x_{k}) > 2$ hay $f (x_{k}) < - 2 < 0$

Đặt $c = x_{k}$ ta có $f (c) < 0$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Giải SBT Toán 11 Chương 4: Giới hạn

Giải SBT Bài 2: Giới hạn của hàm số

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan