11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Nhị thức newton có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + ... + 2^{n} = 14348907$ . Hệ số có số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển của biểu thức ${(x^{2} - \frac{1}{x^{3}})}^{n}$ bằng

A. -1365

B. 32760

C. 1365

D. -32760

Xem đáp án

+) $\begin{array}{l} C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + . . . \\ + 2^{n} C_{n}^{n} = 14348907 \end{array}$

Xét: $(1 + x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + . . . + C_{n}^{n} x^{n}$

Thay x=2⇒

$\begin{array}{l} (1 + 2)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} . 2 + . . . + C_{n}^{n} . 2^{n} \\ \Leftrightarrow 3^{n} = 14348907 \Leftrightarrow n = 15 \end{array}$

+)Số hạng tổng quát của khai triển:

${(x^{2} - \frac{1}{x^{3}})}^{15}$ là

$\begin{array}{l} T_{k + 1} = C_{15}^{k} . (x^{2})^{15 - k} . (- 1)^{k} . (\frac{1}{x^{3}})^{k} \\ = C_{15}^{k} . (- 1)^{k} . x^{30 - 5 k} \end{array}$

Số hạng chứa

$\begin{array}{l} x^{10} \Rightarrow x^{30 - 5 k} = x^{10} \\ \Leftrightarrow 30 - 5 k = 10 \Leftrightarrow k = 4 \end{array}$

⇒Hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ là:

$C_{15}^{4} . (- 1)^{4} = 1365$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho $n \in N$ thỏa mãn $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n} = 1023$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong khai triển ${[(12 - n) x + 1]}^{n}$ thành đa thức

A. 90

B. 2

C. 45

D. 180

Xem đáp án

+) $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + . . . + C_{n}^{n} = 1023$

+) Ta có hệ quả từ câu 6:

$\begin{array}{l} C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + . . . + C_{n}^{n} = 2^{n} \\ \Leftrightarrow 1 + C_{n}^{1} + . . . + C_{n}^{n} = 2^{n} \\ \Leftrightarrow C_{n}^{1} + . . . + C_{n}^{n} = 2^{n} - 1 \\ \Leftrightarrow 2^{n} - 1 = 1023 \\ \Leftrightarrow 2^{n} = 1024 \Rightarrow n = 10 \\ +) {[(12 - n) . x + 1]}^{n} = (2 x + 1)^{10} \end{array}$

+) Số hạng tổng quát thứ

(k+1) của khai triển là:

$\begin{array}{l} T_{k + 1} = C_{10}^{k} . (2 x)^{10 - k} . 1^{k} \\ = C_{10}^{k} . 2^{10 - k} . x^{10 - k} \end{array}$

+) Số hạng chứa

$x^{2} \Leftrightarrow 10 - k = 2 \Rightarrow k = 8$

Hệ số của số hạng chứa $x^{2}$

là: $C_{10}^{8} . 2^{2} = 180$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Tổng các hệ số trong khai triển ${(3 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n}$ là $2^{11}$ . Tìm $a_{6}$ .

A. $a_{6} = - 336798$

B. $a_{6} = 336798$

C. $a_{6} = - 112266$

D. $a_{6} = 112266$

Xem đáp án

Câu 4:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $6. C_{n + 1}^{n - 1} = A_{n}^{2} + 160$ . Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển $(1 - 2 x^{3}) {(2 + x)}^{n}$ .

A. -2224

B. 2224

C. 1996

D. -1996

Xem đáp án

Câu 5:

Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{3 n}$ là 64. Tìm số hạng không chứa x

A. 13

B. 14

C. 15

D. 16

Xem đáp án

$\begin{array}{l} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{3 n} = \sum_{k = 0}^{3 n} C_{3 n}^{k} . x^{3 n - k} . {(\frac{1}{x^{2}})}^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{3 n} C_{3 n}^{k} . x^{3 n - 3 k} = C_{3 n}^{0} . x^{3 n} + . . . + C_{3 n}^{3 n} . x^{0} (*) \end{array}$

+) Tổng các hệ số là:

$C_{3 n}^{0} + . . . + C_{3 n}^{3 n} = 64$

+) Thay x=1 và cả 2 vế của (*)

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{3 n} = C_{3 n}^{0} + . . . + C_{3 n}^{3 n} \Leftrightarrow 2^{3 n} = 64 \\ \Rightarrow n = 2 \end{array}$

+) Số hạng tổng quát của khai

triển là:

$\begin{array}{l} T_{k + 1} = C_{3 n}^{k} . x^{3 n - k} . {(\frac{1}{x^{2}})}^{k} \\ = C_{6}^{k} x^{6 - k} . (x^{- 2})^{k} = C_{6}^{k} x^{6 - 3 k} \end{array}$

+) Số hạng không chứa x

$\Leftrightarrow 6 - 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 2$

Số hạng không chứa x là:

$C_{6}^{2} = 15$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Cho ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x^{1} + ... + a_{n} x^{n}$

Biết $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 4096$ .Số lớn nhất trong các số có giá trị bằng

A. 126720

B. 924

C. 972

D. 1293600

Xem đáp án

Câu 7:

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển thành đa thức của ${(2 - 3 x)}^{2 n}$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{2} + C_{2 n + 1}^{4} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n} = 1024$

A. 2099529

B. -2099520

C. -1959552

D. 1959552

Xem đáp án

Xét: $(1 + 2 x)^{n} = a_{0} + a_{1} x^{1} + . . . + a_{n} x^{n}$ .

Thay $x = \frac{1}{2}$ và hai vế

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 + 2 . \frac{1}{2})^{n} = a_{0} + a_{1} . {\frac{1}{2}}^{1} + . . . + a_{n} . {(\frac{1}{2})}^{n} \\ \Leftrightarrow 2^{n} = 4096 \Leftrightarrow 2^{n} = 2^{12} \Leftrightarrow n = 12 \end{array}$

Biểu thức là: $(1 + 2 x)^{12}$

+) Số hạng tổng quát của khai triển

là: $T_{k + 1} = C_{12}^{k} . 2^{k} . x^{k}$

+) Hệ số lớn nhất $\Leftrightarrow y = C_{12}^{k} . 2^{k}$ max

$(0 \leq k \leq 12)$

Mà hệ số max $\Rightarrow k_{\max} \Rightarrow$ Muốn k

max thì k phải lớn hơn cả số hạng

đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn

cả số hạng đứng sau nó là (k+1)

Ta có hệ: $\{\begin{matrix} C_{12}^{k - 1} {.2}^{k - 1} < C_{12}^{k} {.2}^{k} (1) \\ C_{12}^{k + 1} {.2}^{k + 1} < C_{12}^{k} {.2}^{k} (2) \end{matrix}$

(1)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{12!}{(k - 1)! (12 - k + 1)!} . \frac{2^{k}}{2} \\ < \frac{12!}{k! (12 - k)!} {.2}^{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{(k - 1)! (13 - k) (12 - k)!} . \frac{1}{2} \\ < \frac{1}{k (k - 1)! (12 - k)!} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2. (13 - k)} < \frac{1}{k} \Leftrightarrow \frac{1}{13 - k} < \frac{2}{k} \end{array}$

(2) ta làm tương tự như trên:

$\Rightarrow \frac{2}{k + 1} < \frac{1}{12 - k}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \{\begin{matrix} \frac{1}{13 - k} < \frac{2}{k} \\ \frac{2}{k + 1} < \frac{1}{12 - k} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} k < \frac{26}{3} \\ k > \frac{23}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} k < 8, 6 \\ k > 7, 6 \end{matrix}$

( Mà k là số nguyên) $\Rightarrow k = 8$

Hệ số lớn nhất trong khai triển

biểu thức là y(8)= $C_{12}^{8} {.2}^{8} = 126720$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Tìm số hạng chứa $x^{13}$ trong khai triển thành các đa thức của ${(x + x^{2} + x^{3})}^{10}$ là:

A. 135

B. 210

C. $135 x^{13}$

D. $210 x^{13}$

Xem đáp án

Với 0≤q≤p≤10 thì số hạng tổng quát

của khai triển ${(x + x^{2} + x^{3})}^{10}$ là:

$\begin{array}{l} T_{p} = C_{10}^{p} . C_{p}^{q} . (x)^{10 - p} . (x^{2})^{p - q} . (x^{3})^{q} \\ = C_{10}^{p} C_{p}^{q} . x^{10 + p + q} \end{array}$

Theo đề bài thì 10+p+q=13

⇔p+q=3

Do 0≤q≤p≤10 nên

(p;q)∈{(2;1);(3;0)}.

Vậy hệ số của $x^{13}$ trong khai triển

là: $C_{10}^{2} . C_{2}^{1} + C_{10}^{3} . C_{3}^{0} = 210$

và số hạng chứa $x^{13}$ là $210 x^{13}$ .

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Số nguyên dương n thỏa mãn $C_{n}^{0} . C_{n + 1}^{n} + C_{n}^{1} . C_{n + 1}^{n - 1} + C_{n}^{2} . C_{n + 1}^{n - 2} + ... + C_{n}^{n - 1} . C_{n + 1}^{n} + C_{n}^{n} . C_{n + 1}^{0} = 1716$ là:

A. n=9

B. n=7

C. n=8

D. n=6

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} (1 + x)^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} x + C_{2 n + 1}^{2} x^{2} \\ + . . . + C_{2 n + 1}^{2 n} x^{2 n} + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} x^{2 n + 1} \end{array}$ (1)

Mặt khác:

$\begin{array}{l} (1 + x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} \\ + . . . + C_{n}^{n - 1} x^{n - 1} + C_{n}^{n} x^{n} \\ (1 + x)^{n + 1} = C_{n + 1}^{0} + C_{n + 1}^{1} x + \\ C_{n + 1}^{2} x^{2} + . . . + C_{n + 1}^{n - 1} x^{n - 1} \\ + C_{n + 1}^{n} x^{n} + C_{n + 1}^{n + 1} x^{n + 1} \end{array}$

Suy ra:

$\begin{array}{l} (1 + x)^{n} . (1 + x)^{n + 1} = (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} \\ + . . . + C_{n}^{n} x^{n}) . (C_{n + 1}^{0} + C_{n + 1}^{1} x + \\ C_{n + 1}^{2} x^{2} + . . . + C_{n + 1}^{n + 1} x^{n + 1}) \end{array}$ (2)

Từ (1) và (2), đồng nhất hệ số

của $x^{n}$ ta được:

$\begin{array}{l} C_{n}^{0} . C_{n + 1}^{n} + C_{n}^{1} . C_{n + 1}^{n - 1} + C_{n}^{2} . C_{n + 1}^{n - 2} \\ + . . . + C_{n}^{n - 1} . C_{n + 1}^{n} + C_{n}^{n} . C_{n + 1}^{0} = C_{2 n + 1}^{n} \end{array}$

Với n=9 ta có: $C_{2 n + 1}^{n} = C_{19}^{9} = 92378$

Với n=8 ta có: $C_{2 n + 1}^{n} = C_{17}^{8} = 24310$

Với n=7 ta có: $C_{2 n + 1}^{n} = C_{15}^{7} = 6435$

Với n=6 ta có: $C_{2 n + 1}^{n} = C_{13}^{6} = 1716$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Rút gọn tổng sau: $S = C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + ... + n C_{n}^{n}$ ta được:

A. $S = n {.2}^{n}$

B. $S = 2^{n + 1}$

C. $S = n {.2}^{n - 1}$

D. $S = 2^{n - 1}$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} k C_{n}^{k} = k . \frac{n!}{k! (n - k)!} = \\ \frac{n (n - 1)!}{(k - 1)! [n - 1 - (k - 1)]!} = n . C_{n - 1}^{k - 1} (*) \end{array}$

Áp dụng tính chất (*) ta có:

$k C_{n}^{k} = n . C_{n - 1}^{k - 1}$ với 1≤k≤n

Khi đó:

$\begin{array}{l} S = n C_{n - 1}^{0} + n C_{n - 1}^{1} + . . . + n C_{n - 1}^{n - 1} \\ = n (C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} + . . . + C_{n - 1}^{n - 1}) \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} (a + b)^{n - 1} = C_{n - 1}^{0} a^{n - 1} + C_{n - 1}^{1} a^{n - 2} b \\ + C_{n - 1}^{2} a^{n - 3} b^{2} + . . . + C_{n - 1}^{n - 2} a b^{n - 2} + C_{n - 1}^{n - 1} b^{n - 1} \end{array}$

Thay a=1,b=1 ta có:

$\begin{array}{l} C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} + . . . + C_{n - 1}^{n - 1} \\ = (1 + 1)^{n - 1} = 2^{n - 1} \end{array}$

Vậy

$\begin{array}{l} S = n (C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} \\ + . . . + C_{n - 1}^{n - 1}) = n . 2^{n - 1} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Tính tổng $S = 1. C_{2018}^{1} + 2. C_{2018}^{2} + 3. C_{2018}^{3} + ... + 2018 C_{2018}^{2018}$

A. ${2018.2}^{2017}$

B. ${2017.2}^{2018}$

C. ${2018.2}^{2018}$

D. ${2017.2}^{2017}$

Xem đáp án

Cách 1: Xét số hạng tổng quát

$\begin{array}{l} k . C_{2018}^{k} = k . \frac{2018!}{k! (2018 - k)!} = \\ k . \frac{2018.2017!}{k . (k - 1)! (2018 - k)!} = 2018 . C_{2017}^{k - 1} \end{array}$

Cho k chạy từ 1 đến 2018 ta được:

$\begin{array}{l} S = 2018 . (C_{2018}^{0} + C_{2018}^{1} + . . . + C_{2018}^{2017}) \\ = 2018 . 2^{2017} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Nhị thức newton có đáp án

Trắc nghiệm Nhị thức newton có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương