Ta có: n(Ω)=$6^6$

TH1: Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần ⇒ có5.6=30 khả năng xảy ra.

TH2: Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 khả năng xảy ra.

TH3: Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần ⇒ có5.6=30 khả năng xảy ra.

TH4: Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 khả năng xảy ra.

Vậy có30+1+30+1=62 khả năng xảy ra biến cố A.

VậyP(A)=$\frac{62}{6^6}=\frac{31}{23328}$

Đáp án cần chọn là: A

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)=6!

Gọi biến cố A : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.

Chọn chỗ cho học sinh  nam thứ  2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có  2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách.

⇒$n_A$ =6.4.2.3!=288 cách.

⇒P(A)=$\frac{288}{6!}=\frac{2}{5}$

Đáp án cần chọn là: A

Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:

$X_1:\left\{1;4;7;...;19\right\}$: chia cho 3 dư 1( có 7 phần tử)

$X_2:\left\{2;5;8;...;20\right\}$:chia cho 3 dư 2( có 7 phần tử)

$X_3$:{3;6;9;...;18}: chia hết cho 3 (có 6 phần tử)

Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:

+)  Cả 3 viên thuộc $X_1$, có:$C_7^3$cách

+)  Cả 3 viên thuộc $X_2$, có:$C_7^3$ cách

+)  Cả 3 viên thuộc $X_3$, có: $C_6^3$cách

+)  1 viên thuộc $X_1$, 1 viên thuộc $X_2$, 1 viên thuộc $X_3$, có: 7.7.6 cách

⇒Số cách thỏa mãn là: $C_7^3+C_7^3+C_6^3+7.7.6=384$

Đáp án cần chọn là: C

* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{abcd}$(a≠0;0≤a,b,c,d≤9;a,b,c,d∈N)

+ a có 9 cách chọn

+b,c,d có 10 cách chọn

Không gian mẫu có số phần tử là n(Ω)=9.${10}^3$

* Gọi A là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau

TH1 :  Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong

+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có 9.10=90 cách chọn 2 chữ số còn lại

+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 8.9=72 cách chọn.

+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có 9.9 cách chọn.

Vậy trường hợp này có 90+72+81=243 số.

TH2 : Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.

+ 3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị

+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn

Vậy trường hợp này có 9+8=17 số

TH3 : Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số

Số phần tử của biến cố A là n(A)=243+17+1=261

Xác suất cần tìm là P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{261}{{9.10}^3}=0,029$

Đáp án cần chọn là: A

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là$C_9^2$

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là$C_7^3$

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là$C_4^4$

Số phần tử của tập S là n(Ω)=$C_9^2.C_7^3.C_4^4=1260$

Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại

Số cách sắp xếp là $C_8^1.C_7^3.C_4^4=280$ cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chữ số 6.

Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 686 là 1 cụm thì có 7 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có $C_6^3$cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại $C_3^3$ và cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $7.C_6^3.C_3^3=140$  số

Cách 2:  Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 6886 là 1 cụm thì có 66 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_5^2$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_3^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $6C_5^2.C_3^3=60$ số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 68886 là 1 cụm thì có 5 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có $C_4^1$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_3^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $5C_4^1.C_3^3=20$ số

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 688886 là 1 cụm thì có 4 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có $C_3^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $4C_3^3=4$ số

Vậy biến cố A có 280+140+60+20+4=504 phần tử

Xác suất cần tìm là P(A)=$\frac{504}{1260}=\frac{2}{5}$

Đáp án cần chọn là: A

Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là 9.9=81⇒n(Ω)=${81}^2$

Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”

TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau ⇒ Có 81 cách.

TH2: Bạn Công viết số có dạng $\overline{ab}$ và bạn Thành viết số có dạng $\overline{ba}$

⇒a≠b≠0⇒ Có 9.8=72 cách.

TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.

+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng  $\overline{a0}$, Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)

⇒ Có9.8=72 cách.

+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng $\overline{a1}$ (a≠0,a≠1), hoặc$\overline{1b}$ (b≠1).

    Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng $\overline{a1}$(a≠0,a≠1)và 8 cách viết số có dạng $\overline{1b}$ (b≠1)⇒ Có 16 cách.

    Nếu Công viết số có dạng  $\overline{1b}$(b≠0,b≠1)⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng $\overline{a1}$ (a≠0,a≠1)và 8 cách viết số có dạng $\overline{1b}$(b≠1).

⇒ Có8(7+8)=120 cách.

    Nếu Công viết có dạng $\overline{a1}$(a≠0,a≠1)⇒⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng $\overline{a1}$(a≠0,a≠1)và 8 cách viết số có dạng $\overline{1b}$(b≠1).

⇒Có8(7+8)=120cách.

⇒ Có 256 cách viết trùng số 1.

Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9.

⇒n(A)=81+72+72+256.9=2529

VậyP(A)=$\frac{2529}{{81}^2}=\frac{281}{729}$

Đáp án cần chọn là: C

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $A_7^4=840$⇒n(S)=840.

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S”. Ta có: n(Ω)= $C_{840}^1=840$.

Biến cố A:“số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.

+ Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số đều là số lẻ, có 4!=24 cách chọn.

+ Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

Có $C_3^1$ cách chọn 1 chữ số chẵn và $C_4^3$ cách chọn 3 chữ số lẻ. Đồng thời có 4! cách sắp xếp 4 số được chọn nên có $C_3^1.C_4^3.4!=288$ cách chọn thỏa mãn.

+ Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

* Chọn 2 số chẵn, 2 số lẻ trong tập hợp{1;2;3;4;5;6;7}có $C_3^2.C_4^2$ cách.

Với mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để hai số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có 2! cách sắp xếp 2 số lẻ và 2! cách sắp xếp các số chẵn nên có 3.2!.2! số thỏa mãn

* Suy ra trường hợp 3 có $C_3^2.C_4^2.12=216$ cách chọn.

Suy ra n(A)=24+288+216=528

Vậy xác suất cần tìm P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{528}{840}=\frac{22}{35}$

Đáp án cần chọn là: C

+) Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω)=n(X)=$C_{18}^3$

Gọi A là biến cố: “chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”.

Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.

Có 18 đỉnh như vậy ⇒ Lập được 8.18=144 tam giác cân + đều.

Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.

⇒n(A)=144−6=138

Vậy xác suất của biến cố A là: P=P(A)=$\frac{136}{C_{18}^3}=\frac{23}{136}$

Đáp án cần chọn là: C

Áp dụng BĐT tam giác:∣a−b∣<c<a+b (với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).

+ Tất cả các bộ ba khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:

(2;3;4),(2;4;5),(2;5;6),(3;4;5),(3;4;6),(3;5;6),(4;5;6).

⇒ Có 7 tam giác không cân.

+ Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b⇒a<2b

TH1: b=1⇒a<2⇒a=1: Có 1 tam giác cân.

TH2:b=2⇒a<4⇒a∈{1;2;3}: Có 3 tam giác cân.

TH3: b=3⇒ a< 6⇒a∈{1;2;3;4;5}: Có 5 tam giác cân.

TH4:b=4⇒a<8⇒a∈{1;2;3;4;5;6}: Có 6 tam giác cân.

TH5:b=5⇒a<10⇒a∈{1;2;3;4;5;6}: Có 6 tam giác cân.

TH6:b=6⇒a<12⇒a∈{1;2;3;4;5;6}: Có 6 tam giác cân.

⇒ Có1+3+5+6.3=27 tam giác cân.

⇒ Không gian mẫu: n(Ω)=7+27=34

Gọi A là biến cố: “phần tử được chọn là một tam giác cân”⇒ n(A)=$C_{27}^1=27$

Vậy xác suất của biến cố A là P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{27}{34}$

Đáp án cần chọn là: C

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).

Số phần tử của không gian mẫu n(Ω)=$6^3=216$

Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”

Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là: $C_3^2.1.1.5=15$ cách

Số cách gieo được ba mặt 6 chấm là: 1 cách

Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: n(A)=15+1=16 cách

Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là: P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{16}{216}=\frac{2}{27}$

Do đó xác suất để thua 1 ván là 1−P(A)=$1-\frac{2}{27}=\frac{25}{27}$

- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.

TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván

Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là$C_3^2.\frac{2}{27}.\frac{2}{27}.\frac{25}{27}=\frac{100}{6561}$

Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là:${\left(\frac{2}{27}\right)}^3=\frac{8}{19683}$

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là:

P=$\frac{100}{6561}+\frac{8}{19683}=\frac{308}{19683}$

Đáp án cần chọn là: B